В алгебраической геометрии функциональное поле алгебраического многообразия V состоит из объектов, которые интерпретируются как рациональные функции на V. В классической алгебраической геометрии это отношения многочленов ; в комплексной геометрии это мероморфные функции и их многомерные аналоги; в современной алгебраической геометрии это элементы поля дробей некоторого факторкольца .
В комплексной геометрии объектами изучения являются комплексные аналитические многообразия , на которых у нас есть локальное понятие комплексного анализа , посредством которого мы можем определить мероморфные функции. Поле функций многообразия тогда является множеством всех мероморфных функций на многообразии. (Как и все мероморфные функции, они принимают свои значения в .) Вместе с операциями сложения и умножения функций это поле в смысле алгебры.
Для сферы Римана , которая является многообразием над комплексными числами, глобальные мероморфные функции являются в точности рациональными функциями (то есть отношениями комплексных полиномиальных функций).
В классической алгебраической геометрии мы обобщаем вторую точку зрения. Для сферы Римана выше понятие многочлена не определено глобально, а просто относительно аффинной координатной карты, а именно, состоящей из комплексной плоскости (всей, кроме северного полюса сферы). На общем многообразии V мы говорим, что рациональная функция на открытом аффинном подмножестве U определяется как отношение двух многочленов в аффинном координатном кольце U , и что рациональная функция на всем V состоит из таких локальных данных, которые совпадают на пересечениях открытых аффинных. Мы можем определить функциональное поле V как поле дробей аффинного координатного кольца любого открытого аффинного подмножества, поскольку все такие подмножества плотны.
В наиболее общей постановке, современной теории схем , мы принимаем последнюю точку зрения выше в качестве отправной точки. А именно, если является целочисленной схемой , то для каждого открытого аффинного подмножества кольца сечений на является целостной областью и, следовательно, имеет поле дробей. Более того, можно проверить, что все они одинаковы и все равны стеблю общей точки . Таким образом, функциональное поле является просто стеблем своей общей точки. Эта точка зрения далее развивается в функциональном поле (теория схем) . См. Робин Хартшорн (1977).
Если V — многообразие, определенное над полем K , то функциональное поле K ( V ) — конечно порожденное расширение поля основного поля K ; его степень трансцендентности равна размерности многообразия. Все расширения K , которые конечно порождены как поля над K, возникают таким образом из некоторого алгебраического многообразия. Эти расширения полей также известны как алгебраические функциональные поля над K.
Свойства многообразия V , зависящие только от поля функций, изучаются в бирациональной геометрии .
Поле функции точки над K равно K.
Поле функций аффинной прямой над K изоморфно полю K ( t ) рациональных функций от одной переменной. Это также поле функций проективной прямой .
Рассмотрим аффинную алгебраическую плоскую кривую, заданную уравнением . Ее функциональное поле — это поле K ( x , y ), порожденное элементами x и y , которые трансцендентны над K и удовлетворяют алгебраическому соотношению .
