Сумма

Множество попарных сумм элементов двух множеств

В аддитивной комбинаторике сумма множеств (также называемая суммой Минковского ) двух подмножеств и абелевой группы (записывается аддитивно) определяется как множество всех сумм элемента из с элементом из . То есть, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}.}$

-кратная итеративная сумма множества равна ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle nA=A+\cdots +A,}$

где есть слагаемые. ${\displaystyle n}$

Многие вопросы и результаты аддитивной комбинаторики и аддитивной теории чисел можно сформулировать в терминах сумм множеств. Например, теорему Лагранжа о четырех квадратах можно кратко записать в виде

${\displaystyle 4\,\Box =\mathbb {N} ,}$

где — множество квадратных чисел . Тема, которая получила достаточно много исследований, — это множества с малым удвоением , где размер множества мал (по сравнению с размером ); см., например, теорему Фреймана . ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle A+A}$ ${\displaystyle A}$

Смотрите также

• Ограниченный набор сумм
• Сидон сет
• Набор без суммы
• Плотность Шнирельмана
• Лемма Шепли–Фолкмана
• Сортировка X + Y

Ссылки

• Генри Манн (1976). Addition Theorems: The Addition Theorems of Group Theory and Number Theory (Исправленное переиздание Wiley ed. 1965). Хантингтон, Нью-Йорк: Robert E. Krieger Publishing Company. ISBN 0-88275-418-1.
• Nathanson, Melvyn B. (1990). "Best possible results on the density of sumsets". В Berndt, Bruce C. ; Diamond, Harold G.; Halberstam, Heini ; et al. (eds.). Аналитическая теория чисел. Труды конференции в честь Пола Т. Бейтмана, состоявшейся 25-27 апреля 1989 года в Иллинойсском университете, Урбана, Иллинойс (США) . Progress in Mathematics. Том 85. Бостон: Birkhäuser. С. 395–403. ISBN 0-8176-3481-9. Збл  0722.11007.
• Натансон, Мелвин Б. (1996). Аддитивная теория чисел: обратные задачи и геометрия сумм . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 165. Springer-Verlag . ISBN 0-387-94655-1. Збл  0859.11003.
• Теренс Тао и Ван Ву, Аддитивная комбинаторика , Cambridge University Press, 2006.

Внешние ссылки

• Сломан, Лейла (2022-12-06). «Из систем в движении появляются бесконечные узоры». Журнал Quanta .