Поле рода

Максимальное абелево расширение поля алгебраических чисел

В алгебраической теории чисел родовое поле Γ(K) алгебраического числового поля K — это максимальное абелево расширение поля K , которое получается путем составления абсолютно абелева поля с K и которое не разветвлено во всех конечных простых числах K. Родовое число поля K — это степень [ Γ(K) : K ], а родовая группа — это группа Галуа поля Γ( K ) над K.

Если K само по себе абсолютно абелево, то поле рода можно описать как максимальное абсолютно абелево расширение K, неразветвленное во всех конечных простых числах: это определение использовали Леопольдт и Хассе.

Если K = Q ( √ m ) ( m squarefree) — квадратичное поле дискриминанта D , поле рода K является композитом квадратичных полей. Пусть p _i пробегает простые множители D . Для каждого такого простого числа p определим p ^∗ следующим образом:

${\displaystyle p^{*}=\pm p\equiv 1{\pmod {4}}{\text{ if }}p{\text{ is odd}};}$

${\displaystyle 2^{*}=-4,8,-8{\text{ according as }}m\equiv 3{\pmod {4}},2{\pmod {8}},-2{\pmod {8}}.}$

Тогда поле рода является составным ${\displaystyle K({\sqrt {p_{i}^{*}}}).}$

Смотрите также

• Поле класса Гильберта

Ссылки

• Ишида, Макото (1976). Поля рода алгебраических числовых полей . Конспект лекций по математике. Том 555. Springer-Verlag . ISBN 3-540-08000-7. Збл  0353.12001.
• Януш, Джеральд (1973). Алгебраические числовые поля . Чистая и прикладная математика. Т. 55. Academic Press. ISBN 0-12-380250-4. Збл  0307.12001.
• Леммермейер, Франц (2000). Законы взаимности. От Эйлера до Эйзенштейна. Монографии Спрингера по математике. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 3-540-66957-4. MR  1761696. Zbl  0949.11002.