Универсальная поперечная система координат Меркатора

Система проекции карты

Универсальная поперечная проекция Меркатора ( UTM ) — это система картографической проекции для назначения координат местоположениям на поверхности Земли . Как и традиционный метод широты и долготы , это горизонтальное представление положения , что означает, что оно игнорирует высоту и рассматривает земную поверхность как идеальный эллипсоид . Однако оно отличается от глобальной широты/долготы тем, что делит Землю на 60 зон и проецирует каждую на плоскость в качестве основы для ее координат. Указание местоположения означает указание зоны и координат x , y в этой плоскости. Проекция со сфероида на зону UTM — это некоторая параметризация поперечной проекции Меркатора . Параметры различаются в зависимости от страны, региона или системы картографии.

Большинство зон в UTM охватывают 6 градусов долготы , и каждая имеет назначенный центральный меридиан. Масштабный коэффициент на центральном меридиане указан равным 0,9996 истинного масштаба для большинства используемых систем UTM. ^{[1] [2]}

Зоны UTM на равнопрямоугольной карте мира с нерегулярными зонами красного цвета и выделенной зоной Нью-Йорка

История

На веб-сайте Национального управления океанических и атмосферных исследований (NOAA) указано, что система была разработана Инженерным корпусом армии США в начале 1940-х годов. ^[3] Однако серия аэрофотоснимков, найденных в Bundesarchiv-Militärarchiv (военном отделе Немецкого федерального архива ), по-видимому, датируемых 1943–1944 годами, имеет надпись UTMREF, за которой следуют буквы и цифры сетки, и спроецирована в соответствии с поперечной проекцией Меркатора, ^[4] находка, которая указывает на то, что нечто, называемое системой отсчета UTM, было разработано в 1942–43 годах Вермахтом . Вероятно, она была реализована Abteilung für Luftbildwesen (Департаментом аэрофотосъемки). С 1947 года армия США использовала очень похожую систему, но с ныне стандартным масштабным коэффициентом 0,9996 на центральном меридиане в отличие от немецкого 1,0. ^[4] Для областей в пределах смежных Соединенных Штатов использовался эллипсоид Кларка 1866 года [ ^{5] . Для остальных областей Земли, включая} Гавайи , использовался международный эллипсоид ^{[6] . Эллипсоид} Всемирной геодезической системы WGS84 в настоящее время обычно используется для моделирования Земли в системе координат UTM, что означает, что текущее положение на север UTM в заданной точке может отличаться от старого на 200 метров. Для различных географических регионов могут использоваться другие системы отсчета .

До разработки универсальной поперечной системы координат Меркатора несколько европейских стран продемонстрировали полезность конформных карт на основе сетки, нанеся на карту свою территорию в межвоенный период . Вычисление расстояния между двумя точками на этих картах можно было выполнить проще в полевых условиях (используя теорему Пифагора ), чем это было возможно с использованием тригонометрических формул, требуемых в системе координат на основе сетки . В послевоенные годы эти концепции были расширены до универсальной поперечной системы координат Меркатора/ универсальной полярной стереографической (UTM/UPS), которая является глобальной (или универсальной) системой карт на основе сетки.

Поперечная проекция Меркатора — это вариант проекции Меркатора , которая была первоначально разработана фламандским географом и картографом Герардом Меркатором в 1570 году. Эта проекция является конформной , что означает, что она сохраняет углы и, следовательно, формы в небольших областях. Однако она искажает расстояние и площадь.

Определения

зона UTM

Упрощенный вид смежных зон UTM США , спроецированный с помощью равноугольной конической проекции Ламберта.

Система UTM делит Землю на 60 зон, каждая шириной 6° долготы. Зона 1 охватывает долготу от 180° до 174° з.д.; нумерация зон увеличивается на восток до зоны 60, которая охватывает долготу от 174° в.д. до 180°. Полярные регионы к югу от 80° ю.ш. и к северу от 84° с.ш. исключены и вместо этого охватываются универсальной полярной стереографической (UPS) системой координат.

Каждая из 60 зон использует поперечную проекцию Меркатора , которая может отображать регион большой протяженности с севера на юг с низким искажением. Используя узкие зоны шириной 6° долготы (до 668 км) и уменьшая масштабный коэффициент вдоль центрального меридиана до 0,9996 (уменьшение 1:2500), величина искажения удерживается ниже 1 части на 1000 внутри каждой зоны. Искажение масштаба увеличивается до 1,0010 на границах зон вдоль экватора .

В каждой зоне масштабный фактор центрального меридиана уменьшает диаметр поперечного цилиндра, чтобы создать секущую проекцию с двумя стандартными линиями , или линиями истинного масштаба, примерно в 180 км с каждой стороны и примерно параллельно центральному меридиану (Arc cos 0,9996 = 1,62° на экваторе). Масштаб меньше 1 внутри стандартных линий и больше 1 вне их, но общее искажение сведено к минимуму.

Исключения

Зоны UTM одинаковы по всему миру, за исключением двух областей. На юго-западном побережье Норвегии зона 32 расширена на 3° западнее, а зона 31 соответственно сужена, чтобы охватывать только открытую воду. Кроме того, в районе Шпицбергена зоны 32, 34 и 36 не используются, в то время как зоны 31 (шириной 9°), 33 (шириной 12°), 35 (шириной 12°) и 37 (шириной 9°) расширены, чтобы покрыть пробелы.

Перекрывающиеся сетки

Зоны сетки универсальной поперечной проекции Меркатора (UTM) с 31N по 37N отличаются от стандартной зоны шириной 6° и шириной 84° для северного полушария, отчасти для того, чтобы вместить западную часть Королевства Норвегия. Подробнее об истории см. статью Клиффорда Дж. Мунье о сетках и системах координат Королевства Норвегия, опубликованную в выпуске PE&RS за октябрь 1999 г. http://www.asprs.org/a/resources/grids/10-99-norway.pdf

Искажение масштаба увеличивается в каждой зоне UTM по мере приближения к границам между зонами UTM. Однако часто бывает удобно или необходимо измерять ряд местоположений на одной сетке, когда некоторые из них расположены в двух соседних зонах. Вокруг границ крупномасштабных карт (1:100 000 или больше) координаты для обеих смежных зон UTM обычно печатаются в пределах минимального расстояния 40 км по обе стороны от границы зоны. В идеале координаты каждой позиции должны быть измерены на сетке для зоны, в которой они расположены, но поскольку масштабный коэффициент все еще относительно мал вблизи границ зон, при необходимости можно накладывать измерения на смежную зону на некоторое расстояние.

Широтные диапазоны

Широтные диапазоны не являются частью UTM, ^[7] , а скорее частью военной системы координат (MGRS). ^[8] Однако иногда они включаются в обозначение UTM. Включение широтных диапазонов в обозначение UTM может привести к неоднозначным координатам, поскольку буква «S» относится либо к южному полушарию, либо к широтному диапазону в северном полушарии, и поэтому его следует избегать.

Определение местоположения с использованием координат UTM

Положение на Земле определяется номером зоны UTM, обозначением полушария и парой плоских координат восточного и северного направления в этой зоне.

Точка начала каждой зоны UTM — это пересечение экватора и центрального меридиана зоны. Чтобы избежать работы с отрицательными числами, ложный Easting−500 000 метров добавляется к центральному меридиану. Таким образом, точка, имеющая восточное смещение400 000 метров — это примерно 100 км к западу от центрального меридиана. Для большинства таких точек истинное расстояние будет немного больше 100 км, если измерять его на поверхности Земли из-за искажения проекции. UTM eastings варьируется от примерно166 000 метров до834 000 метров на экваторе.

В северном полушарии позиции измеряются к северу от нуля на экваторе. Максимальное значение "северного" составляет около9 300 000 метров на широте 84 градуса северной широты, северный конец зон UTM. Север южного полушария на экваторе установлен на10 000 000 метров. Северные направления уменьшаются к югу от этих10 000 000 метров до примерно1 100 000 метров на 80 градусах юга, южный конец зон UTM. Поэтому ни одна точка не имеет отрицательного значения северного сдвига.

Например, CN Tower находится в точке с координатами 43°38′33.24″N 79°23′13.7″W / 43.6425667°N 79.387139°W / 43.6425667; -79.387139 (CN Tower) , что находится в зоне UTM 17, а положение сетки —630 084  м в.д.,4 833 438  м северной широты. Две точки в Зоне 17 имеют эти координаты, одна в северном полушарии и одна в южном; недвусмысленный формат заключается в указании полного обозначения зоны и полушария, то есть «17N 630084 4833438».

Упрощенные формулы

Эти формулы являются усеченной версией поперечной проекции Меркатора: ряды сглаживания, которые были первоначально выведены Иоганном Генрихом Луи Крюгером в 1912 году. ^[9] Они имеют точность около миллиметра в пределах3000 км центрального меридиана. ^[10] Также были даны краткие комментарии по их выводу. ^{[11] [12]}

Пространственная система отсчета WGS 84 описывает Землю как сплющенный сфероид вдоль оси север-юг с экваториальным радиусом км и обратным сплющиванием . Возьмем точку с широтой и долготой и вычислим ее координаты UTM, а также коэффициент масштабирования точки и конвергенцию меридиана, используя опорный меридиан с долготой . По соглашению, в северном полушарии км, а в южном полушарии км. По соглашению также и км . ${\displaystyle a=6378.137}$ ${\displaystyle 1/f=298.257\,223\,563}$ ${\displaystyle \,\varphi }$ ${\displaystyle \,\lambda }$ ${\displaystyle k\,\!}$ ${\displaystyle \gamma \,\!}$ ${\displaystyle \lambda _{0}}$ ${\displaystyle N_{0}=0}$ ${\displaystyle N_{0}=10000}$ ${\displaystyle k_{0}=0.9996}$ ${\displaystyle E_{0}=500}$

В следующих формулах расстояния указаны в километрах . Для начала, вот некоторые предварительные значения:

${\displaystyle {\begin{aligned}n&={\frac {f}{2-f}},&A&={\frac {a}{1+n}}\left(1+{\frac {n^{2}}{4}}+{\frac {n^{4}}{64}}+\cdots \right),\\{}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}&={\frac {1}{2}}n-{\frac {2}{3}}n^{2}+{\frac {5}{16}}n^{3},&\alpha _{2}&={\frac {13}{48}}n^{2}-{\frac {3}{5}}n^{3},&\alpha _{3}&={\frac {61}{240}}n^{3},\\[12pt]\beta _{1}&={\frac {1}{2}}n-{\frac {2}{3}}n^{2}+{\frac {37}{96}}n^{3},&\beta _{2}&={\frac {1}{48}}n^{2}+{\frac {1}{15}}n^{3},&\beta _{3}&={\frac {17}{480}}n^{3},\\[12pt]\delta _{1}&=2n-{\frac {2}{3}}n^{2}-2n^{3},&\delta _{2}&={\frac {7}{3}}n^{2}-{\frac {8}{5}}n^{3},&\delta _{3}&={\frac {56}{15}}n^{3}.\end{aligned}}}$

От широты, долготы (φ,λ) в координаты UTM (E, N)

Сначала вычислим некоторые промежуточные значения:

${\displaystyle t=\sinh \left(\tanh ^{-1}\left(\sin \varphi \right)-{\frac {2{\sqrt {n}}}{1+n}}\tanh ^{-1}\left({\frac {2{\sqrt {n}}}{1+n}}\sin \varphi \right)\right),}$

${\displaystyle \xi '=\tan ^{-1}\left({\frac {t}{\cos(\lambda -\lambda _{0})}}\right),\,\,\,\eta '=\tanh ^{-1}\left({\frac {\sin(\lambda -\lambda _{0})}{\sqrt {1+t^{2}}}}\right),}$

${\displaystyle \sigma =1+\sum _{j=1}^{3}2j\alpha _{j}\cos(2j\xi ')\cosh(2j\eta '),\,\,\,\tau =\sum _{j=1}^{3}2j\alpha _{j}\sin(2j\xi ')\sinh(2j\eta ').}$

Окончательные формулы:

${\displaystyle E=E_{0}+k_{0}A\left(\eta '+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}\cos(2j\xi ')\sinh(2j\eta ')\right),}$

${\displaystyle N=N_{0}+k_{0}A\left(\xi '+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}\sin(2j\xi ')\cosh(2j\eta ')\right),}$

${\displaystyle k={\frac {k_{0}A}{a}}{\sqrt {\left\{1+\left({\frac {1-n}{1+n}}\tan \varphi \right)^{2}\right\}{\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{t^{2}+\cos ^{2}(\lambda -\lambda _{0})}}}},}$

${\displaystyle \gamma =\tan ^{-1}\left({\frac {\tau {\sqrt {1+t^{2}}}+\sigma t\tan(\lambda -\lambda _{0})}{\sigma {\sqrt {1+t^{2}}}-\tau t\tan(\lambda -\lambda _{0})}}\right).}$

где — восточное направление, — северное направление, — масштабный коэффициент, — схождение сетки. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \gamma }$

Из координат UTM (E, N, Zone, Hemi) в широту, долготу (φ,λ)

Примечание: Hemi = +1 для северного, Hemi = −1 для южного

Сначала давайте вычислим некоторые промежуточные значения:

${\displaystyle \xi ={\frac {N-N_{0}}{k_{0}A}},\,\,\,\eta ={\frac {E-E_{0}}{k_{0}A}},}$

${\displaystyle \xi '=\xi -\sum _{j=1}^{3}\beta _{j}\sin \left(2j\xi \right)\cosh \left(2j\eta \right),\,\,\,\eta '=\eta -\sum _{j=1}^{3}\beta _{j}\cos \left(2j\xi \right)\sinh \left(2j\eta \right),}$

${\displaystyle \sigma '=1-\sum _{j=1}^{3}2j\beta _{j}\cos \left(2j\xi \right)\cosh \left(2j\eta \right),\,\,\,\tau '=\sum _{j=1}^{3}2j\beta _{j}\sin \left(2j\xi \right)\sinh \left(2j\eta \right),}$

${\displaystyle \chi =\sin ^{-1}\left({\frac {\sin \xi '}{\cosh \eta '}}\right).}$

Окончательные формулы:

${\displaystyle \varphi =\chi +\sum _{j=1}^{3}\delta _{j}\sin \left(2j\chi \right),}$

${\displaystyle \lambda _{0}=\mathrm {Z} \mathrm {o} \mathrm {n} \mathrm {e} \times 6^{\circ }-183^{\circ }\,}$

${\displaystyle \lambda =\lambda _{0}+\tan ^{-1}\left({\frac {\sinh \eta '}{\cos \xi '}}\right),}$

${\displaystyle k={\frac {k_{0}A}{a}}{\sqrt {\left\{1+\left({\frac {1-n}{1+n}}\tan \varphi \right)^{2}\right\}{\frac {\cos ^{2}\xi '+\sinh ^{2}\eta '}{\sigma '^{2}+\tau '^{2}}}}},}$

${\displaystyle \gamma =\mathrm {H} \mathrm {e} \mathrm {m} \mathrm {i} \times \tan ^{-1}\left({\frac {\tau '+\sigma '\tan \xi '\tanh \eta '}{\sigma '-\tau '\tan \xi '\tanh \eta '}}\right).}$

Смотрите также

• Европейская наземная система координат 1989 (ETRS89)
• Военная система координат , вариант UTM, предназначенный для упрощения передачи координат.
• Модифицированная поперечная проекция Меркатора — разновидность UTM, используемая в Канаде, с зонами, расположенными на расстоянии 3° долготы друг от друга, в отличие от 6° UTM.
• Поперечная проекция Меркатора — картографическая проекция, используемая UTM.
• Универсальная полярная стереографическая система координат , используемая на Северном и Южном полюсах.
• Открытый код местоположения , иерархическая зонированная система
• MapCode — иерархическая зональная система

Ссылки

1. "Универсальная поперечная проекция Меркатора (UTM)". Библиотека программного обеспечения для преобразования координат PROJ .^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
2. Снайдер, Джон П. (1987). Картографические проекции: рабочее руководство . Типография правительства США.
3. Дракуп, Йозеф Ф. «История NOAA — Геодезия и картография — Геодезические исследования 1940–1990 гг.». www.history.noaa.gov . Архивировано из оригинала 18.12.2019.
4. Бухройтнер, Манфред Ф.; Пфальбуш, Рене. Геодезические сетки на авторитетных картах — новые данные о происхождении сетки UTM. Картография и географическая информатика, 2016, doi:10.1080/15230406.2015.1128851.
5. Экваториальный радиус 6 378 206,4 метра, полярный радиус 6 356 583,8 метра.
6. Экваториальный радиус 6 378 388 метров, обратная величина сплющивания 297 точно
7. "ВСЕОБЩИЕ СЕТКИ: Универсальная поперечная проекция Меркатора (UTM) и Универсальная полярная стереографическая проекция (UPS)" (PDF) . National_Geospatial-Intelligence_Agency . 1989-09-18. Архивировано (PDF) из оригинала 2024-02-13 . Получено 2024-02-13 .
8. "Military Map Reading 201" (PDF) . Национальное агентство геопространственной разведки . 2002-05-29 . Получено 2009-06-19 .
9. Крюгер, Луи (1912). «Konforme Abbildung des Erdellipsoids in der Ebene». Deutsches GeoForschungsZentrum GFZ. doi :10.2312/GFZ.b103-krueger28. {{cite journal}}: Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
10. Карни, Чарльз ФФ (2011). «Поперечная проекция Меркатора с точностью в несколько нанометров». Журнал геодезии . 85 (8): 475–485. arXiv : 1002.1417 . Bibcode : 2011JGeod..85..475K. doi : 10.1007/s00190-011-0445-3. S2CID  118619524.
11. Кавасэ, К. (2012): Краткий вывод формул обширного преобразования координат в проекции Гаусса-Крюгера, Бюллетень Управления геопространственной информации Японии , 60 , стр. 1–6
12. Кавасэ, К. (2011): Общая формула для расчета длины дуги меридиана и ее применение для преобразования координат в проекции Гаусса-Крюгера, Бюллетень Управления геопространственной информации Японии, 59 , 1–13

Внешние ссылки

• Координаты UTM в Google Maps.
• Понимание проекции UTM.

Дальнейшее чтение

• Снайдер, Джон П. (1987). Картографические проекции – рабочее руководство. Профессиональная статья Геологической службы США 1395. Типография правительства США, Вашингтон, округ Колумбия