Поле с одним элементом

В математике поле с одним элементом является наводящим на размышления названием для объекта, который должен вести себя подобно конечному полю с одним элементом, если бы такое поле могло существовать. Этот объект обозначается F ₁ , или, в франко-английской игре слов, F _un . ^[1] Название «поле с одним элементом» и обозначение F _{1 являются лишь наводящими на размышления, поскольку в классической} абстрактной алгебре нет поля с одним элементом . Вместо этого F ₁ относится к идее о том, что должен быть способ заменить множества и операции , традиционные строительные блоки для абстрактной алгебры, другими, более гибкими объектами. Было предложено много теорий F ₁ , но неясно, какие из них, если таковые имеются, дают F ₁ все желаемые свойства. Хотя в этих теориях до сих пор нет поля с одним элементом, есть объект, подобный полю, характеристика которого равна единице.

Большинство предлагаемых теорий F ₁ полностью заменяют абстрактную алгебру. Математические объекты, такие как векторные пространства и полиномиальные кольца, могут быть перенесены в эти новые теории путем имитации их абстрактных свойств. Это позволяет развивать коммутативную алгебру и алгебраическую геометрию на новых основаниях. Одной из определяющих особенностей теорий F ₁ является то, что эти новые основания допускают больше объектов, чем классическая абстрактная алгебра, один из которых ведет себя как поле характеристики один.

Возможность изучения математики F ₁ была первоначально предложена в 1956 году Жаком Титсом , опубликовано в журнале Tits 1957, на основе аналогии между симметриями в проективной геометрии и комбинаторикой симплициальных комплексов . F ₁ была связана с некоммутативной геометрией и с возможным доказательством гипотезы Римана .

История

В 1957 году Жак Титс представил теорию зданий , которая связывает алгебраические группы с абстрактными симплициальными комплексами . Одним из предположений является условие нетривиальности: если здание является n -мерным абстрактным симплициальным комплексом, и если k < n , то каждый k -симплекс здания должен содержаться по крайней мере в трех n -симплексах. Это аналогично условию в классической проективной геометрии , что линия должна содержать по крайней мере три точки. Однако существуют вырожденные геометрии, которые удовлетворяют всем условиям, чтобы быть проективной геометрией, за исключением того, что линии допускают только две точки. Аналогичные объекты в теории зданий называются квартирами. Квартиры играют такую ​​конститутивную роль в теории зданий, что Титс предположил существование теории проективной геометрии, в которой вырожденные геометрии имели бы равный статус с классическими. Эта геометрия, сказал он, будет иметь место над полем характеристики один . ^[2] Используя эту аналогию, можно было описать некоторые элементарные свойства F ₁ , но построить его не удалось.

После первоначальных наблюдений Титса, до начала 1990-х годов был достигнут небольшой прогресс. В конце 1980-х годов Александр Смирнов дал серию докладов, в которых он предположил, что гипотезу Римана можно доказать, рассматривая целые числа как кривую над полем с одним элементом. К 1991 году Смирнов предпринял некоторые шаги в направлении алгебраической геометрии над F ₁ , ^[3] введя расширения F ₁ и используя их для работы с проективной прямой P ¹ над F ₁ . ^[3] Алгебраические числа рассматривались как отображения на этот P ¹ , и были предложены предположительные приближения к формуле Римана–Гурвица для этих отображений. Эти приближения подразумевают решения важных проблем, таких как гипотеза abc . Расширения F ₁ позже были обозначены как F _q с q = 1 ⁿ . Вместе с Михаилом Капрановым Смирнов продолжил изучать, как алгебраические и теоретико-числовые конструкции в простой характеристике могут выглядеть в «характеристической единице», что привело к неопубликованной работе, выпущенной в 1995 году. ^[4] В 1993 году Юрий Манин прочитал серию лекций по дзета-функциям , где предложил разработать теорию алгебраической геометрии над F ₁ . ^[5] Он предположил, что дзета-функции многообразий над F ₁ будут иметь очень простые описания, и предложил связь между K-теорией F 1 _и гомотопическими группами сфер . Это вдохновило нескольких людей на попытку построить явные теории F ₁ -геометрии.

Первое опубликованное определение многообразия над F ₁ было дано Кристофом Суле в 1999 году ^[6], который построил его с помощью алгебр над комплексными числами и функторов из категорий некоторых колец. ^[6] В 2000 году Чжу предположил, что F ₁ — это то же самое, что и F _2, за исключением того, что сумма единицы и единицы равна единице, а не нулю. ^[7] Дейтмар предположил, что F ₁ следует находить, забывая аддитивную структуру кольца и сосредоточившись на умножении. ^[8] Тоен и Вакье построили на теории относительных схем Хакима и определили F ₁ с помощью симметричных моноидальных категорий . ^[9] Позднее Веццани показал, что их конструкция эквивалентна конструкции Дейтмара. ^[10] Николай Дуров построил F ₁ как коммутативную алгебраическую монаду . ^[11] Боргер использовал спуск , чтобы построить ее из конечных полей и целых чисел. ^[12]

Ален Коннес и Катерина Консани развили понятия как Соуле, так и Дейтмара, «склеив» категорию мультипликативных моноидов и категорию колец, чтобы создать новую категорию, а затем определив F ₁ -схемы как особый вид представимого функтора на ^[13]. Используя это, им удалось предоставить понятие нескольких теоретико-числовых конструкций над F _{1 ,} таких как мотивы и расширения полей, а также построить группы Шевалле над F _{1 ²} . Наряду с Матильдой Марколли , Коннес и Консани также связали F ₁ с некоммутативной геометрией . ^[14] Также было высказано предположение о наличии связей с гипотезой уникальных игр в теории вычислительной сложности . ^[15] ${\displaystyle {\mathfrak {M}}{\mathfrak {R}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}{\mathfrak {R}}.}$

Оливер Лоршайд, наряду с другими, недавно достиг первоначальной цели Титса по описанию групп Шевалле над F ₁ , введя объекты, называемые чертежами, которые являются одновременным обобщением как полуколец , так и моноидов. ^{[16] [17]} Они используются для определения так называемых «синих схем», одной из которых является Spec F ₁ . ^[18] Идеи Лоршайда несколько отходят от других идей групп над F ₁ , в том, что F ₁ -схема сама по себе не является группой Вейля своего базового расширения до нормальных схем. Лоршайд сначала определяет категорию Титса, полную подкатегорию категории синих схем, и определяет «расширение Вейля», функтор из категории Титса в Set . Модель Титса–Вейля алгебраической группы — это синяя схема G с групповой операцией, которая является морфизмом в категории Титса, базовое расширение которой равно , а расширение Вейля которой изоморфно группе Вейля ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$

F ₁ -геометрия была связана с тропической геометрией через тот факт, что полукольца (в частности, тропические полукольца) возникают как факторы некоторого моноидного полукольца N [ A ] конечных формальных сумм элементов моноида A , который сам является F ₁ -алгеброй. Эта связь становится явной благодаря использованию Лоршейдом чертежей. ^[19] Братья Джансиракуза построили теорию тропических схем, для которой их категория тропических схем эквивалентна категории F ₁ -схем Тоена–Вакье. ^[20] Эта категория вкладывается точно , но не полностью , в категорию синих схем и является полной подкатегорией категории схем Дурова.

Мотивации

Алгебраическая теория чисел

Одна из мотиваций для F ₁ исходит из алгебраической теории чисел . Доказательство Вейля гипотезы Римана для кривых над конечными полями начинается с кривой C над конечным полем k , которая снабжена функциональным полем F , которое является расширением поля k . Каждое такое функциональное поле порождает дзета-функцию Хассе–Вейля ζ _{F ,} а гипотеза Римана для конечных полей определяет нули ζ F . Затем доказательство Вейля использует различные геометрические свойства C для изучения ζ _F .

Поле рациональных чисел Q связано аналогичным образом с дзета-функцией Римана , но Q не является полем функций многообразия. Вместо этого Q является полем функций схемы Spec Z. Это одномерная схема (также известная как алгебраическая кривая ), и поэтому должно быть некоторое «базовое поле», над которым лежит эта кривая, расширением поля которого Q будет (таким же образом, как C является кривой над k , а F является расширением k ). Надежда F ₁ -геометрии состоит в том, что подходящий объект F ₁ мог бы играть роль этого базового поля, что позволило бы доказать гипотезу Римана , имитируя доказательство Вейля с F ₁ вместо k .

геометрия Аракелова

Геометрия над полем с одним элементом также мотивирована геометрией Аракелова , где диофантовы уравнения изучаются с использованием инструментов комплексной геометрии . Теория включает в себя сложные сравнения между конечными полями и комплексными числами. Здесь существование F ₁ полезно по техническим причинам.

Ожидаемые свойства

Ф1это не поле

F ₁ не может быть полем, потому что по определению все поля должны содержать два различных элемента: аддитивную единицу ноль и мультипликативную единицу единица. Даже если это ограничение снять (например, позволив аддитивной и мультипликативной единицам быть одним и тем же элементом), кольцо с одним элементом должно быть нулевым кольцом , которое не ведет себя как конечное поле. Например, все модули над нулевым кольцом изоморфны (поскольку единственным элементом такого модуля является нулевой элемент). Однако одним из ключевых мотивов F ₁ является описание множеств как « F ₁ ‑векторных пространств» — если бы конечные множества были модулями над нулевым кольцом, то каждое конечное множество имело бы одинаковый размер, что не так. Более того, спектр тривиального кольца пуст, но спектр поля имеет одну точку.

Другие свойства

• Конечные множества являются как аффинными пространствами , так и проективными пространствами над F ₁ .
• Точечные множества — это векторные пространства над F ₁ . ^[21]
• Конечные поля F _q являются квантовыми деформациями F ₁ , где q — деформация.
• Группы Вейля — это простые алгебраические группы над F ₁ :

  Если задана диаграмма Дынкина для полупростой алгебраической группы, то ее группа Вейля является ^[22] полупростой алгебраической группой над F ₁ .

• Аффинная схема Spec Z представляет собой кривую над F ₁ .
• Группы являются алгебрами Хопфа над F _1. В более общем смысле, все, что определяется исключительно в терминах диаграмм алгебраических объектов, должно иметь F ₁ -аналог в категории множеств.
• Групповые действия на множествах являются проективными представлениями G над F ₁ , и, таким образом, G является групповой алгеброй Хопфа F ₁ [ G ].
• Торические многообразия определяют F ₁ -многообразия. В некоторых описаниях F ₁ -геометрии обратное также верно, в том смысле, что расширение скаляров F ₁ -многообразий до Z является торическим. ^[23] В то время как другие подходы к F ₁ -геометрии допускают более широкие классы примеров, торические многообразия, по-видимому, лежат в самом сердце теории.
• Дзета-функция P ^N ( F ₁ ) должна быть ζ ( s ) = s ( s − 1)⋯( s − N ) . ^[6]
• M - я K -группа F1 _должна быть m- й стабильной гомотопической группой спектра сферы . ^[6]

Вычисления

Различные структуры на множестве аналогичны структурам на проективном пространстве и могут быть вычислены таким же образом:

Множества — это проективные пространства

Число элементов P ( F^н
_д) = P ^{n −1} ( F _q ) , ( n − 1) -мерное проективное пространство над конечным полем F _q , является q -целым числом ^[24]

${\displaystyle [n]_{q}:={\frac {q^{n}-1}{q-1}}=1+q+q^{2}+\dots +q^{n-1}.}$

Принимая q = 1, получаем [ n ] _q = n .

Разложение целого числа q в сумму степеней q соответствует клеточному разложению Шуберта проективного пространства.

Перестановки — это максимальные флаги

Существует n ! перестановок множества с n элементами и [ n ]! _q максимальных флагов в F^н
_д, где

${\displaystyle [n]!_{q}:=[1]_{q}[2]_{q}\dots [n]_{q}}$

является q ‑факториалом . Действительно, перестановку набора можно считать отфильтрованным набором , поскольку флаг является отфильтрованным векторным пространством: например, упорядочение (0, 1, 2) набора {0, 1, 2} соответствует фильтрации {0} ⊂ {0, 1} ⊂ {0, 1, 2} .

Подмножества — это подпространства

Биномиальный коэффициент

${\displaystyle {\frac {n!}{m!(n-m)!}}}$

дает число m -элементных подмножеств n- элементного множества и q- биномиальный коэффициент

${\displaystyle {\frac {[n]!_{q}}{[m]!_{q}[n-m]!_{q}}}}$

дает число m -мерных подпространств n -мерного векторного пространства над F _q .

Разложение q -биномиального коэффициента в сумму степеней q соответствует разложению грассманиана по ячейкам Шуберта .

Моноидные схемы

Построение моноидных схем Дейтмара ^[25] было названо «самой сутью F ₁ -геометрии», ^[16], поскольку большинство других теорий F ₁ -геометрии содержат описания моноидных схем. С моральной точки зрения оно имитирует теорию схем , разработанную в 1950-х и 1960-х годах, заменяя коммутативные кольца моноидами . Эффект этого заключается в «забывании» аддитивной структуры кольца, оставляя только мультипликативную структуру. По этой причине его иногда называют «неаддитивной геометрией».

Моноиды

Мультипликативный моноид — это моноид A , который также содержит поглощающий элемент 0 (отличный от единицы 1 моноида), такой что 0 a = 0 для каждого a в моноиде A . Поле с одним элементом тогда определяется как F ₁ = {0, 1} , мультипликативный моноид поля с двумя элементами, который является начальным в категории мультипликативных моноидов. Идеал моноида в моноиде A — это подмножество I , которое мультипликативно замкнуто, содержит 0 и такое, что IA = { ra  : r ∈ I , a ∈ A } = I . Такой идеал является простым, если A ∖ I мультипликативно замкнуто и содержит 1.

Для моноидов A и B гомоморфизм моноидов — это функция f  : A → B такая, что

• ${\displaystyle f(0)=0;}$
• ${\displaystyle f(1)=1,}$и
• ${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$для каждого и в ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A.}$

Моноидные схемы

Спектр моноида A , обозначаемый Spec A , представляет собой множество простых идеалов A. Спектру моноида можно задать топологию Зарисского , определив базовые открытые множества

${\displaystyle U_{h}=\{{\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}A:h\notin {\mathfrak {p}}\},}$

для каждого h из A . Моноидальное пространство — это топологическое пространство вместе с пучком мультипликативных моноидов, называемым структурным пучком . Аффинная моноидная схема — это моноидальное пространство, изоморфное спектру моноида, а моноидная схема — это пучок моноидов, имеющий открытое покрытие аффинными моноидными схемами.

Моноидные схемы можно превратить в кольцевые схемы с помощью функтора расширения базы – ⊗ _{F 1} Z , который переводит моноид A в Z -модуль (т.е. кольцо) Z [ A ] / ⟨0 _A ⟩ , а гомоморфизм моноида f  : A → B продолжается до гомоморфизма кольца f _Z  : A ⊗ _{F 1} Z → B ⊗ _{F 1} Z , который линеен как гомоморфизм Z -модуля. Расширение базы аффинной моноидной схемы определяется с помощью формулы

${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)\times _{\operatorname {Spec} (\mathbf {F} _{1})}\operatorname {Spec} (\mathbf {Z} )=\operatorname {Spec} {\big (}A\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z} {\big )},}$

что в свою очередь определяет базовое расширение общей моноидной схемы.

Последствия

Эта конструкция достигает многих желаемых свойств F ₁ ‑геометрии: Spec F ₁ состоит из одной точки, поэтому ведет себя подобно спектру поля в обычной геометрии, а категория аффинных моноидных схем является двойственной к категории мультипликативных моноидов, отражая двойственность аффинных схем и коммутативных колец. Более того, эта теория удовлетворяет комбинаторным свойствам, ожидаемым от F _{1 ,} упомянутым в предыдущих разделах; например, проективное пространство над F ₁ размерности n как моноидная схема идентично квартире проективного пространства над F _q размерности n , когда описывается как здание.

Однако моноидные схемы не удовлетворяют всем ожидаемым свойствам теории F ₁ -геометрии, поскольку единственными многообразиями, имеющими аналоги моноидных схем, являются торические многообразия . ^[26] Точнее, если X — моноидная схема, базовое расширение которой — плоская , разделенная , связная схема конечного типа , то базовое расширение X — торическое многообразие. Другие понятия F ₁ -геометрии, такие как понятие Конна–Консани ^[27], строятся на этой модели для описания F ₁ -многообразий, которые не являются торическими.

Расширения поля

Можно определить расширения поля поля с одним элементом как группу корней из единицы , или более точно (с геометрической структурой) как групповую схему корней из единицы . Это неестественно изоморфно циклической группе порядка n , изоморфизм зависит от выбора примитивного корня из единицы : ^[28]

${\displaystyle \mathbf {F} _{1^{n}}=\mu _{n}.}$

_{Таким образом ,} векторное пространство размерности d над F1 ^_n представляет собой конечное множество порядка dn, на котором корни из единицы действуют свободно вместе с базовой точкой.

С этой точки зрения конечное поле F _q является алгеброй над F _{1 ⁿ} размерности d = ( q − 1)/ n для любого n , которое является множителем q − 1 (например, n = q − 1 или n = 1 ). Это соответствует тому факту, что группа единиц конечного поля F _q (которые являются q − 1 ненулевыми элементами) является циклической группой порядка q − 1 , на которой любая циклическая группа порядка, делящего q − 1, действует свободно (возводя в степень), а нулевой элемент поля является базовой точкой.

Аналогично, действительные числа R являются алгеброй над F _{1 ²} , имеющей бесконечную размерность, поскольку действительные числа содержат ±1, но не содержат других корней из единицы, а комплексные числа C являются алгеброй над F _{1 ⁿ} для всех n , снова имеющей бесконечную размерность, поскольку комплексные числа имеют все корни из единицы.

С этой точки зрения любое явление, зависящее только от поля, имеющего корни из единицы, можно рассматривать как происходящее от _F1 – например, дискретное преобразование Фурье (комплекснозначное) и связанное с ним теоретико-числовое преобразование ( Z / n Z ‑значное).

Смотрите также

• Арифметическая производная
• Полугруппа с одним элементом

Примечания

1. "un" по-французски означает "один", а fun — игривое английское слово. Примеры такой записи см., например, в Le Bruyn (2009) или по ссылкам Le Bruyn, Connes и Consani.
2. Титсы (1957).
3. Смирнов (1992)
4. Капранов и Смирнов (1995)
5. Манин (1995).
6. Soulé (1999)
7. Леско (2009).
8. Дейтмар (2005).
9. Тоен и Вакье (2005).
10. Веццани (2010)
11. Дуров (2008).
12. Боргер (2009).
13. Коннес и Консани (2010).
14. Конн, Консани и Марколли (2009)
15. Калай, Гил (10 января 2018 г.), «Субхаш Хот, Дор Минзер и Мули Сафра доказали гипотезу об играх 2-на-2», Комбинаторика и многое другое
16. Лоршайд (2018a)
17. (Лоршайд 2018b)
18. Лоршайд (2016)
19. Лоршайд (2015)
20. Джансиракуза и Джансиракуза (2016)
21. Ноа Снайдер, Поле с одним элементом, Секретный семинар по блоггингу, 14 августа 2007 г.
22. Находки этой недели в математической физике, неделя 187
23. Дейтмар (2006).
24. Находки этой недели в математической физике, неделя 183, q‑arithmetic
25. Дейтмар (2005)
26. Дейтмар (2006)
27. Коннес и Консани (2010)
28. Михаил Капранов, ссылка на фольклор F_un.

Библиография

• Боргер, Джеймс (2009), Λ-кольца и поле с одним элементом , arXiv : 0906.3146
• Consani, Caterina; Connes, Alain , ред. (2011), Некоммутативная геометрия, арифметика и смежные темы. Труды 21-го заседания Японско-американского математического института (JAMI), состоявшегося в Университете Джонса Хопкинса, Балтимор, Мэриленд, США, 23–26 марта 2009 г. , Балтимор, Мэриленд: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-1-4214-0352-6, ЗБЛ  1245.00040
• Конн, Ален ; Консани, Катерина; Марколли, Матильда (2009), «Fun with », Журнал теории чисел , 129 (6): 1532–1561, arXiv : 0806.2401 , doi : 10.1016/j.jnt.2008.08.007, MR  2521492, S2CID  5327852, Zbl  1228.11143 ${\displaystyle \mathbb {F} _{1}}$
• Конн, Ален ; Консани, Катерина (2010), «Схемы над F ₁ и дзета-функции», Compositio Mathematica , 146 (6), Лондонское математическое общество: 1383–1415, arXiv : 0903.2024 , doi : 10.1112/S0010437X09004692, S2CID  14448430
• Дейтмар, Антон (2005), «Схемы над F1 », в ван дер Гир, Г.; Мунен, Б.; Шоф, Р. (ред.), Числовые поля и функциональные поля _: два параллельных мира , Progress in Mathematics, т. 239
• Дейтмар, Антон (2006),F ₁ ‑схемы и торические многообразия , arXiv : math/0608179 , Bibcode :2006math......8179D
• Дуров, Николай (2008), «Новый подход к геометрии Аракелова», arXiv : 0704.2030 [math.AG]
• Джансиракуза, Джеффри; Джансиракуза, Ноа (2016), «Уравнения тропических многообразий», Duke Mathematical Journal , 165 (18): 3379–3433, arXiv : 1308.0042 , doi : 10.1215/00127094-3645544, S2CID  16276528
• Капранов, Михаил; Смирнов, Александр (1995), Когомологические детерминанты и законы взаимности: случай числового поля (PDF)
• Ле Брюн, Ливен (2009), «(не)коммутативная геометрия f-un», arXiv : 0909.2522 [math.RA]
• Леско, Поль (2009), Algebre absolue (PDF) , архивировано из оригинала (PDF) 27 июля 2011 , извлечено 21 ноября 2009
• Лопес Пенья, Хавьер; Лоршайд, Оливер (2011), «Отображение F ₁ ‑land: обзор геометрий над полем с одним элементом», Некоммутативная геометрия, арифметика и смежные темы : 241–265, arXiv : 0909.0069
• Лоршайд, Оливер (2009), «Алгебраические группы над полем с одним элементом», arXiv : 0907.3824 [math.AG]
• Лоршайд, Оливер (2016), «Схема взгляда на F ₁ -геометрию», в Koen, Thas (ред.), Абсолютная арифметика и F ₁ -геометрия , Издательство Европейского математического общества, arXiv : 1301.0083
• Лоршайд, Оливер (2018a), « F ₁ для всех», Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 120 (2), Springer: 83–116, arXiv : 1801.05337 , doi : 10.1365/s13291-018-0177-x, S2CID  119664 210
• Лоршайд, Оливер (2018b), «Геометрия чертежей, часть II: модели Титса–Вейля алгебраических групп», Форум математики, Sigma , 6 , arXiv : 1201.1324 , doi : 10.1017/fms.2018.17, S2CID  117587513
• Лоршайд, Оливер (2015), Схемно-теоретическая тропикализация , arXiv : 1508.07949
• Манин, Юрий (1995), «Лекции о дзета-функциях и мотивах (по Денингеру и Курокаве)» (PDF) , Astérisque , 228 (4): 121–163
• Шольце, Питер (2017),p ‑адическая геометрия , стр. 13, arXiv : 1712.03708
• Смирнов, Александр (1992), «Неравенства Гурвица для числовых полей» (PDF) , Алгебра и анализ , 4 (2): 186–209
• Суле, Кристоф (1999), На поле с одним элементом (expose à l'Arbeitstagung, Бонн, июнь 1999 г.) (PDF) , Препринт IHES
• Суле, Кристоф (2003), Les variétés sur le corps à un élément (на французском языке), arXiv : math/0304444 , Bibcode : 2003math......4444S
• Тит, Жак (1957), «Sur les Analogs Algébriques des Groupes Semi-Simple Complexes», Colloque d'algèbre Superieure, Tenu à Bruxelles du 19 или 22 декабря 1956, Centre Belge de Recherches Mathématiques Établissements Ceuterick, Лувен , Париж: Librairie Gauthier -Вилларс, стр. 261–289.
• Тоен, Бертран ; Вакье, Мишель (2005), Au dessous de Spec Z, arXiv : математика/0509684
• Веццани, Альберто (2010), «Схемы Дейтмара и Тоэна-Вакие над F1», Mathematische Zeitschrift , 271 : 1–16, arXiv : 1005.0287 , doi : 10.1007/s00209-011-0896-5, S2CID  119145251

Внешние ссылки

• Находки Джона Баеза этой недели в математической физике: неделя 259
• Поле с одним элементом в кафе категории n
• Поле с одним элементом на семинаре по секретному блоггингу
• В поисках веселья и веселого фольклора, Ливен ле Брюн.
• Картографирование F1‑land: обзор геометрий на поле с одним элементом, Хавьер Лопес Пенья, Оливер Лоршайд
• «Весёлая математика», Ливен ле Брёйн, Коэн Тас .
• Конференция Вандербильта по некоммутативной геометрии и геометрии над полем с одним элементом. Архивировано 12 декабря 2013 г. на Wayback Machine (Расписание архивировано 15 февраля 2012 г. на Wayback Machine )
• NCG и F_un, Ален Коннес и К. Консани: резюме докладов и слайдов