Порог перколяции

Пороговые модели теории перколяции

Порог перколяции — это математическое понятие в теории перколяции , которое описывает формирование дальней связности в случайных системах. Ниже порога гигантской компоненты связности не существует; а над ним существует гигантская компонента порядка размера системы. В технике и приготовлении кофе перколяция представляет собой поток жидкостей через пористую среду , но в мирах математики и физики она обычно относится к упрощенным решетчатым моделям случайных систем или сетей ( графов ) и природе связности в них. Порог перколяции — это критическое значение вероятности заполнения p или, в более общем смысле, критическая поверхность для группы параметров p ₁ , p ₂ , ..., такая, что сначала возникает бесконечная связность ( перколяция ^{). [1]}

Модели перколяции

Наиболее распространенная модель перколяции состоит в том, чтобы взять регулярную решетку, например квадратную, и превратить ее в случайную сеть путем случайного «занятия» узлов (вершин) или связей (ребер) со статистически независимой вероятностью p . При критическом пороге pc сначала _{появляются} большие кластеры и дальняя связность, и это называется порогом перколяции . В зависимости от метода получения случайной сети различают порог перколяции сайтов и порог перколяции связей . Более общие системы имеют несколько вероятностей p ₁ , p ₂ и т. д., а переход характеризуется критической поверхностью или многообразием . Можно также рассмотреть системы континуума, такие как перекрывающиеся диски и сферы, расположенные случайным образом, или отрицательное пространство ( модели швейцарского сыра ).

Чтобы понять порог, вы можете рассмотреть такую ​​величину, как вероятность того, что существует непрерывный путь от одной границы к другой вдоль занятых сайтов или связей, то есть внутри одного кластера. Например, можно рассмотреть квадратную систему и задать вероятность P того, что существует путь от верхней границы до нижней границы. В зависимости от вероятности занятия p можно найти сигмоидальный график, который идет от P=0 при p=0 до P=1 при p=1 . Чем больше квадрат по сравнению с шагом решетки, тем резче будет переход. Когда размер системы стремится к бесконечности, P(p) будет ступенчатой ​​функцией при пороговом значении pc _. Для конечных больших систем P(pc ₎ — константа, значение которой зависит от формы системы; для квадратной системы, обсуждавшейся выше, P(p _c ) = 1 ⁄ 2 точно для любой решетки по простому аргументу симметрии.

Есть и другие признаки критического порога. Например, распределение по размерам (количество кластеров размером s ) спадает по степенному закону для больших s на пороге, _ns ( pc ₎ ~ s ^−τ , где τ — зависящие от размерности критические показатели перколяции . Для бесконечной системы критический порог соответствует первой точке (при увеличении p ), где размер кластеров становится бесконечным.

В описанных до сих пор системах предполагалось, что заселение узла или связи совершенно случайно — это так называемая перколяция Бернулли . Для непрерывной системы случайное заселение соответствует точкам, размещаемым с помощью процесса Пуассона . Дальнейшие вариации включают коррелированную перколяцию, например, перколяционные кластеры, связанные с моделями ферромагнетиков Изинга и Поттса, в которых связи записываются методом Фортюина- Кастелейна . ^[2] При начальной загрузке или перколяции k-sat сайты и/или связи сначала заполняются, а затем последовательно удаляются из системы, если сайт не имеет хотя бы k соседей. Другая важная модель перколяции, вообще относящаяся к другому классу универсальности , — это направленная перколяция , где связность вдоль связи зависит от направления потока.

За последние несколько десятилетий была проделана огромная работа по нахождению точных и приблизительных значений порогов перколяции для множества таких систем. Точные пороги известны только для некоторых двумерных решеток, которые можно разбить на самодвойственный массив, так что при преобразовании треугольник-треугольник система остается той же самой. Исследования с использованием численных методов привели к многочисленным улучшениям алгоритмов и нескольким теоретическим открытиям.

Простая двойственность в двух измерениях подразумевает, что все полностью триангулированные решетки (например, треугольная, Юнион Джек, перекрестная двойная, двойная по Мартини и асаноха или двойная 3-12, а также триангуляция Делоне) имеют пороги узлов 1 ⁄ 2 и само- двойные решетки (квадратные, мартини-Б) имеют порог связи 1 ⁄ 2 .

Такие обозначения, как (4,8 ² ), взяты из Грюнбаума и Шепарда , ^[3] и указывают, что вокруг данной вершины, идя по часовой стрелке, встречаются сначала квадрат, а затем два восьмиугольника. Помимо одиннадцати архимедовых решеток , составленных из правильных многоугольников, каждый узел которых эквивалентен, было изучено множество других, более сложных решеток с узлами разных классов.

Столбики ошибок в последней цифре или цифрах показаны числами в скобках. Таким образом, 0,729724(3) означает 0,729724 ± 0,000003, а 0,74042195(80) означает 0,74042195 ± 0,00000080. Столбики погрешностей по-разному представляют одно или два стандартных отклонения чистой ошибки (включая статистическую и ожидаемую систематическую ошибку) или эмпирический доверительный интервал, в зависимости от источника.

Проникновение в сети

Для случайной древовидной сети (т. е. связной сети без цикла) без степени корреляции можно показать, что такая сеть может иметь гигантскую компоненту , а порог перколяции (вероятность передачи) определяется выражением

${\displaystyle p_{c}={\frac {1}{g_{1}'(1)}}={\frac {\langle k\rangle }{\langle k^{2}\rangle -\langle k\rangle }}}$.

Где – производящая функция , соответствующая распределению избыточных степеней , – средняя степень сети, – второй момент распределения степеней . Так, например, для сети ER , поскольку распределение степеней является распределением Пуассона , порог находится на уровне . ${\displaystyle g_{1}(z)}$ ${\displaystyle {\langle k\rangle }}$ ${\displaystyle {\langle k^{2}\rangle }}$ ${\displaystyle p_{c}={\langle k\rangle }^{-1}}$

В сетях с низкой кластеризацией критическая точка масштабируется так, что : ^[4] ${\displaystyle 0<C\ll 1}$ ${\displaystyle (1-C)^{-1}}$

${\displaystyle p_{c}={\frac {1}{1-C}}{\frac {1}{g_{1}'(1)}}.}$

Это указывает на то, что для данного распределения степеней кластеризация приводит к большему порогу перколяции, главным образом потому, что для фиксированного числа связей структура кластеризации усиливает ядро ​​сети ценой размывания глобальных связей. Для сетей с высокой степенью кластеризации сильная кластеризация может вызвать структуру ядро-периферия, в которой ядро ​​и периферия могут проникать в разные критические точки, и приведенная выше приблизительная трактовка неприменима. ^[5]

Перколяция в 2D

Пороги на архимедовых решетках

Это изображение ^[6] 11 архимедовых решеток или равномерных мозаик , в которых все многоугольники правильные и каждая вершина окружена одной и той же последовательностью многоугольников. Например, обозначение «(3 ⁴ , 6)» означает, что каждая вершина окружена четырьмя треугольниками и одним шестиугольником. Некоторые общие названия, данные этим решеткам, перечислены в таблице ниже.

Примечание: иногда вместо сот используется слово «шестиугольная», хотя в некоторых контекстах треугольную решетку также называют шестиугольной решеткой . z = объемное координационное число .

2D-решетки с расширенными и сложными окрестностями

В этом разделе sq-1,2,3 соответствует квадрату (NN+2NN+3NN), ^[39] и т. д. Эквивалентно квадрату-2N+3N+4N, ^[40] sq(1,2,3). ^[41] tri = треугольный, hc = сотовый.

Здесь NN = ближайший сосед, 2NN = второй ближайший сосед (или следующий ближайший сосед), 3NN = третий ближайший сосед (или следующий ближайший сосед) и т. д. В некоторых статьях их также называют 2N, 3N, 4N соответственно. ^[39]

• Для перекрывающихся или соприкасающихся квадратов (участок), приведенный здесь, представляет собой чистую долю занятых сайтов, аналогично просачиванию в континууме. Случай квадрата 2×2 эквивалентен перколяции квадратной решетки NN+2NN+3NN+4NN или sq-1,2,3,4 с порогом с . ^[52] Квадрат 3×3 соответствует sq-1,2,3,4,5,6,7,8 с z =44 и . Значение z для квадрата k x k равно (2 k +1) ² -5. О более крупных перекрывающихся квадратах см. ^[52] ${\displaystyle p_{c}}$ ${\displaystyle \phi _{c}}$ ${\displaystyle \phi _{c}}$ ${\displaystyle 1-(1-\phi _{c})^{1/4}=0.196724(10)\ldots }$ ${\displaystyle \phi _{c}=0.58365(2)}$ ${\displaystyle p_{c}=1-(1-\phi _{c})^{1/9}=0.095765(5)\ldots }$

2D искаженные решетки

Здесь искажается регулярная решетка с единичными интервалами, равномерно перемещая вершины внутри рамки , и рассматривается перколяция, когда узлы находятся на евклидовом расстоянии друг от друга. ${\displaystyle (x-\alpha ,x+\alpha ),(y-\alpha ,y+\alpha )}$ ${\displaystyle d}$

Перекрывающиеся фигуры на 2D-решетках

Порог узла — это количество перекрывающихся объектов на узел решетки. k — длина (чистая площадь). Перекрывающиеся квадраты показаны в разделе комплексной окрестности. Здесь z — координационное число k-меров любой ориентации, для палочек . ${\displaystyle z=k^{2}+10k-2}$ ${\displaystyle 1\times k}$

Покрытие рассчитывается исходя из для палочек , потому что есть сайты, где палка будет вызывать перекрытие с данным сайтом. ${\displaystyle p_{c}}$ ${\displaystyle \phi _{c}=1-(1-p_{c})^{2k}}$ ${\displaystyle 1\times k}$ ${\displaystyle 2k}$

Для выровненных палочек: ${\displaystyle 1\times k}$ ${\displaystyle \phi _{c}=1-(1-p_{c})^{k}}$

Приближенные формулы для порогов архимедовых решеток

Перколяция AB и цветная перколяция в 2D

При перколяции AB a представляет собой долю сайтов A среди сайтов B, и связи образуются между сайтами противоположных видов. ^[58] Его еще называют антиперколяцией. ${\displaystyle p_{\mathrm {site} }}$

При цветной перколяции занятым узлам с равной вероятностью присваивается один из цветов, а соединение осуществляется по связям между соседями разных цветов. ^[59] ${\displaystyle n}$

Проникновение связей между сайтами в 2D

Проникновение связей на сайте. Здесь — вероятность занятия сайта, а — вероятность занятия связи, а связность осуществляется только в том случае, если и сайты, и связи вдоль пути заняты. Условие критичности становится кривой = 0, и некоторые конкретные критические пары перечислены ниже. ${\displaystyle p_{s}}$ ${\displaystyle p_{b}}$ ${\displaystyle f(p_{s},p_{b})}$ ${\displaystyle (p_{s},p_{b})}$

Квадратная решетка:

Сотовая (шестиугольная) решетка:

Решетка Кагоме:

* Значения для разных решеток см. в «Исследовании перколяции узловых связей на многих решетках». ^[64]

Приблизительная формула перколяции межсайтовых связей на сотовой решетке

Архимедовы двойственные числа (решетки Лавеса)

Пример подписи к изображению

Решетки Лавеса являются двойственными решеткам Архимеда. Рисунки из. ^[6] См. также Равномерные мозаики .

2-однородные решетки

Верхние 3 решетки: №13 №12 №36
Нижние 3 решетки: №34 №37 №11

20 2 однородные решетки

^[3]

2 верхние решетки: №35 №30
2 нижние решетки: №41 №42

20 2 однородные решетки

^[3]

Верхние 4 решетки: №22 №23 №21 №20
Нижние 3 решетки: №16 №17 №15

20 2 однородные решетки

^[3]

Две верхние решетки: №31 №32
Нижняя решетка: №33

20 2 однородные решетки

^[3]

Неоднородная 2-однородная решетка

2-равномерная решетка №37

На этом рисунке показано нечто похожее на 2-однородную решетку № 37, за исключением того, что не все многоугольники правильные — на месте двух квадратов находится прямоугольник — и размер многоугольников изменен. Эта решетка находится в изорадиальном представлении, в котором каждый многоугольник вписан в окружность единичного радиуса. Два квадрата в 2-однородной решетке теперь должны быть представлены как один прямоугольник, чтобы удовлетворить условию изорадиальности. Решетка показана черными краями, а двойственная решетка - красными пунктирными линиями. Зеленые кружки показывают изорадиальные ограничения как на исходную, так и на двойственную решетки. Желтые многоугольники выделяют три типа многоугольников на решетке, а розовые многоугольники выделяют два типа многоугольников на двойной решетке. Решетка имеет типы вершин ( 1 ⁄ 2 )(3 ³ ,4 ² ) + ( 1 ⁄ 2 )(3,4,6,4), а двойственная решетка имеет типы вершин ( 1 ⁄ 15 )(4 ⁶ )+ ( 6 ⁄ 15 )(4 ² ,5 ² )+( 2 ⁄ 15 )(5 ³ )+( 6 ⁄ 15 )(5 ² ,4). Критическая точка заключается в том, что более длинные связи (как в решетке, так и в двойной решетке) имеют вероятность заполнения p = 2 sin (π/18) = 0,347296... что является порогом перколяции связи в треугольной решетке, а более короткие связи имеют вероятность заполнения 1 - 2 sin(π/18) = 0,652703..., что представляет собой перколяцию связей в гексагональной решетке. Эти результаты следуют из условия изорадиальности ^[70] , но также следуют из применения преобразования звезда-треугольник к некоторым звездам на сотовой решетке. Наконец, его можно обобщить до трех разных вероятностей в трех разных направлениях: p ₁ , p ₂ и p ₃ для длинных связей и 1 − p ₁ , 1 − p ₂ и 1 − p ₃ для коротких связей. , где p ₁ , p ₂ и p ₃ удовлетворяют критической поверхности неоднородной треугольной решетки.

Пороги на 2D решетках для галстука-бабочки и мартини

Слева, в центре и справа расположены: решетка для мартини, решетка для мартини-А, решетка для мартини-Б. Внизу: покрытие мартини/медиальная решетка, такая же, как подсеть 2×2, 1×1 для решеток типа кагоме (удалена).

Пример подписи к изображению

Некоторые другие примеры обобщенных решеток-бабочек (ad) и двойственных решеток (eh):

Пример подписи к изображению

Пороги на двумерных покрывающих, медиальных и совпадающих решетках

Пороги на двумерных химерных неплоских решетках

Пороги на решетках подсетей

Пример подписи к изображению

Решетки кагоме подсетей 2 x 2, 3 x 3 и 4 x 4. Подсеть 2 × 2 также известна как решетка «треугольного кагоме». ^[79]

Пороги случайных последовательно адсорбируемых объектов

(Дополнительные результаты и сравнение с плотностью застревания см. в разделе «Случайная последовательная адсорбция »).

Порог определяет долю сайтов, занимаемых объектами, когда происходит первое проникновение сайтов (не при полном заклинивании). Более длинные k-меры см. в работе. ^[88]

Пороги полных димерных накрытий двумерных решеток

Здесь мы имеем дело с сетками, которые получаются путем покрытия решетки димерами, а затем рассматриваем перколяцию связей по остальным связям. В дискретной математике эта проблема известна как проблема «идеального соответствия» или «проблемы димерного покрытия».

Пороги полимеров (случайные блуждания) на квадратной решетке

Система состоит из обычных (неизбегающих) случайных блужданий длины l по квадратной решетке. ^[90]

Пороги самоизбегающих блужданий длины k, добавленные случайной последовательной адсорбцией

Пороги на двумерных неоднородных решетках

Пороги для 2D-моделей континуума

Перколяция двумерного континуума с помощью дисков

Перколяция двумерного континуума с эллипсами с соотношением сторон 2

Для дисков — критическое количество дисков на единицу площади, измеряемое в единицах диаметра , где — количество объектов, — размер системы. ${\displaystyle n_{c}=4r^{2}N/L^{2}}$ ${\displaystyle 2r}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle L}$

Для дисков равна критической общей площади диска. ${\displaystyle \eta _{c}=\pi r^{2}N/L^{2}=(\pi /4)n_{c}}$

${\displaystyle 4\eta _{c}}$дает число центров диска внутри круга влияния (радиус 2 r).

${\displaystyle r_{c}=L{\sqrt {\frac {\eta _{c}}{\pi N}}}={\frac {L}{2}}{\sqrt {\frac {n_{c}}{N}}}}$– критический радиус диска.

${\displaystyle \eta _{c}=\pi abN/L^{2}}$для эллипсов большой и малой полуосей a и b соответственно. Соотношение сторон с . ${\displaystyle \epsilon =a/b}$ ${\displaystyle a>b}$

${\displaystyle \eta _{c}=\ell mN/L^{2}}$для прямоугольников размеров и . Соотношение сторон с . ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \epsilon =\ell /m}$ ${\displaystyle \ell >m}$

${\displaystyle \eta _{c}=\pi xN/(4L^{2}(x-2))}$ для степенных распределенных дисков с , . ${\displaystyle {\hbox{Prob(radius}}\geq R)=R^{-x}}$ ${\displaystyle R\geq 1}$

${\displaystyle \phi _{c}=1-e^{-\eta _{c}}}$равна доле критической площади.

Для дисков см. В ^[99] используется где – плотность дисков радиуса . ${\displaystyle \phi _{c}=1-e^{-\pi x/2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle n_{c}=\ell ^{2}N/L^{2}}$равно количеству объектов максимальной длины на единицу площади. ${\displaystyle \ell =2a}$

Для эллипсов ${\displaystyle n_{c}=(4\epsilon /\pi )\eta _{c}}$

Для перколяции пустот – критическая доля пустот. ${\displaystyle \phi _{c}=e^{-\eta _{c}}}$

Дополнительные значения эллипса см. в ^{[109] [112].}

Дополнительные значения прямоугольника см. в ^[115].

И эллипсы, и прямоугольники относятся к суперэллипсам, причем . Дополнительные значения перколяции суперэллипсов см. ^[102] ${\displaystyle |x/a|^{2m}+|y/b|^{2m}=1}$

Для монодисперсных систем частиц пороги перколяции супердисков вогнутой формы получены, как показано в ^[121]:

О бинарных дисперсиях дисков см. ^{[95] [122] [123]}

Пороги для двумерных случайных и квазирешеток

Диаграмма Вороного (сплошные линии) и двойственная ей триангуляция Делоне (пунктирные линии) для распределения Пуассона точек

Триангуляция Делоне

Покрытие Вороного или линейный график (пунктирные красные линии) и диаграмма Вороного (черные линии)

Граф относительной окрестности (черные линии) ^[124] наложен на триангуляцию Делоне (черные плюс серые линии).

Граф Габриэля, подграф триангуляции Делоне, в котором круг, окружающий каждое ребро, не заключает в себе другие точки графа.

Равномерная бесконечная плоская триангуляция, показывающая кластеры связей. Из ^[125]

*Теоретическая оценка

Пороги в 2D-коррелированных системах

Предполагая степенные корреляции ${\displaystyle C(r)\sim |r|^{-\alpha }}$

Пороги на плитах

h — толщина плиты, h × ∞ × ∞. Граничные условия (bc) относятся к верхней и нижней плоскостям плиты.

Перколяция в 3D

Коэффициент заполнения = доля пространства, заполненная соприкасающимися сферами в каждом узле решетки (только для систем с одинаковой длиной связи). Также называется атомным фактором упаковки .

Доля наполнения (или критическая фракция наполнения) = коэффициент наполнения * p _c (место установки).

NN = ближайший сосед, 2NN = следующий ближайший сосед, 3NN = следующий ближайший сосед и т. д.

Кубы kxkxk представляют собой кубы занятых узлов решетки и эквивалентны перколяции куба длины (2k+1) с удаленными ребрами и углами, с z = (2k+1) ³ -12(2k- 1)-9 (центральный участок не учитывается в z).

Вопрос: пороги связи для ГПУ и ГЦК-решетки совпадают в пределах небольшой статистической погрешности. Являются ли они идентичными, и если нет, то насколько далеко они друг от друга? Какой порог ожидается выше? Аналогично для ледяных и алмазных решеток. См. ^[189]

3D искаженные решетки

Здесь искажается регулярная решетка с единичными интервалами, равномерно перемещая вершины внутри куба , и рассматривается перколяция, когда узлы находятся на евклидовом расстоянии друг от друга. ${\displaystyle (x-\alpha ,x+\alpha ),(y-\alpha ,y+\alpha ),(z-\alpha ,z+\alpha )}$ ${\displaystyle d}$

Перекрывающиеся фигуры на 3D-решетках

Порог узла — это количество перекрывающихся объектов на узел решетки. Покрытие φ _c — это чистая доля охваченных сайтов, а v — объем (количество кубов). Перекрывающиеся кубы приведены в разделе о порогах трехмерных решеток. Здесь z — координационное число k-меров любой ориентации, причем ${\displaystyle z=6k^{2}+18k-4}$

Покрытие рассчитывается как для палочек, так и для плакеток. ${\displaystyle p_{c}}$ ${\displaystyle \phi _{c}=1-(1-p_{c})^{3k}}$ ${\displaystyle \phi _{c}=1-(1-p_{c})^{3k^{2}}}$

Перколяция димеров в 3D

Пороги для 3D-моделей континуума

Все перекрывается, кроме затертых сфер и полимерной матрицы.

${\displaystyle \eta _{c}=(4/3)\pi r^{3}N/L^{3}}$— общий объём (для сфер), где N — количество объектов, а L — размер системы.

${\displaystyle \phi _{c}=1-e^{-\eta _{c}}}$— критическая объемная доля, действительная для перекрывающихся случайно расположенных объектов.

Для дисков и пластин – это эффективные объемы и объемные доли.

Для пустот (модель «швейцарский сыр») – критическая доля пустот. ${\displaystyle \phi _{c}=e^{-\eta _{c}}}$

Дополнительные результаты по просачиванию пустот вокруг эллипсоидов и эллиптических пластин см. ^[213]

Дополнительные значения перколяции эллипсоида см. ^[201]

Для сфероцилиндров H/D — это отношение высоты к диаметру цилиндра, который затем закрывается полусферами. Дополнительные значения приведены в ^{[198] .}

Для супершаров m — параметр деформации, значения перколяции приведены в ^{[214], [215].} Кроме того, пороги супершаров вогнутой формы определены также в ^[121]

Для кубоидоподобных частиц (суперэллипсоидов) m — параметр деформации, дополнительные значения перколяции приведены в ^[200]

Просачивание пустоты в 3D

Просачивание пустоты относится к просачиванию в пространство вокруг перекрывающихся объектов. Здесь относится к доле пространства, занимаемой пустотами (не частицами) в критической точке, и связана с соотношением . определяется так же, как в разделе о перколяции континуума выше. ${\displaystyle \phi _{c}}$ ${\displaystyle \eta _{c}}$ ${\displaystyle \phi _{c}=e^{-\eta _{c}}}$ ${\displaystyle \eta _{c}}$

Пороги для 3D случайных и квазирешеток

Пороги для других 3D-моделей

${\displaystyle ^{*}}$При просачивании бурения порог участка представляет собой долю столбцов в каждом направлении, которые не были удалены, и . Для бурения 1d у нас есть (столбцы) (площадки). ${\displaystyle p_{c}}$ ${\displaystyle \phi _{c}=p_{c}^{3}}$ ${\displaystyle \phi _{c}=p_{c}}$ ${\displaystyle p_{c}}$

^† При перколяции трубок порог связи представляет собой такое значение параметра, при котором вероятность образования связи между соседними вертикальными сегментами трубки равна , где – высота перекрытия двух соседних сегментов трубки. ^[233] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 1-e^{-\mu h_{i}}}$ ${\displaystyle h_{i}}$

Пороги в разных размерных пространствах

Модели континуума в более высоких измерениях

${\displaystyle \eta _{c}=(\pi ^{d/2}/\Gamma [d/2+1])r^{d}N/L^{d}.}$

В 4д, . ${\displaystyle \eta _{c}=(1/2)\pi ^{2}r^{4}N/L^{4}}$

В 5д, . ${\displaystyle \eta _{c}=(8/15)\pi ^{2}r^{5}N/L^{5}}$

В 6д, . ${\displaystyle \eta _{c}=(1/6)\pi ^{3}r^{6}N/L^{6}}$

${\displaystyle \phi _{c}=1-e^{-\eta _{c}}}$— критическая объемная доля, действительная для перекрывающихся объектов.

Для моделей пустот – критическая доля пустот, – общий объем перекрывающихся объектов. ${\displaystyle \phi _{c}=e^{-\eta _{c}}}$ ${\displaystyle \eta _{c}}$

Пороги на гиперкубических решетках

Для порогов на гиперкубических решетках большой размерности мы имеем разложение в асимптотический ряд ^{[236] [244] [247]}

${\displaystyle p_{c}^{\mathrm {site} }(d)=\sigma ^{-1}+{\frac {3}{2}}\sigma ^{-2}+{\frac {15}{4}}\sigma ^{-3}+{\frac {83}{4}}\sigma ^{-4}+{\frac {6577}{48}}\sigma ^{-5}+{\frac {119077}{96}}\sigma ^{-6}+{\mathcal {O}}(\sigma ^{-7})}$

${\displaystyle p_{c}^{\mathrm {bond} }(d)=\sigma ^{-1}+{\frac {5}{2}}\sigma ^{-3}+{\frac {15}{2}}\sigma ^{-4}+57\sigma ^{-5}+{\frac {4855}{12}}\sigma ^{-6}+{\mathcal {O}}(\sigma ^{-7})}$

где . Например, для 13-мерной перколяции связей погрешность измеренного значения составляет менее 10 ^-6 , и эти формулы могут быть полезны для систем более высокой размерности. ${\displaystyle \sigma =2d-1}$

Пороги в других решетках более высокой размерности

Пороги в одномерной перколяции на большие расстояния

Модель перколяции дальних связей. Линии представляют собой возможные связи, ширина которых уменьшается по мере уменьшения вероятности соединения (левая панель). Экземпляр модели вместе с созданными кластерами (правая панель).

В одномерной цепочке мы устанавливаем связи между отдельными узлами и с вероятностью , затухающей по степенному закону с показателем степени . Перколяция происходит ^{[250] [251]} при критическом значении . Численно определенные пороги перколяции определяются следующим образом: ^[252] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle p={\frac {C}{|i-j|^{1+\sigma }}}}$ ${\displaystyle \sigma >0}$ ${\displaystyle C_{c}<1}$ ${\displaystyle \sigma <1}$

Пороги на гиперболических, иерархических и древовидных решетках

В таких решетках может быть два порога перколяции: нижний порог — это вероятность появления бесконечных кластеров, а верхний — вероятность, выше которой существует единственный бесконечный кластер.

Визуализация треугольной гиперболической решетки {3,7}, спроецированной на диск Пуанкаре (красные связи). Зеленые связи демонстрируют двойные кластеры на решетке {7,3} ^[253]

Изображение непланарной ханойской сети HN-NP ^[254]

Примечание. {m,n} — символ Шлефли, обозначающий гиперболическую решетку, в которой n правильных m-угольников пересекаются в каждой вершине.

Для перколяции связей на {P,Q} мы имеем по двойственности . Для перколяции узлов из-за самосогласования треугольных решеток. ${\displaystyle p_{c,\ell }(P,Q)+p_{c,u}(Q,P)=1}$ ${\displaystyle p_{c,\ell }(3,Q)+p_{c,u}(3,Q)=1}$

Дерево Кэли (решетка Бете) с координационным числом ${\displaystyle z:p_{c}=1/(z-1)}$

Пороги для направленной перколяции

(1+1)D Решетка Кагоме

(1+1)D квадратная решетка

(1+1)D треугольная решетка

(2+1)D СК-решетка

(2+1)D ОЦК-решетка

nn = ближайшие соседи. Для ( d  + 1)-мерной гиперкубической системы гиперкуб имеет d измерений, а направление времени указывает на ближайших двумерных соседей.

Направленная перколяция с несколькими соседями

Направленная перколяция сайт-связью

p_b = порог облигации

p_s = порог сайта

Проникновение связей между сайтами эквивалентно наличию различных вероятностей связей:

P_0 = вероятность того, что ни один сайт не подключен

P_2 = вероятность того, что ровно один потомок соединен с верхней вершиной (два соединены вместе)

P_3 = вероятность того, что оба потомка связаны с исходной вершиной (все три соединены вместе)

Формулы:

P_0 = (1-p_s) + p_s(1-p_b)^2

P_2 = p_s p_b (1-p_b)

P_3 = p_s p_b^2

П_0 + 2П_2 + П_3 = 1

Точные критические многообразия неоднородных систем.

Перколяция связей неоднородной треугольной решетки ^[20]

${\displaystyle 1-p_{1}-p_{2}-p_{3}+p_{1}p_{2}p_{3}=0}$

Перколяция связей неоднородной сотовой решетки = перколяция узлов решетки кагоме ^[20]

${\displaystyle 1-p_{1}p_{2}-p_{1}p_{3}-p_{2}p_{3}+p_{1}p_{2}p_{3}=0}$

Неоднородная (3,12^2) решетка, перколяция узлов ^{[7] [280]}

${\displaystyle 1-3(s_{1}s_{2})^{2}+(s_{1}s_{2})^{3}=0,}$или ${\displaystyle s_{1}s_{2}=1-2\sin(\pi /18)}$

Неоднородная решетка «британского флага», перколяция узлов с вероятностями ^[281] ${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}}$

${\displaystyle p_{3}=1-p_{1};\qquad p_{4}=1-p_{2}}$

Неоднородная решетка Мартини, перколяция связей ^{[73] [282]}

${\displaystyle 1-(p_{1}p_{2}r_{3}+p_{2}p_{3}r_{1}+p_{1}p_{3}r_{2})-(p_{1}p_{2}r_{1}r_{2}+p_{1}p_{3}r_{1}r_{3}+p_{2}p_{3}r_{2}r_{3})+p_{1}p_{2}p_{3}(r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3})+r_{1}r_{2}r_{3}(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{2}p_{3})-2p_{1}p_{2}p_{3}r_{1}r_{2}r_{3}=0}$

Неоднородная решетка Мартини, перколяция узлов. r = место в звезде

${\displaystyle 1-r(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{2}p_{3}-p_{1}p_{2}p_{3})=0}$

Неоднородная решетка мартини-А (3–7), перколяция связей. Левая сторона (от верха буквы «А» до низа): . Правая сторона: . Перекрестная связь: . ${\displaystyle r_{2},\ p_{1}}$ ${\displaystyle r_{1},\ p_{2}}$ ${\displaystyle \ r_{3}}$

${\displaystyle 1-p_{1}r_{2}-p_{2}r_{1}-p_{1}p_{2}r_{3}-p_{1}r_{1}r_{3}-p_{2}r_{2}r_{3}+p_{1}p_{2}r_{1}r_{3}+p_{1}p_{2}r_{2}r_{3}+p_{1}r_{1}r_{2}r_{3}+p_{2}r_{1}r_{2}r_{3}-p_{1}p_{2}r_{1}r_{2}r_{3}=0}$

Неоднородная решетка мартини-Б (3–5), перколяция связей

Неоднородная решетка Мартини с внешним охватывающим треугольником связей, вероятности изнутри наружу, перколяция связей ^[282] ${\displaystyle y,x,z}$

${\displaystyle 1-3z+z^{3}-(1-z^{2})[3x^{2}y(1+y-y^{2})(1+z)+x^{3}y^{2}(3-2y)(1+2z)]=0}$

Неоднородная шахматная решетка, перколяция связей ^{[57] [93]}

${\displaystyle 1-(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{1}p_{4}+p_{2}p_{3}+p_{2}p_{4}+p_{3}p_{4})+p_{1}p_{2}p_{3}+p_{1}p_{2}p_{4}+p_{1}p_{3}p_{4}+p_{2}p_{3}p_{4}=0}$

Неоднородная решетка-бабочка, перколяция связей ^{[56] [93]}

${\displaystyle 1-(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{1}p_{4}+p_{2}p_{3}+p_{2}p_{4}+p_{3}p_{4})+p_{1}p_{2}p_{3}+p_{1}p_{2}p_{4}+p_{1}p_{3}p_{4}+p_{2}p_{3}p_{4}-u(1-p_{1}p_{2}-p_{3}p_{4}+p_{1}p_{2}p_{3}p_{4})=0}$

где четыре связи вокруг квадрата и диагональная связь, соединяющая вершину между связями и . ${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle p_{4},p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2},p_{3}}$

Смотрите также

• 2D перколяционный кластер
• Перколяция начальной загрузки
• Направленная перколяция
• Приближения эффективной среды
• Модели эпидемий на решетках
• Теория графов
• Сетевая наука
• перколяция
• Критические показатели перколяции
• Теория перколяции
• Случайная последовательная адсорбция
• Однородные мозаики

Рекомендации

1. Штауффер, Дитрих; Ахароний, Амнон (2003). Введение в теорию перколяции (2-е изд.). Лондон: Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-0-7484-0253-3.
2. Кастелейн, PW; Фортуин, CM (1969). «Фазовые переходы в решетчатых системах со случайными локальными свойствами». Приложение к журналу Физического общества Японии . 26 : 11–14. Бибкод : 1969JPSJS..26...11K.
3. Grünbaum, Branko & Shephard, GC (1987). Плитки и узоры . Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 978-0-7167-1193-3.
4. Берченко, Якир; Артзи-Рандруп, Яэль; Тейчер, Мина; Стоун, Леви (30 марта 2009 г.). «Появление и размер гигантской компоненты в кластерных случайных графах с заданным распределением степеней». Письма о физических отзывах . 102 (13): 138701. Бибкод : 2009PhRvL.102m8701B. doi : 10.1103/PhysRevLett.102.138701. ISSN  0031-9007. ПМИД  19392410.
5. Ли, Мин; Лю, Ран-Ран; Лю, Линьюань; Ху, Мао-Бин; Сюй, Шуци; Чжан, И-Чэн (25 апреля 2021 г.). «Просачивание в сложных сетях: теория и применение». Отчеты по физике . 907 : 1–68. arXiv : 2101.11761 . Бибкод : 2021PhR...907....1L. doi :10.1016/j.physrep.2020.12.003. ISSN  0370-1573. S2CID  231719831.
6. Парвиайнен, Роберт (2005). Свойства связности архимедовых решеток и решеток Лавеса. Том. 34. Упсальские диссертации по математике. п. 37. ИСБН 978-91-506-1751-1.
7. Suding, PN; Р. М. Зифф (1999). «Пороги перколяции узлов для архимедовых решеток». Физический обзор E . 60 (1): 275–283. Бибкод : 1999PhRvE..60..275S. дои : 10.1103/PhysRevE.60.275. ПМИД  11969760.
8. Парвиайнен, Роберт (2007). «Оценка порогов перколяции связей на архимедовых решетках». Журнал физики А. 40 (31): 9253–9258. arXiv : 0704.2098 . Бибкод : 2007JPhA...40.9253P. дои : 10.1088/1751-8113/40/31/005. S2CID  680787.
9. Дин, Чэнсян; Чжэ Фу. Вэнань Го; Ф. Ю. Ву (2010). «Критическая граница для моделей Поттса и перколяции на решетках треугольного типа и типа кагоме II: Численный анализ». Физический обзор E . 81 (6): 061111. arXiv : 1001.1488 . Бибкод : 2010PhRvE..81f1111D. doi : 10.1103/PhysRevE.81.061111. PMID  20866382. S2CID  29625353.
10. Скаллард, ЧР; Дж. Л. Якобсен (2012). «Вычисление матрицы переноса обобщенных критических полиномов при перколяции». arXiv : 1209.1451 [cond-mat.stat-mech].
11. Якобсена, Дж. Л. (2014). «Пороги перколяции высокой точности и критические многообразия модели Поттса из полиномов-графиков». Журнал физики А. 47 (13): 135001. arXiv : 1401.7847 . Бибкод : 2014JPhA...47m5001G. дои : 10.1088/1751-8113/47/13/135001. S2CID  119614758.
12. Якобсен, Джеспер Л.; Кристиан Р. Скаллард (2013). «Критические многообразия, полиномы-графики и точная разрешимость» (PDF) . StatPhys 25, Сеул, Корея, 21–26 июля .
13. Скаллард, Кристиан Р.; Йеспер Люкке Якобсен (2020). «Пороги перколяции связей на архимедовых решетках из критических полиномиальных корней». Обзор физических исследований . 2 (1): 012050. arXiv : 1910.12376 . Бибкод : 2020PhRvR...2a2050S. doi : 10.1103/PhysRevResearch.2.012050. S2CID  204904858.
14. д'Ирибарн, К.; Расиньи, М.; Расиньи, Г. (1995). «Определение переходов перколяции сайтов для 2D-мозаики с помощью подхода минимального связующего дерева». Буквы по физике А. 209 (1–2): 95–98. Бибкод : 1995PhLA..209...95D. дои : 10.1016/0375-9601(95)00794-8.
15. д'Ирибарн, К.; Расиньи, М.; Расиньи, Г. (1999). «От решеточной дальней перколяции к континуальной». Физ. Летт. А.​ 263 (1–2): 65–69. Бибкод : 1999PhLA..263...65D. дои : 10.1016/S0375-9601(99)00585-X.
16. Шликер, Г.; К. Кайзер (1999). «Просачивание на неупорядоченной мозаике». Физика А. 269 ​​(2–4): 189–200. Бибкод : 1999PhyA..269..189S. дои : 10.1016/S0378-4371(99)00093-X.
17. Джорджевич, З.В.; Его Превосходительство Стэнли; Алла Марголина (1982). «Порог просачивания площадки для сотовых и квадратных решеток». Журнал физики А. 15 (8): Л405–Л412. Бибкод : 1982JPhA...15L.405D. дои : 10.1088/0305-4470/15/8/006.
18. Фэн, Сяомэй; Юджин Дэн; HWJ Блёте (2008). «Перколяционные переходы в двух измерениях». Физический обзор E . 78 (3): 031136. arXiv : 0901.1370 . Бибкод : 2008PhRvE..78c1136F. doi : 10.1103/PhysRevE.78.031136. PMID  18851022. S2CID  29282598.
19. Зифф, РМ; Ханг Гу (2008). «Универсальное условие критических порогов перколяции решеток типа кагоме». Физический обзор E . 79 (2): 020102.arXiv : 0812.0181 . doi :10.1103/PhysRevE.79.020102. PMID  19391694. S2CID  18051122.
20. Сайкс, МФ; Дж. В. Эссам (1964). «Точные критические вероятности просачивания для проблем с местом и связью в двух измерениях». Журнал математической физики . 5 (8): 1117–1127. Бибкод : 1964JMP.....5.1117S. дои : 10.1063/1.1704215.
21. Зифф, РМ; П.В. Судинг (1997). «Определение порога перколяции связи в решетке кагоме». Журнал физики А. 30 (15): 5351–5359. arXiv : cond-mat/9707110 . Бибкод : 1997JPhA...30.5351Z. дои : 10.1088/0305-4470/30/15/021. S2CID  28814369.
22. Скаллард, CR (2012). «Критический полином перколяции как инвариант графа». Физический обзор E . 86 (4): 1131. arXiv : 1111.1061 . Бибкод : 2012PhRvE..86d1131S. doi : 10.1103/PhysRevE.86.041131. PMID  23214553. S2CID  33348328.
23. Якобсен, JL (2015). «Критические точки моделей Поттса и O(N) из тождеств собственных значений в периодических алгебрах Темперли-Либа». Журнал физики А. 48 (45): 454003. arXiv : 1507.03027 . Бибкод : 2015JPhA...48S4003L. дои : 10.1088/1751-8113/48/45/454003. S2CID  119146630.
24. Линь, Ке Ин; Вэнь Чжон Ма (1983). «Двумерная модель Изинга на рубиновой решетке». Журнал физики А. 16 (16): 3895–3898. Бибкод : 1983JPhA...16.3895L. дои : 10.1088/0305-4470/16/16/027.
25. Деррида, Б.; Д. Стауффер (1985). «Поправки к масштабированию и феноменологической перенормировке для двумерных задач перколяции и решетчатых животных» (PDF) . Журнал де Физический . 46 (45): 1623. doi :10.1051/jphys:0198500460100162300. S2CID  8289499.
26. Ян, Ю.; С. Чжоу.; Ю. Ли. (2013). «Square ++: Создание взаимодополняющей игры «выигрыш-проигрыш» и честной игры». Развлечения Компьютеры . 4 (2): 105–113. дои : 10.1016/j.entcom.2012.10.004.
27. Ньюман, MEJ; Р. М. Зифф (2000). «Эффективный алгоритм Монте-Карло и высокоточные результаты перколяции». Письма о физических отзывах . 85 (19): 4104–7. arXiv : cond-mat/0005264 . Бибкод : 2000PhRvL..85.4104N. CiteSeerX 10.1.1.310.4632 . doi : 10.1103/PhysRevLett.85.4104. PMID  11056635. S2CID  747665. 
28. Мертенс, Стефан (2022). «Точная вероятность проникновения узлов на квадратной решетке». Физический журнал A: Математический и теоретический . 55 (33): 334002. arXiv : 2109.12102 . Бибкод : 2022JPhA...55G4002M. дои : 10.1088/1751-8121/ac4195. ISSN  1751-8113.
29. де Оливейра, ЧВК; Р.А. Нобрега; Д. Стауффер (2003). «Поправки к масштабированию конечного размера при перколяции». Бразильский физический журнал . 33 (3): 616–618. arXiv : cond-mat/0308525 . Бибкод : 2003BrJPh..33..616O. дои : 10.1590/S0103-97332003000300025. S2CID  8972025.
30. Ли, MJ (2007). «Дополнительные алгоритмы для графов и перколяции». Физический обзор E . 76 (2): 027702.arXiv : 0708.0600 . Бибкод : 2007PhRvE..76b7702L. doi : 10.1103/PhysRevE.76.027702. PMID  17930184. S2CID  304257.
31. Ли, MJ (2008). «Генератор псевдослучайных чисел и порог перколяции квадратных сайтов». Физический обзор E . 78 (3): 031131. arXiv : 0807.1576 . Бибкод : 2008PhRvE..78c1131L. doi : 10.1103/PhysRevE.78.031131. PMID  18851017. S2CID  7027694.
32. Левенштейн, МЭ; Б.И. Шкловский; М.С. Шур; АЛ Эфрос (1975). «Связь между критическими показателями теории перколяции». Ж. Эксп. Теор. Физ . 69 : 386–392. Бибкод : 1975JETP...42..197L.
33. Дин, П.; Н. Ф. Берд (1967). «Оценки критических вероятностей просачивания по методу Монте-Карло». Учеб. Кэмб. Фил. Соц . 63 (2): 477–479. Бибкод : 1967PCPS...63..477D. дои : 10.1017/s0305004100041438. S2CID  137386357.
34. Дин, П. (1963). «Новый метод Монте-Карло для решения задач перколяции на решетке». Учеб. Кэмб. Фил. Соц . 59 (2): 397–410. Бибкод : 1963PCPS...59..397D. дои : 10.1017/s0305004100037026. S2CID  122985645.
35. Тенсер, Джон; Форсберг, Келси Микс (2021). «Методы постобработки для прогнозирования перколяции градиента на квадратной решетке». Физ. Преподобный Е. 103 (1): 012115. Бибкод : 2021PhRvE.103a2115T. дои : 10.1103/PhysRevE.103.012115. OSTI  1778027. PMID  33601521. S2CID  231961701.
36. Беттс, Д.Д. (1995). «Новая двумерная решетка координационного числа пять». Учеб. Новошотландский инст. Наука . 40 : 95–100. hdl : 10222/35332.
37. д'Ирибарн, К.; Расиньи, М.; Расиньи, Г. (1999). «Минимальное остовное дерево и просачивание мозаики: теория графов и протекание». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 32 (14): 2611–2622. Бибкод : 1999JPhA...32.2611D. дои : 10.1088/0305-4470/32/14/002.
38. ван дер Марк, Стивен С. (1997). «Пороги перколяции и универсальные формулы». Физический обзор E . 55 (2): 1514–1517. Бибкод : 1997PhRvE..55.1514V. дои : 10.1103/PhysRevE.55.1514.
39. Маларц, К.; С. Галам (2005). «Просачивание узлов квадратной решетки при увеличении дальности соседних связей». Физический обзор E . 71 (1): 016125. arXiv : cond-mat/0408338 . Бибкод : 2005PhRvE..71a6125M. doi : 10.1103/PhysRevE.71.016125. PMID  15697676. S2CID  119087463.
40. Маевски, М.; К. Маларц (2007). «Пороги перколяции узлов квадратной решетки для сложных окрестностей». Акта Физ. Пол. Б.​ 38 (38): 2191. arXiv : cond-mat/0609635 . Бибкод : 2007AcPPB..38.2191M.
41. Далтон, Северо-Запад; К. Домб; М. Ф. Сайкс (1964). «Зависимость критической концентрации разбавленного ферромагнетика от области взаимодействия». Учеб. Физ. Соц . 83 (3): 496–498. дои : 10.1088/0370-1328/83/3/118.
42. Коллиер, Эндрю. «Порог перколяции: включая ближайших соседей».
43. Оуян, Юньцин; Ю. Дэн; Хенк В.Дж. Блёте (2018). «Модели перколяции эквивалентных соседей в двух измерениях: пересечение между поведением среднего поля и поведением ближнего действия». Физ. Преподобный Е. 98 (6): 062101. arXiv : 1808.05812 . Бибкод : 2018PhRvE..98f2101O. doi : 10.1103/PhysRevE.98.062101. S2CID  119328197.
44. Сюй, Вэньхуэй; Цзюньфэн Ван; Хао Ху; Юджин Дэн (2021). «Критические полиномы в неплоских и континуальных моделях перколяции». Физический обзор E . 103 (2): 022127. arXiv : 2010.02887 . Бибкод : 2021PhRvE.103b2127X. doi : 10.1103/PhysRevE.103.022127. ISSN  2470-0045. PMID  33736116. S2CID  222140792.
45. Сюнь, Чжипенг; ДаПэн Хао; Роберт М. Зифф (2022). «Пороги перколяции узлов и связей на регулярных решетках с компактными окрестностями расширенного радиуса действия в двух и трех измерениях». Физ. Преподобный Е. 105 (2): 024105. arXiv : 2111.10975 . Бибкод : 2022PhRvE.105b4105X. doi : 10.1103/PhysRevE.105.024105. PMID  35291074. S2CID  244478657.
46. Маларц, Кшиштоп (2021). «Пороги перколяции на треугольной решетке для окрестностей, содержащих узлы до пятой координационной зоны». Физический обзор E . 103 (5): 052107. arXiv : 2102.10066 . Бибкод : 2021PhRvE.103e2107M. doi : 10.1103/PhysRevE.103.052107. PMID  34134312. S2CID  231979514.
47. Маларц, Кшиштоф (2020). «Пороги перколяции узлов на треугольной решетке с комплексными окрестностями». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 30 (12): 123123. arXiv : 2006.15621 . Бибкод : 2020Хаос..30l3123M. дои : 10.1063/5.0022336. PMID  33380057. S2CID  220250058.
48. Домб, К.; С. В. Далтон (1966). «Кристаллическая статистика с дальнодействующими силами I. Модель эквивалентного соседа». Учеб. Физ. Соц . 89 (4): 859–871. Бибкод : 1966PPS....89..859D. дои : 10.1088/0370-1328/89/4/311.
49. Гукер, Марк; Семья, Ферейдун (1983). «Доказательства классического критического поведения при просачивании сайтов на большие расстояния». Физ. Преподобный Б. 28 (3): 1449. Бибкод : 1983PhRvB..28.1449G. doi : 10.1103/PhysRevB.28.1449.
50. Маларц, Кшиштоф (2022). «Случайное просачивание узлов на сотовых решетках со сложными окрестностями». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 32 (8): 083123. arXiv : 2204.12593 . дои : 10.1063/5.0099066. PMID  36049902. S2CID  248405741.
51. Mecke, KR; Сейфрид, А. (2002). «Сильная зависимость порогов перколяции от полидисперсности». Письма по еврофизике (EPL) . 58 (1): 28–34. Бибкод : 2002EL.....58...28M. doi : 10.1209/epl/i2002-00601-y. S2CID  250737562.
52. Коза, Збигнев; Кондрат, Гжегож; Сущинский, Кароль (2014). «Просачивание перекрывающихся квадратов или кубов на решетке». Журнал статистической механики: теория и эксперимент . 2014 (11): P11005. arXiv : 1606.07969 . Бибкод : 2014JSMTE..11..005K. дои : 10.1088/1742-5468/2014/11/P11005. S2CID  118623466.
53. Дэн, Юджин; Юньцин Оуян; Хенк В.Дж. Блёте (2019). «Просачивание средней дальности в двух измерениях». Ж. Физ.: Конф. Сер . 1163 (1): 012001. Бибкод : 2019JPhCS1163a2001D. дои : 10.1088/1742-6596/1163/1/012001 . hdl : 1887/82550 .
54. Митра, С.; Д. Саха; А. Сеншарма (2019). «Просачивание в искаженной квадратной решетке». Физ. Преподобный Е. 99 (1): 012117.arXiv : 1808.10665 . Бибкод : 2019PhRvE..99a2117M. doi : 10.1103/PhysRevE.99.012117. ПМИД  30780325.
55. Ясна, СК; В. Сасидеван (2023). «Влияние асимметрии формы на просачивание выровненных и перекрывающихся объектов на решетках». Препринт . arXiv : 2308.12932 .
56. Скаллард, ЧР; Р.М. Зифф (2010). «Критические поверхности для общих задач перколяции неоднородных связей». Журнал статистической механики: теория и эксперимент . 2010 (3): P03021. arXiv : 0911.2686 . Бибкод : 2010JSMTE..03..021S. дои : 10.1088/1742-5468/2010/03/P03021. S2CID  119230786.
57. Ву, финансовый год (1979). «Критическая точка плоских моделей Поттса». Журнал физики C. 12 (17): Л645–Л650. Бибкод : 1979JPhC...12L.645W. дои : 10.1088/0022-3719/17.12.002.
58. Май, Т.; Галлей, JW (1980). Синха, СК (ред.). Заказ в двух измерениях . Северная Голландия, Амстердам. стр. 369–371.
59. Кунду, Суманта; Манна, СС (15 мая 2017 г.). «Цветное перколяция». Физический обзор E . 95 (5). arXiv : 1709.00887 . doi : 10.1103/PhysRevE.95.052124. ISSN  2470-0045.
60. Наканиси, Х (1987). «Критическое поведение перколяции AB в двух измерениях». Журнал физики A: Математический и общий . 20 (17): 6075–6083. дои : 10.1088/0305-4470/20/17/040. ISSN  0305-4470.
61. Дебьер, Ж-М; Брэдли, RM (1992). «Масштабные свойства антиперколяционных оболочек на треугольной решетке». Журнал физики A: Математический и общий . 25 (2): 335–343. дои : 10.1088/0305-4470/25/2/014. ISSN  0305-4470.
62. Ву, Сянь-Юань; Попов, С.Ю. (2003). «О перколяции связи AB на квадратной решетке и перколяции узла AB на ее линейном графике». Журнал статистической физики . 110 (1/2): 443–449. дои : 10.1023/А: 1021091316925.
63. Хови, Ж.-П.; А. Ахарони (1996). «Масштабирование и универсальность охвата вероятности просачивания». Физический обзор E . 53 (1): 235–253. Бибкод : 1996PhRvE..53..235H. дои : 10.1103/PhysRevE.53.235. ПМИД  9964253.
64. Тарасевич, Юрий Ю; Стивен К. ван дер Марк (1999). «Исследование просачивания межсайтовых связей на многих решетках». Межд. Дж. Мод. Физ. С.​ 10 (7): 1193–1204. arXiv : cond-mat/9906078 . Бибкод : 1999IJMPC..10.1193T. дои : 10.1142/S0129183199000978. S2CID  16917458.
65. Гонсалес-Флорес, Мичиган; А.А. Торрес; В. Лебрехт; Эй Джей Рамирес-Пастор (2021). «Перколяция межсайтовых связей в двумерных решетках кагоме: аналитический подход и численное моделирование». Физ. Преподобный Е. 104 (1): 014130. Бибкод : 2021PhRvE.104a4130G. doi : 10.1103/PhysRevE.104.014130. PMID  34412224. S2CID  237243188.
66. Сакамото, С.; Ф. Ёнезава; М. Хори (1989). «Предложение по оценке порогов перколяции в двумерных решетках». Дж. Физ. А.​ 22 (14): Л699–Л704. Бибкод : 1989JPhA...22L.699S. дои : 10.1088/0305-4470/22/14/009.
67. Дэн, Ю.; Ю. Хуан; Дж. Л. Якобсен; Дж. Салас; А.Д. Сокаль (2011). «Фазовый переход при конечной температуре в классе антиферромагнетиков Поттса с четырьмя состояниями». Письма о физических отзывах . 107 (15): 150601. arXiv : 1108.1743 . Бибкод : 2011PhRvL.107o0601D. doi : 10.1103/PhysRevLett.107.150601. PMID  22107278. S2CID  31777818.
68. Сёзи, I (1972). «Трансформация моделей Изинга». В Домбе, К.; Грин, М.С. (ред.). Фазовые переходы в критических явлениях . Том. 1. Академик Пресс, Лондон. стр. 270–329.
69. Неер, Ричард; Мекке, Клаус; Вагнер, Герберт (2008). «Топологическая оценка порогов перколяции». Журнал статистической механики: теория и эксперимент . 2008 (1): P01011. arXiv : 0708.3250 . Бибкод : 2008JSMTE..01..011N. дои : 10.1088/1742-5468/2008/01/P01011. S2CID  8584164.
70. Гриммет, Г.; Манолеску, я (2012). «Просачивание связей на изорадиальных графах: критичность и универсальность». Теория вероятностей и смежные области . 159 (1–2): 273–327. arXiv : 1204.0505 . дои : 10.1007/s00440-013-0507-y. S2CID  15031903.
71. Скаллард, CR (2006). «Точные пороги перколяции сайтов с использованием преобразования сайт-связь и преобразования звезда-треугольник». Физический обзор E . 73 (1): 016107. arXiv : cond-mat/0507392 . Бибкод : 2006PhRvE..73a6107S. doi : 10.1103/PhysRevE.73.016107. PMID  16486216. S2CID  17948429.
72. Ziff, RM (2006). «Обобщенная трансформация клетка-двойная клетка и точные пороги перколяции». Физический обзор E . 73 (1): 016134. Бибкод : 2006PhRvE..73a6134Z. doi : 10.1103/PhysRevE.73.016134. ПМИД  16486243.
73. Скаллард, ЧР; Роберт М. Зифф (2006). «Точные пороги перколяции связей в двух измерениях». Журнал физики А. 39 (49): 15083–15090. arXiv : cond-mat/0610813 . Бибкод : 2006JPhA...3915083Z. дои : 10.1088/0305-4470/39/49/003. S2CID  14332146.
74. Дин, Чэнсян; Яньчэн Ван; Ян Ли (2012). «Горшки и модели перколяции на решетках-бабочках». Физический обзор E . 86 (2): 021125.arXiv : 1203.2244 . Бибкод : 2012PhRvE..86b1125D. doi : 10.1103/PhysRevE.86.021125. PMID  23005740. S2CID  27190130.
75. Вирман, Джон (1984). «Определение критической вероятности перколяции связи на основе преобразования звезда-треугольник». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 17 (7): 1525–1530. Бибкод : 1984JPhA...17.1525W. дои : 10.1088/0305-4470/17/7/020.
76. Махмуд Махер ан-Накш (1983). «МАХ 007». Дизайн и исполнение рисунков иранской плитки . Архивировано из оригинала 9 января 2017 года . Проверено 18 ноября 2019 г.
77. "Западная башня-гробница, Харракан" .
78. Мельхерт, Оливер; Хельмут Г. Кацграбер; Марк А. Новотный (2016). «Пороги перколяции сайтов и связей в решетках на основе Kn,n: уязвимость квантовых отжигателей к случайным отказам кубитов и связей в топологиях Химеры». Физический обзор E . 93 (4): 042128. arXiv : 1511.07078 . Бибкод : 2016PhRvE..93d2128M. doi : 10.1103/PhysRevE.93.042128. PMID  27176275. S2CID  206249608.
79. Окубо, С.; М. Хаяси; С. Кимура; Х. Охта; М. Мотокава; Х. Кикучи; Х. Нагасава (1998). «Субмиллиметровое ЭПР антиферромагнетика треугольного кагоме Cu9X2(cpa)6 (X=Cl, Br)». Физика Б. 246–247 (2): 553–556. Бибкод : 1998PhyB..246..553O. дои : 10.1016/S0921-4526(97)00985-X.
80. Хаджи Акбари, Амир; Р. М. Зифф (2009). «Просачивание в сетях с пустотами и узкими местами». Физический обзор E . 79 (2): 021118.arXiv : 0811.4575 . Бибкод : 2009PhRvE..79b1118H. doi : 10.1103/PhysRevE.79.021118. PMID  19391717. S2CID  2554311.
81. Корнетт, В.; Эй Джей Рамирес-Пастор; Ф. Ньето (2003). «Зависимость порога перколяции от размера просачивающихся частиц». Физика А. 327 (1): 71–75. Бибкод : 2003PhyA..327...71C. дои : 10.1016/S0378-4371(03)00453-9. hdl : 11336/138178 .
82. Лебрехт, В.; Центры ПМ; Эй Джей Рамирес-Пастор (2019). «Аналитическая аппроксимация порогов перколяции сайтов мономеров и димеров на двумерных решетках». Физика А. 516 : 133–143. Бибкод : 2019PhyA..516..133L. doi :10.1016/j.physa.2018.10.023. S2CID  125418069.
83. Лонгоне, Пабло; Центры ПМ; Эй Джей Рамирес-Пастор (2019). «Просачивание соосных жестких стержней на двумерных треугольных решетках». Физический обзор E . 100 (5): 052104. arXiv : 1906.03966 . Бибкод : 2019PhRvE.100e2104L. doi : 10.1103/PhysRevE.100.052104. PMID  31870027. S2CID  182953009.
84. Будински-Петкович, Lj; И. Лонкаревич; З.М. Ячик; С.Б. Врховац (2016). «Застревание и перколяция при случайно-последовательной адсорбции протяженных объектов на треугольной решетке с закаленными примесями». Журнал статистической механики: теория и эксперимент . 2016 (5): 053101. Бибкод : 2016JSMTE..05.3101B. дои : 10.1088/1742-5468/2016/05/053101. S2CID  3913989.
85. Черкасова, В.А.; Ю. Ю. Тарасевич; Н.И. Лебовка; Н. В. Выгорницкий (2010). «Перколяция выровненных димеров на квадратной решетке». Евро. Физ. Дж. Б. 74 (2): 205–209. arXiv : 0912.0778 . Бибкод : 2010EPJB...74..205C. doi : 10.1140/epjb/e2010-00089-2. S2CID  118485353.
86. Леройер, Ю.; Э. Помье (1994). «Анализ Монте-Карло просачивания отрезков прямых на квадратную решетку». Физ. Преподобный Б. 50 (5): 2795–2799. arXiv : cond-mat/9312066 . Бибкод : 1994PhRvB..50.2795L. doi : 10.1103/PhysRevB.50.2795. PMID  9976520. S2CID  119495907.
87. Вандервалле, Н.; С. Галам; М. Крамер (2000). «Новая универсальность для случайного последовательного размещения игл». Евро. Физ. Дж. Б. 14 (3): 407–410. arXiv : cond-mat/0004271 . Бибкод : 2000EPJB...14..407В. дои : 10.1007/s100510051047. S2CID  11142384.
88. Кондрат, Гжегож; Анджей Пенкальский (2001). «Просачивание и застревание при случайной последовательной адсорбции линейных сегментов на квадратной решетке». Физ. Преподобный Е. 63 (5): 051108. arXiv : cond-mat/0102031 . Бибкод : 2001PhRvE..63e1108K. doi : 10.1103/PhysRevE.63.051108. PMID  11414888. S2CID  44490067.
89. Хаджи-Акбари, А.; Насим Хаджи-Акбари; Роберт М. Зифф (2015). «Димерное покрытие и нарушение перколяции». Физ. Преподобный Е. 92 (3): 032134. arXiv : 1507.04411 . Бибкод : 2015PhRvE..92c2134H. doi : 10.1103/PhysRevE.92.032134. PMID  26465453. S2CID  34100812.
90. Зия, РКП; В. Йонг; Б. Шмитманн (2009). «Просачивание набора конечных случайных блужданий: модель проникновения газа через тонкие полимерные мембраны». Журнал математической химии . 45 : 58–64. doi : 10.1007/s10910-008-9367-6. S2CID  94092783.
91. Ву, Юн; Б. Шмитман ; РКП Зия (2008). «Двумерные полимерные сети вблизи перколяции». Журнал физики А. 41 (2): 025008. Бибкод : 2008JPhA...41b5004W. дои : 10.1088/1751-8113/41/2/025004. S2CID  13053653.
92. Корнетт, В.; Эй Джей Рамирес-Пастор; Ф. Ньето (2003). «Просачивание многоатомных частиц по квадратной решетке». Европейский физический журнал Б. 36 (3): 391–399. Бибкод : 2003EPJB...36..391C. doi : 10.1140/epjb/e2003-00358-1. S2CID  119852589.
93. Зифф, РМ; Ч.Р. Скаллард; Дж. К. Виерман; МРА Седлок (2012). «Критические многообразия просачивания неоднородных связей на решетках в виде галстука-бабочки и шахматной доски». Журнал физики А. 45 (49): 494005. arXiv : 1210.6609 . Бибкод : 2012JPhA...45W4005Z. дои : 10.1088/1751-8113/45/49/494005. S2CID  2121370.
94. Мертенс, Стефан; Кристофер Мур (2012). «Пороги перколяции континуума в двух измерениях». Физический обзор E . 86 (6): 061109. arXiv : 1209.4936 . Бибкод : 2012PhRvE..86f1109M. doi : 10.1103/PhysRevE.86.061109. PMID  23367895. S2CID  15107275.
95. Кинтанилья, Джон А.; Р. М. Зифф (2007). «Асимметрия порогов перколяции полностью проницаемых дисков с двумя разными радиусами». Физический обзор E . 76 (5): 051115 [6 страниц]. Бибкод : 2007PhRvE..76e1115Q. doi : 10.1103/PhysRevE.76.051115. ПМИД  18233631.
96. Кинтанилья, Дж; С. Торквато; Р.М. Зифф (2000). «Эффективное измерение порога перколяции для полностью проницаемых дисков». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 33 (42): Л399–Л407. Бибкод : 2000JPhA...33L.399Q. CiteSeerX 10.1.1.6.8207 . дои : 10.1088/0305-4470/33/42/104. 
97. Лоренц, Б; И. Оргзал; Х.-О. Хойер (1993). «Универсальность и кластерные структуры в континуальных моделях перколяции с двумя разными распределениями радиусов». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 26 (18): 4711–4712. Бибкод : 1993JPhA...26.4711L. дои : 10.1088/0305-4470/26/18/032.
98. Россо, М (1989). «Градиентный подход к просачиванию континуума в двух измерениях». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 22 (4): Л131–Л136. Бибкод : 1989JPhA...22L.131R. дои : 10.1088/0305-4470/22/4/004.
99. Гавлински, Эдвард Т; Х. Юджин Стэнли (1981). «Просачивание континуума в двух измерениях: тесты Монте-Карло на масштабирование и универсальность для невзаимодействующих дисков». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 14 (8): Л291–Л299. Бибкод : 1981JPhA...14L.291G. дои : 10.1088/0305-4470/14/8/007.
100. Йи, Ю.-Б.; А. М. Састри (2004). «Аналитическая аппроксимация порога перколяции для перекрывающихся эллипсоидов вращения». Труды Королевского общества А. 460 (5): 2353–2380. Бибкод : 2004RSPSA.460.2353Y. дои : 10.1098/rspa.2004.1279. S2CID  2475482.
101. Пайк, GE; CH Сигер (1974). «Перколяция и проводимость: компьютерное исследование I». Физ. Преподобный Б. 10 (4): 1421–1434. Бибкод : 1974PhRvB..10.1421P. doi : 10.1103/PhysRevB.10.1421.
102. Линь, Цзяньцзюнь; Чен, Хуэйсу (2019). «Измерение свойств перколяции континуума двумерных систем частиц, включающих конгруэнтные и бинарные суперэллипсы». Порошковая технология . 347 : 17–26. doi :10.1016/j.powtec.2019.02.036. S2CID  104332397.
103. Ли, Минци; Чен, Хуэйсу; Линь, Цзяньцзюнь; Чжан, Жунлин; Лю, Линь (июль 2021 г.). «Влияние полидисперсности формы пор на порог перколяции и диффузию пористых композитов: теоретические и численные исследования». Порошковая технология . 386 : 382–393. doi : 10.1016/j.powtec.2021.03.055. ISSN  0032-5910. S2CID  233675695.
104. Коза, Збигнев; Петр Бжески; Гжегож Кондрат (2023). «Просачивание полностью проницаемых дисков с использованием метода трехветвевого кластера». Дж. Физ. А: Математика. Теор . (в печати) (16): 165001. Бибкод : 2023JPhA...56p5001K. дои : 10.1088/1751-8121/acc3d0 . S2CID  257524315.
105. Шарбонно, Бенуа; Патрик Шарбонно; И Ху; Чжэнь Ян (2021). «Высокоразмерная критичность перколяции и намеки на клетку случайного газа Лоренца, подобную среднему полю». Физ. Преподобный Е. 104 (2): 024137. arXiv : 2105.04711 . Бибкод : 2021PhRvE.104b4137C. doi : 10.1103/PhysRevE.104.024137. PMID  34525662. S2CID  234357912.
106. Гилберт, EN (1961). «Случайные плоские сети». Дж. Сок. Промышленность. Прил. Математика . 9 (4): 533–543. дои : 10.1137/0109045.
107. Сюй, Вэньхуэй; Цзюньфэн Ван; Хао Ху; Юджин Дэн (2021). «Критические полиномы в неплоских и континуальных моделях перколяции». Физический обзор E . 103 (2): 022127. arXiv : 2010.02887 . Бибкод : 2021PhRvE.103b2127X. doi : 10.1103/PhysRevE.103.022127. ISSN  2470-0045. PMID  33736116. S2CID  222140792.
108. Тарасевич, Юрий Ю.; Андрей В. Есеркепов (2020). «Пороги перколяции для дископрямоугольников: численная оценка для диапазона соотношений сторон». Физический обзор E . 101 (2): 022108. arXiv : 1910.05072 . Бибкод : 2020PhRvE.101b2108T. doi : 10.1103/PhysRevE.101.022108. PMID  32168641. S2CID  204401814.
109. Ли, Цзяньтун; Микаэль Эстлинг (2016). «Точные пороги перколяции двумерных случайных систем, состоящих из перекрывающихся эллипсов». Физика А. 462 : 940–950. Бибкод : 2016PhyA..462..940L. doi :10.1016/j.physa.2016.06.020.
110. Нгуен, Ван Лиен; Энрике Канесса (1999). «Масштабирование конечного размера в двумерных моделях перколяции континуума». Буквы современной физики Б. 13 (17): 577–583. arXiv : cond-mat/9909200 . Бибкод : 1999MPLB...13..577N. дои : 10.1142/S0217984999000737. S2CID  18560722.
111. Робертс, FDK (1967). «Решение Монте-Карло двумерной неструктурированной кластерной задачи». Биометрика . 54 (3/4): 625–628. дои : 10.2307/2335053. JSTOR  2335053. PMID  6064024.
112. Ся, В.; М. Ф. Торп (1988). «Свойства перколяции случайных эллипсов». Физический обзор А. 38 (5): 2650–2656. Бибкод : 1988PhRvA..38.2650X. doi : 10.1103/PhysRevA.38.2650. ПМИД  9900674.
113. Торквато, С.; Ю. Цзяо (2012). «Влияние размерности на просачивание континуума перекрывающихся гиперсфер и гиперкубов. II. Результаты моделирования и анализа». Дж. Хим. Физ . 137 (7): 074106. arXiv : 1208.3720 . Бибкод : 2012JChPh.137g4106T. дои : 10.1063/1.4742750. PMID  22920102. S2CID  13188197.
114. Бейкер, Дон Р.; Джеральд Пол; Самит Шринивасан; Х. Юджин Стэнли (2002). «Порог перколяции континуума для взаимопроникающих квадратов и кубов». Физический обзор E . 66 (4): 046136 [5 страниц]. arXiv : cond-mat/0203235 . Бибкод : 2002PhRvE..66d6136B. doi : 10.1103/PhysRevE.66.046136. PMID  12443288. S2CID  9561586.
115. Ли, Цзяньтун; Микаэль Эстлинг (2013). «Пороги перколяции двумерных континуальных систем прямоугольников». Физический обзор E . 88 (1): 012101. Бибкод : 2013PhRvE..88a2101L. doi : 10.1103/PhysRevE.88.012101. PMID  23944408. S2CID  21438506.
116. Ли, Цзяньтун; Ши-Ли Чжан (2009). «Масштабирование конечного размера при перколяции палочек». Физический обзор E . 80 (4): 040104(Р). Бибкод : 2009PhRvE..80d0104L. doi :10.1103/PhysRevE.80.040104. ПМИД  19905260.
117. Тарасевич, Юрий Ю.; Андрей В. Есеркепов (2018). «Просачивание палочек: влияние выравнивания палочек и дисперсии длины». Физический обзор E . 98 (6): 062142. arXiv : 1811.06681 . Бибкод : 2018PhRvE..98f2142T. doi : 10.1103/PhysRevE.98.062142. S2CID  54187951.
118. Сасидеван, В. (2013). «Континуальная просачивание перекрывающихся дисков с распределением радиусов, имеющим степенной хвост». Физический обзор E . 88 (2): 022140.arXiv : 1302.0085 . Бибкод : 2013PhRvE..88b2140S. doi : 10.1103/PhysRevE.88.022140. PMID  24032808. S2CID  24046421.
119. ван дер Марк, Стивен С. (1996). «Сетевой подход к просачиванию пустот в пакете неравных сфер». Письма о физических отзывах . 77 (9): 1785–1788. Бибкод : 1996PhRvL..77.1785V. doi :10.1103/PhysRevLett.77.1785. ПМИД  10063171.
120. Цзинь, Юлян; Патрик Шарбонно (2014). «Сопоставление остановки случайного газа Лоренца с динамическим переходом простого стеклообразователя». Физический обзор E . 91 (4): 042313. arXiv : 1409.0688 . Бибкод : 2015PhRvE..91d2313J. doi : 10.1103/PhysRevE.91.042313. PMID  25974497. S2CID  16117644.
121. Линь, Цзяньцзюнь; Чжан, Улун; Чен, Хуэйсу; Чжан, Жунлин; Лю, Линь (2019). «Влияние характеристик пор на порог перколяции и коэффициент диффузии пористой среды, содержащей перекрывающиеся поры вогнутой формы». Международный журнал тепломассообмена . 138 : 1333–1345. doi :10.1016/j.ijheatmasstransfer.2019.04.110. S2CID  164424008.
122. Микс, Келси; Дж. Тенсер; М.Л. Пантойя (2017). «Просачивание бинарных дисковых систем: моделирование и теория». Физ. Преподобный Е. 95 (1): 012118. Бибкод : 2017PhRvE..95a2118M. дои : 10.1103/PhysRevE.95.012118 . ПМИД  28208494.
123. Кинтанилья, Джон А. (2001). «Измерение порога перколяции для полностью проницаемых дисков разного радиуса». Физ. Преподобный Е. 63 (6): 061108. Бибкод : 2001PhRvE..63f1108Q. doi : 10.1103/PhysRevE.63.061108. ПМИД  11415069.
124. Мельхерт, Оливер (2013). «Пороги перколяции на плоских евклидовых графах относительной окрестности». Физический обзор E . 87 (4): 042106. arXiv : 1301.6967 . Бибкод : 2013PhRvE..87d2106M. doi : 10.1103/PhysRevE.87.042106. PMID  23679372. S2CID  9691279.
125. Бернарди, Оливье; Курьен, Николя; Мирмонт, Грегори (2019). «Больцмановский подход к просачиванию случайных триангуляций». Канадский математический журнал . 71 : 1–43. arXiv : 1705.04064 . doi : 10.4153/CJM-2018-009-x. S2CID  6817693.
126. Беккер, А.; Р. М. Зифф (2009). «Пороги перколяции в двумерных сетях Вороного и триангуляциях Делоне». Физический обзор E . 80 (4): 041101. arXiv : 0906.4360 . Бибкод : 2009PhRvE..80d1101B. doi : 10.1103/PhysRevE.80.041101. PMID  19905267. S2CID  22549508.
127. Шанте, Канзас; С. Киркпатрик (1971). «Введение в теорию перколяции». Достижения физики . 20 (85): 325–357. Бибкод : 1971AdPhy..20..325S. дои : 10.1080/00018737100101261.
128. Сюй, HP; MC Хуан (1999). «Пороги перколяции, критические показатели и масштабирующие функции на плоских случайных решетках и их двойственных решетках». Физический обзор E . 60 (6): 6361–6370. Бибкод : 1999PhRvE..60.6361H. дои : 10.1103/PhysRevE.60.6361. PMID  11970550. S2CID  8750738.
129. Хуан, Мин-Чанг; Сяо-Пин Сюй (2002). «Пороги перколяции, критические показатели и масштабирующие функции на сферических случайных решетках». Международный журнал современной физики C . 13 (3): 383–395. дои : 10.1142/S012918310200319X.
130. Норренброк, К. (2014). «Порог перколяции на плоских евклидовых графах Габриэля». Журнал физики А. 40 (31): 9253–9258. arXiv : 0704.2098 . Бибкод : 2007JPhA...40.9253P. дои : 10.1088/1751-8113/40/31/005. S2CID  680787.
131. Бертин, Э; Ж.-М. Биллиот; Р. Друйе (2002). «Просачивание континуума в графе Габриэля». Адв. Прил. Вероятно . 34 (4): 689. doi : 10.1239/aap/1037990948. S2CID  121288601.
132. Лепаж, Тибо; Люси Делаби; Фаусто Мальваги; Ален Маццоло (2011). «Моделирование Монте-Карло полностью марковской стохастической геометрии». Прогресс ядерной науки и технологий . 2 : 743–748. дои : 10.15669/pnst.2.743 .
133. Чжан, К.; К. Де'Белл (1993). «Переформулировка задачи перколяции на квазирешетке: оценки порога перколяции, химической размерности и отношения амплитуд». Физ. Преподобный Б. 47 (14): 8558–8564. Бибкод : 1993PhRvB..47.8558Z. doi : 10.1103/PhysRevB.47.8558. ПМИД  10004894.
134. Зифф, РМ; Ф. Бабалиевский (1999). «Просачивание узлов на ромбовидной решетке Пенроуза». Физика А. 269 ​​(2–4): 201–210. Бибкод : 1999PhyA..269..201Z. дои : 10.1016/S0378-4371(99)00166-1.
135. Лу, Цзянь Пин; Джозеф Л. Бирман (1987). «Просачивание и масштабирование на квазирешетке». Журнал статистической физики . 46 (5/6): 1057–1066. Бибкод : 1987JSP....46.1057L. дои : 10.1007/BF01011156. S2CID  121645524.
136. Бабалиевский, Ф. (1995). «Пороги перколяции и перколяционная проводимость октагональных и додекагональных квазикристаллических решеток». Физика А. 220 (1995): 245–250. Бибкод : 1995PhyA..220..245B. дои : 10.1016/0378-4371(95)00260-E.
137. Боллобас, Бела; Оливер Риордан (2006). «Критическая вероятность случайной перколяции Вороного в плоскости равна 1/2». Вероятно. Теория Отн. Поля . 136 (3): 417–468. arXiv : math/0410336 . doi : 10.1007/s00440-005-0490-z. S2CID  15985691.
138. Ангел, Омер; Шрамм, Одед (2003). «Равномерная бесконечная плоская триангуляция». Коммун. Математика. Физ . 241 (2–3): 191–213. arXiv : math/0207153 . Бибкод : 2003CMaPh.241..191A. дои : 10.1007/s00220-003-0932-3. S2CID  17718301.
139. Ангел, О.; Курьен, Николя (2014). «Просачивание на случайных картах I: модели полуплоскости». Анналы Института Анри Пуанкаре, Вероятности и статистики . 51 (2): 405–431. arXiv : 1301.5311 . Бибкод : 2015AIHPB..51..405A. дои : 10.1214/13-AIHP583. S2CID  14964345.
140. Циренберг, Йоханнес; Никлас Фрике; Мартин Маренц; Ф.П. Шпицнер; Виктория Блаватская; Вольфхард Янке (2017). «Пороги перколяции и фрактальные размерности для квадратных и кубических решеток с дальнодействующими коррелированными дефектами». Физ. Преподобный Е. 96 (6): 062125. arXiv : 1708.02296 . Бибкод : 2017PhRvE..96f2125Z. doi : 10.1103/PhysRevE.96.062125. PMID  29347311. S2CID  22353394.
141. Сотта, П.; Д. Лонг (2003). «Переход от 2D к 3D перколяции: теория и численное моделирование». Евро. Физ. Дж. Э. 11 (4): 375–388. Бибкод : 2003EPJE...11..375S. дои : 10.1140/epje/i2002-10161-6. PMID  15011039. S2CID  32831742.
142. Horton, MK; Морам, Массачусетс (17 апреля 2017 г.). «Флуктуации состава сплава и перколяция в квантовых ямах полупроводниковых сплавов». Письма по прикладной физике . 110 (16): 162103. Бибкод : 2017ApPhL.110p2103H. дои : 10.1063/1.4980089. ISSN  0003-6951.
143. Глиоцци, Ф.; С. Лоттини; М. Панеро; А. Раго (2005). «Случайная перколяция как калибровочная теория». Ядерная физика Б . 719 (3): 255–274. arXiv : cond-mat/0502339 . Бибкод : 2005NuPhB.719..255G. doi :10.1016/j.nuclphysb.2005.04.021. hdl : 2318/5995. S2CID  119360708.
144. Ю, Тед Ю.; Джонатан Тран; Шейн П. Сталхебер; Карина Э. Кааиноа; Кевин Джепанг; Александр Р. Смолл (2014). «Просачивание сайтов на решетках с низкими средними координационными числами». Журнал статистической механики: теория и эксперимент . 2014 (6): P06014. arXiv : 1403.1676 . Бибкод : 2014JSMTE..06..014Y. дои : 10.1088/1742-5468/2014/06/p06014. S2CID  119290405.
145. Тран, Джонатан; Тед Ю; Шейн Сталхебер; Алекс Смолл (2013). «Пороги перколяции на трехмерных решетках с тремя ближайшими соседями». Журнал статистической механики: теория и эксперимент . 2013 (5): P05014. arXiv : 1211.6531 . Бибкод : 2013JSMTE..05..014T. дои : 10.1088/1742-5468/2013/05/P05014. S2CID  119182062.
146. Уэллс, AF (1984). «Структуры на основе 3-связной сети 10 ³ – b ». Журнал химии твердого тела . 54 (3): 378–388. Бибкод : 1984JSSCh..54..378W. дои : 10.1016/0022-4596(84)90169-5.
147. Пант, Михир; Дон Таусли; Дирк Инглунд; Сайкат Гуха (2017). «Пороги перколяции для фотонных квантовых вычислений». Природные коммуникации . 10 (1): 1070. arXiv : 1701.03775 . дои : 10.1038/s41467-019-08948-x. ПМК 6403388 . ПМИД  30842425. 
148. Хайд, Стивен Т.; О'Киф, Майкл; Прозерпио, Давиде М. (2008). «Краткая история неуловимой, но повсеместной структуры в химии, материалах и математике». Энджью. хим. Межд. Эд . 47 (42): 7996–8000. дои : 10.1002/anie.200801519. ПМИД  18767088.
149. ван дер Марк, Стивен С. (1997). «Пороги перколяции двойников гранецентрированно-кубической, гексагонально-плотноупакованной и алмазной решеток». Физ. Преподобный Е. 55 (6): 6593–6597. Бибкод : 1997PhRvE..55.6593V. doi : 10.1103/PhysRevE.55.6593.
150. Фриш, HL; Э. Зонненблик; В.А. Высоцкий; Дж. М. Хаммерсли (1961). «Критические вероятности перколяции (проблема сайта)». Физический обзор . 124 (4): 1021–1022. Бибкод : 1961PhRv..124.1021F. дои : 10.1103/PhysRev.124.1021.
151. Высоцкий, В.А.; С.Б. Гордон; Х. Л. Фриш; Дж. М. Хаммерсли (1961). «Критические вероятности перколяции (проблема облигаций)». Физический обзор . 123 (5): 1566–1567. Бибкод : 1961PhRv..123.1566V. дои : 10.1103/PhysRev.123.1566.
152. Гонт, DS; М. Ф. Сайкс (1983). «Серийное исследование случайной перколяции в трех измерениях». Дж. Физ. А.​ 16 (4): 783. Бибкод : 1983JPhA...16..783G. дои : 10.1088/0305-4470/16/4/016.
153. Сюй, Сяо; Цзюньфэн Ван; Цзянь-Пин Лев; Юджин Дэн (2014). «Одновременный анализ трехмерных моделей перколяции». Границы физики . 9 (1): 113–119. arXiv : 1310.5399 . Бибкод : 2014FrPhy...9..113X. doi : 10.1007/s11467-013-0403-z. S2CID  119250232.
154. Сильверман, Амихал; Дж. Адлер (1990). «Порог перколяции сайтов для алмазной решетки с двухатомным замещением». Физический обзор B . 42 (2): 1369–1373. Бибкод : 1990PhRvB..42.1369S. doi : 10.1103/PhysRevB.42.1369. ПМИД  9995550.
155. ван дер Марк, Стивен С. (1997). «Ошибка: пороги перколяции и универсальные формулы [Phys. Rev. E 55, 1514 (1997)]». Физ. Преподобный Е. 56 (3): 3732. Бибкод : 1997PhRvE..56.3732V. дои : 10.1103/PhysRevE.56.3732.2 .
156. ван дер Марк, Стивен С. (1998). «Расчет порогов перколяции в больших размерностях для FCC, BCC и ромбовидных решеток». Международный журнал современной физики C . 9 (4): 529–540. arXiv : cond-mat/9802187 . Бибкод : 1998IJMPC...9..529В. дои : 10.1142/S0129183198000431. S2CID  119097158.
157. Сайкс, МФ; Д.С. Гонт; М. Глен (1976). «Процессы перколяции в трех измерениях». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 9 (10): 1705–1712. Бибкод : 1976JPhA....9.1705S. дои : 10.1088/0305-4470/10.09.021.
158. Сайкс, МФ; Дж. В. Эссам (1964). «Критические вероятности перколяции методом серий». Физический обзор . 133 (1А): А310–А315. Бибкод : 1964PhRv..133..310S. doi :10.1103/PhysRev.133.A310.
159. ван дер Марк, Стивен С. (1998). «Просачивание сайтов и случайные блуждания на d-мерных решетках Кагоме». Журнал физики А. 31 (15): 3449–3460. arXiv : cond-mat/9801112 . Бибкод : 1998JPhA...31.3449V. дои : 10.1088/0305-4470/31/15/010. S2CID  18989583.
160. Сур, Амит; Джоэл Л. Лебовиц; Дж. Марро; М. Х. Калос; С. Киркпатрик (1976). «Исследование явлений перколяции методом Монте-Карло для простой кубической решетки». Журнал статистической физики . 15 (5): 345–353. Бибкод : 1976JSP....15..345S. дои : 10.1007/BF01020338. S2CID  38734613.
161. Ван, Дж; З. Чжоу; В. Чжан; Т. Гарони; Ю. Дэн (2013). «Связь и просачивание сайтов в трех измерениях». Физический обзор E . 87 (5): 052107. arXiv : 1302.0421 . Бибкод : 2013PhRvE..87e2107W. doi : 10.1103/PhysRevE.87.052107. PMID  23767487. S2CID  14087496.
162. Грассбергер, П. (1992). «Численные исследования критической перколяции в трех измерениях». Дж. Физ. А.​ 25 (22): 5867–5888. Бибкод : 1992JPhA...25.5867G. дои : 10.1088/0305-4470/25/22/015.
163. Ачарья, М.; Д. Стауффер (1998). «Влияние граничных условий на критическую вероятность охвата». Межд. Дж. Мод. Физ. С.​ 9 (4): 643–647. arXiv : cond-mat/9805355 . Бибкод : 1998IJMPC...9..643A. дои : 10.1142/S0129183198000534. S2CID  15684907.
164. Ян, Н.; Д. Стауффер (1998). «Случайное просачивание сайтов в трех измерениях». Межд. Дж. Мод. Физ. С.​ 9 (4): 341–347. Бибкод : 1998IJMPC...9..341J. дои : 10.1142/S0129183198000261.
165. Дэн, Юджин; HWJ Блёте (2005). «Исследование модели перколяции сайтов методом Монте-Карло в двух и трех измерениях». Физический обзор E . 72 (1): 016126. Бибкод : 2005PhRvE..72a6126D. doi : 10.1103/PhysRevE.72.016126. ПМИД  16090055.
166. Бальестерос, ПН; Л.А. Фернандес; В. Мартин-Майор; А. Муньос Судепе; Г. Паризи; Джей Джей Руис-Лоренцо (1999). «Поправки к масштабированию: просачивание участков и модель Изинга в трех измерениях». Журнал физики А. 32 (1): 1–13. arXiv : cond-mat/9805125 . Бибкод : 1999JPhA...32....1B. дои : 10.1088/0305-4470/32/1/004. S2CID  2787294.
167. Лоренц, компакт-диск; Р. М. Зифф (1998). «Универсальность избыточного числа кластеров и функция вероятности пересечения в трехмерной перколяции». Журнал физики А. 31 (40): 8147–8157. arXiv : cond-mat/9806224 . Бибкод : 1998JPhA...31.8147L. дои : 10.1088/0305-4470/31/40/009. S2CID  12493873.
168. Коза, Збигнев; Якуб Пола (2016). «От дискретной к непрерывной перколяции в измерениях от 3 до 7». Журнал статистической механики: теория и эксперимент . 2016 (10): 103206. arXiv : 1606.08050 . Бибкод : 2016JSMTE..10.3206K. дои : 10.1088/1742-5468/2016/10/103206. S2CID  118580056.
169. Шквор, Иржи; Иво Незбеда (2009). «Пороговые параметры перколяции жидкостей». Физический обзор E . 79 (4): 041141. Бибкод : 2009PhRvE..79d1141S. doi : 10.1103/PhysRevE.79.041141. ПМИД  19518207.
170. Адлер, Джоан; Игаль Меир; Амнон Ахароний; АБ Харрис; Лиор Кляйн (1990). «Серия низких концентраций в общем измерении». Журнал статистической физики . 58 (3/4): 511–538. Бибкод : 1990JSP....58..511A. дои : 10.1007/BF01112760. S2CID  122109020.
171. Даммер, Стефан М; Хэй Хинриксен (2004). «Распространение иммунизации в больших масштабах». Журнал статистической механики: теория и эксперимент . 2004 (7): P07011. arXiv : cond-mat/0405577 . Бибкод : 2004JSMTE..07..011D. дои : 10.1088/1742-5468/2004/07/P07011. S2CID  118981083.
172. Лоренц, компакт-диск; Р. М. Зифф (1998). «Точное определение порогов перколяции связей и поправок к масштабированию конечного размера для решеток sc, fcc и bcc». Физический обзор E . 57 (1): 230–236. arXiv : cond-mat/9710044 . Бибкод : 1998PhRvE..57..230L. doi : 10.1103/PhysRevE.57.230. S2CID  119074750.
173. Шренк, К.Дж.; ДНП Араужо; Х.Дж. Херрманн (2013). «Сложенная треугольная решетка: свойства перколяции». Физический обзор E . 87 (3): 032123. arXiv : 1302.0484 . Бибкод : 2013PhRvE..87c2123S. doi : 10.1103/PhysRevE.87.032123. S2CID  2917074.
174. Мартинс, П.; Дж. Пласкак (2003). «Перколяция на двумерных и трехмерных решетках». Физический обзор . 67 (4): 046119. arXiv : cond-mat/0304024 . Бибкод : 2003PhRvE..67d6119M. doi : 10.1103/physreve.67.046119. PMID  12786448. S2CID  31891392.
175. Брэдли, РМ; П. Н. Стренский; Ж.-М. Дебьер (1991). «Поверхности перколяционных кластеров в трех измерениях». Физический обзор B . 44 (1): 76–84. Бибкод : 1991PhRvB..44...76B. doi : 10.1103/PhysRevB.44.76. ПМИД  9998221.
176. Куржавски, Л.; К. Маларц (2012). «Простые кубические пороги перколяции случайных узлов для сложных окрестностей». Представитель Матем. Физ . 70 (2): 163–169. arXiv : 1111.3254 . Бибкод : 2012РпМП...70..163К. CiteSeerX 10.1.1.743.1726 . дои : 10.1016/S0034-4877(12)60036-6. S2CID  119120046. 
177. Галлямов, С.Р.; С.А. Мельчуков (2013). «Порог перколяции простой кубической решетки с четвертыми соседями: теория и численный расчет с распараллеливанием» (PDF) . Третья международная конференция «Высокопроизводительные вычисления» HPC-UA 2013 (Украина, Киев, 7–11 октября 2013 г.) . Архивировано из оригинала (PDF) 23 августа 2019 года . Проверено 23 августа 2019 г.
178. Сайкс, МФ; Д.С. Гонт; Дж. В. Эссам (1976). «Вероятность перколяции задачи узлов на гранецентрированной кубической решетке». Журнал физики А. 9 (5): Л43–Л46. Бибкод : 1976JPhA....9L..43S. дои : 10.1088/0305-4470/9/5/002.
179. Ху, Йи; Патрик Шарбонно (2021). «Пороги перколяции на многомерных D _n и E ₈ -родственных решетках». Физический обзор E . 103 (6): 062115. arXiv : 2102.09682 . Бибкод : 2021PhRvE.103f2115H. дои : 10.1103/PhysRevE.103.062115. PMID  34271715. S2CID  231979212.
180. Лоренц, компакт-диск; Р. Мэй; Р. М. Зифф (2000). «Сходство порогов перколяции на решетках HCP и FCC» (PDF) . Журнал статистической физики . 98 (3/4): 961–970. дои : 10.1023/А: 1018648130343. hdl : 2027.42/45178 . S2CID  10950378.
181. Тахир-Хели, Джамиль; В.А. Годдард III (2007). «Хиральная плакет-поляронная теория купратной сверхпроводимости». Физический обзор B . 76 (1): 014514. arXiv : 0707.3535 . Бибкод : 2007PhRvB..76a4514T. doi : 10.1103/PhysRevB.76.014514. S2CID  8882419.
182. Маларц, Кшиштоф (2015). «Простые кубические пороги перколяции случайных узлов для окрестностей, содержащих четвертых ближайших соседей». Физ. Преподобный Е. 91 (4): 043301. arXiv : 1501.01586 . Бибкод : 2015PhRvE..91d3301M. doi : 10.1103/PhysRevE.91.043301. PMID  25974606. S2CID  37943657.
183. Сюнь, Чжипен; Дапенг Хао; Роберт М. Зифф (2021). «Просачивание узлов на квадратных и простых кубических решетках с расширенными окрестностями и их континуальный предел». Физ. Преподобный Е. 103 (2): 022126. arXiv : 2010.02895 . Бибкод : 2021PhRvE.103b2126X. doi : 10.1103/PhysRevE.103.022126. PMID  33735955. S2CID  222141832.
184. Сюнь, Чжипенг; Роберт М. Зифф (2020). «Просачивание связей на простых кубических решетках с расширенными окрестностями». Физ. Преподобный Е. 102 (4): 012102.arXiv : 2001.00349 . Бибкод : 2020PhRvE.102a2102X. doi : 10.1103/PhysRevE.102.012102. PMID  32795057. S2CID  209531616.
185. Джерольд, Греция; Л. Е. Скривен; Х. Т. Дэвис (1984). «Просачивание и проводимость в трехмерных сетях Вороного и регулярных сетях: второй пример топологического беспорядка». Дж. Физ. C: Физика твердого тела . 17 (19): 3429–3439. Бибкод : 1984JPhC...17.3429J. дои : 10.1088/0022-3719/17/19/017.
186. Сюй, Фанбо; Чжипин Сюй; Борис Иванович Якобсон (2014). «Порог перколяции по месту волокон углеродных нанотрубок - быстрый контроль перколяции с помощью стохастической теории Маркова». Физика А. 407 : 341–349. arXiv : 1401.2130 . Бибкод : 2014PhyA..407..341X. doi :10.1016/j.physa.2014.04.013. S2CID  119267606.
187. Гаурон, TR; Марек Чеплак (1991). «Пороги перколяции сайтов решетки FCC» (PDF) . Acta Physica Polonica А. 80 (3): 461. Бибкод : 1991AcPPA..80..461G. doi : 10.12693/APhysPolA.80.461 .
188. Хартер, Т. (2005). «Масштабный анализ конечного размера перколяции в трехмерных коррелированных случайных полях двоичных цепей Маркова». Физический обзор E . 72 (2): 026120. Бибкод : 2005PhRvE..72b6120H. doi : 10.1103/PhysRevE.72.026120. PMID  16196657. S2CID  2708506.
189. Сайкс, МФ; Джей Джей Рер; Морин Глен (1996). «Заметка о вероятностях перколяции пар близко подобных решеток». Учеб. Кэмб. Фил. Соц . 76 : 389–392. дои : 10.1017/S0305004100049021. S2CID  96528423.
190. Вебер, Х.; В. Пол (1996). «Проникающая диффузия в замороженных полимерных матрицах: исследование перколяции в свободном объеме с использованием конечного масштаба». Физический обзор E . 54 (4): 3999–4007. Бибкод : 1996PhRvE..54.3999W. doi : 10.1103/PhysRevE.54.3999. ПМИД  9965547.
191. Митра, С.; Д. Саха; А. Сеншарма (2022). «Просачивание в простой кубической решетке с искажением». Физ. Преподобный Е. 106 (3): 034109. arXiv : 2207.12079 . Бибкод : 2022PhRvE.106c4109M. doi : 10.1103/PhysRevE.106.034109. ПМИД  36266842.
192. Тарасевич, Ю. Ю.; В.А. Черкасова (2007). «Просачивание димеров и застревание на простой кубической решетке». Европейский физический журнал Б. 60 (1): 97–100. arXiv : 0709.3626 . Бибкод : 2007EPJB...60...97T. дои : 10.1140/epjb/e2007-00321-2. S2CID  5419806.
193. Холкомб, Д. Ф..; Джей Джей Рер-младший (1969). «Перколяция в сильнолегированных полупроводниках*». Физический обзор . 183 (3): 773–776. Бибкод : 1969PhRv..183..773H. doi : 10.1103/PhysRev.183.773.
194. Холкомб, Д.Ф.; Ф. Холкомб; М. Ивасава (1972). «Кластеризация случайно расположенных сфер». Биометрика . 59 : 207–209. дои : 10.1093/biomet/59.1.207.
195. Шанте, Винод КС; Скотт Киркпатрик (1971). «Введение в теорию перколяции». Достижения физики . 20 (85): 325–357. Бибкод : 1971AdPhy..20..325S. дои : 10.1080/00018737100101261.
196. Ринтул, доктор медицины; С. Торквато (1997). «Точное определение критического порога и показателей степени в трехмерной модели перколяции континуума». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 30 (16): Л585. Бибкод : 1997JPhA...30L.585R. CiteSeerX 10.1.1.42.4284 . дои : 10.1088/0305-4470/30/16/005. 
197. Консильо, Р.; Р. Бейкер; Г. Пол; Его Превосходительство Стэнли (2003). «Континуальное просачивание конгруэнтных перекрывающихся сфероцилиндров». Физика А. 319 : 49–55. дои : 10.1016/S0378-4371(02)01501-7.
198. Сюй, Вэньсян; Сянлун Су; Ян Цзяо (2016). «Континуальное просачивание конгруэнтных перекрывающихся сфероцилиндров». Физ. Преподобный Е. 93 (3): 032122. Бибкод : 2016PhRvE..94c2122X. doi : 10.1103/PhysRevE.94.032122. ПМИД  27078307.
199. Лоренц, компакт-диск; Р. М. Зифф (2000). «Точное определение критического порога перколяции для трехмерной модели швейцарского сыра с использованием алгоритма роста» (PDF) . Дж. Хим. Физ . 114 (8): 3659. Бибкод : 2001JChPh.114.3659L. дои : 10.1063/1.1338506. hdl : 2027.42/70114 .
200. Линь, Цзяньцзюнь; Чен, Хуэйсу; Сюй, Вэньсян (2018). «Геометрический порог перколяции конгруэнтных кубовидных частиц в перекрывающихся системах частиц». Физический обзор E . 98 (1): 012134. Бибкод : 2018PhRvE..98a2134L. doi : 10.1103/PhysRevE.98.012134. PMID  30110832. S2CID  52017287.
201. Garboczi, EJ; К.А. Снайдер; Дж. Ф. Дуглас (1995). «Геометрический порог перколяции перекрывающихся эллипсоидов». Физ. Преподобный Е. 52 (1): 819–827. Бибкод : 1995PhRvE..52..819G. дои : 10.1103/PhysRevE.52.819. ПМИД  9963485.
202. Ли, Минци; Чен, Хуэйсу; Линь, Цзяньцзюнь (январь 2020 г.). «Эффективное измерение порога перколяции для случайных систем конгруэнтных перекрывающихся овоидов». Порошковая технология . 360 : 598–607. doi :10.1016/j.powtec.2019.10.044. ISSN  0032-5910. S2CID  208693526.
203. Ли, Минци; Чен, Хуэйсу; Линь, Цзяньцзюнь (апрель 2020 г.). «Численное исследование порога перколяции и транспортных свойств пористых композитов, содержащих нецентросимметричные суперовоидальные поры». Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 361 : 112815. Бибкод : 2020CMAME.361k2815L. дои : 10.1016/j.cma.2019.112815. ISSN  0045-7825. S2CID  213152892.
204. Далл, Джеспер; Майкл Кристенсен (2002). «Случайные геометрические графы». Физ. Преподобный Е. 66 (1): 016121. arXiv : cond-mat/0203026 . Бибкод : 2002PhRvE..66a6121D. doi : 10.1103/PhysRevE.66.016121. PMID  12241440. S2CID  15193516.
205. Гори, Джакомо; Андреа Тромбеттони (2015). «Конформная инвариантность в трехмерной перколяции». Журнал статистической механики: теория и эксперимент . 2015 (7): P07014. arXiv : 1504.07209 . Бибкод : 2015JSMTE..07..014G. дои : 10.1088/1742-5468/2015/07/P07014. S2CID  119292052.
206. Бальберг, И.; Н. Биненбаум (1984). «Пороги перколяции в системе трехмерных палочек». Физ. Преподобный Летт . 52 (17): 1465. Бибкод : 1984PhRvL..52.1465B. doi : 10.1103/PhysRevLett.52.1465.
207. Йи, Ю.-Б.; А. М. Састри (2004). «Аналитическая аппроксимация порога перколяции для перекрывающихся эллипсоидов вращения». Учеб. Р. Сок. Лонд. А.​ 460 (2048): 2353–2380. Бибкод : 2004RSPSA.460.2353Y. дои : 10.1098/rspa.2004.1279. S2CID  2475482.
208. Hyytiä, Э.; Дж. Виртамо; П. Лассила; Дж. Отт (2012). «Порог непрерывной перколяции для проницаемых, выровненных цилиндров и оппортунистических сетей». Коммуникационные письма IEEE . 16 (7): 1064–1067. дои : 10.1109/LCOMM.2012.051512.120497. S2CID  1056865.
209. Торквато, С.; Ю. Цзяо (2012). «Влияние размерности на порог перколяции перекрывающихся несферических гиперчастиц». Физический обзор E . 87 (2): 022111. arXiv : 1210.0134 . Бибкод : 2013PhRvE..87b2111T. doi : 10.1103/PhysRevE.87.022111. PMID  23496464. S2CID  11417012.
210. Yi, YB; Э. Таверги (2009). «Геометрические пороги перколяции взаимопроникающих пластин в трехмерном пространстве». Физический обзор E . 79 (4): 041134. Бибкод : 2009PhRvE..79d1134Y. doi : 10.1103/PhysRevE.79.041134. ПМИД  19518200.
211. Пауэлл, MJ (1979). «Просачивание сайта в случайно упакованные сферы». Физический обзор B . 20 (10): 4194–4198. Бибкод : 1979PhRvB..20.4194P. doi : 10.1103/PhysRevB.20.4194.
212. Зифф, РМ; Сальваторе Торквато (2016). «Просачивание неупорядоченных упаковок заклиненных сфер». Физический журнал A: Математический и теоретический . 50 (8): 085001. arXiv : 1611.00279 . Бибкод : 2017JPhA...50h5001Z. дои : 10.1088/1751-8121/aa5664. S2CID  53003822.
213. Йи, YB; К. Эсмаил (2012). «Вычислительное измерение порогов перколяции пустот сплюснутых частиц и тонких пластинчатых композитов». Дж. Прил. Физ . 111 (12): 124903–124903–6. Бибкод : 2012JAP...111l4903Y. дои : 10.1063/1.4730333.
214. Линь, Цзяньцзюнь; Чен, Хуэйсу (2018). «Непрерывное просачивание пористых сред посредством случайной упаковки перекрывающихся кубообразных частиц». Письма по теоретической и прикладной механике . 8 (5): 299–303. дои : 10.1016/j.taml.2018.05.007 .
215. Линь, Цзяньцзюнь; Чен, Хуэйсу (2018). «Влияние морфологии частиц на просачивание частиц пористой среды: исследование супершаров». Порошковая технология . 335 : 388–400. doi :10.1016/j.powtec.2018.05.015. S2CID  103471554.
216. Прайор-младший, ди-джей; Нью-Джерси Макгиган (2018). «Просачивание через пустоты вокруг случайно ориентированных многогранников и осесимметричных зерен». Физ. Преподобный Летт . 121 (22): 225701. arXiv : 1801.09970 . Бибкод : 2018PhRvL.121v5701P. doi : 10.1103/PhysRevLett.121.225701. PMID  30547614. S2CID  119185480.
217. Новак, Игорь Л.; Фэй Гао; Павел Крайковский; Борис Михайлович Слепченко (2011). «Распространение среди случайных перекрывающихся препятствий: сходства, инварианты, аппроксимации». Дж. Хим. Физ . 134 (15): 154104. Бибкод : 2011JChPh.134o4104N. дои : 10.1063/1.3578684. ПМК 3094463 . ПМИД  21513372. 
218. Йи, ЮБ (2006). «Просачивание пустот и проводимость перекрывающихся эллипсоидов». Физический обзор E . 74 (3): 031112. Бибкод : 2006PhRvE..74c1112Y. doi : 10.1103/PhysRevE.74.031112. ПМИД  17025599.
219. Баллоу, А.; П. Линтон; Диджей Прайор младший (2023). «Просачивание через пустоты вокруг тороидальных включений». Физический обзор E . 107 (1): 014902. arXiv : 2208.10582 . Бибкод : 2023PhRvE.107a4902B. doi : 10.1103/PhysRevE.107.014902. PMID  36797924. S2CID  251741342.
220. Прайор-младший, диджей; Нью-Джерси Макгиган (2017). «Просачивание через пустоты вокруг случайно ориентированных граненых включений». arXiv : 1712.10241 [cond-mat.stat-mech].
221. Кертеш, Янош (1981). «Просачивание дыр между перекрывающимися сферами: расчет критической объемной доли методом Монте-Карло» (PDF) . Журнал Physique Lettres . 42 (17): Л393–Л395. doi : 10.1051/jphyslet: 019810042017039300. S2CID  122115573.
222. Элам, WT; А.Р. Керштейн; Джей Джей Рер (1984). «Критические свойства проблемы просачивания пустот для сфер». Физ. Преподобный Летт . 52 (7): 1516–1519. Бибкод : 1984PhRvL..52.1516E. doi :10.1103/PhysRevLett.52.1516.
223. Ринтул, доктор медицины (2000). «Точное определение порога просачивания пустот для двух распределений перекрывающихся сфер». Физический обзор E . 62 (6): 68–72. Бибкод : 2000PhRvE..62...68R. дои : 10.1103/PhysRevE.62.68. ПМИД  11088435.
224. Хёфлинг, Ф.; Т. Мунк; Э. Фрей; Т. Франош (2008). «Критическая динамика баллистических и броуновских частиц в гетерогенной среде». Дж. Хим. Физ . 128 (16): 164517. arXiv : 0712.2313 . Бибкод : 2008JChPh.128p4517H. дои : 10.1063/1.2901170. PMID  18447469. S2CID  25509814.
225. Прайор-младший, ди-джей (2014). «Просачивание через пустоты вокруг перекрывающихся сфер: динамически основанный анализ масштабирования конечного размера». Физ. Преподобный Е. 89 (1): 012148. arXiv : 1208.0328 . Бибкод : 2014PhRvE..89a2148P. doi : 10.1103/PhysRevE.89.012148. PMID  24580213. S2CID  20349307.
226. Клерк, JP; Г. Жиро; С. Александр; Э. Гийон (1979). «Проводимость смеси проводящих и изолирующих зерен: эффекты размерности». Физический обзор B . 22 (5): 2489–2494. doi : 10.1103/PhysRevB.22.2489.
227. К. Лармье; Э. Дюмонтей; Ф. Мальваги; А. Маццоло; А. Зоя (2016). «Эффекты конечного размера и перколяционные свойства геометрий Пуассона». Физический обзор E . 94 (1): 012130. arXiv : 1605.04550 . Бибкод : 2016PhRvE..94a2130L. doi : 10.1103/PhysRevE.94.012130. PMID  27575099. S2CID  19361619.
228. Закалюкин, Р.М.; В.А. Чижиков (2005). «Расчеты порогов перколяции трехмерной (икосаэдрической) плитки Пенроуза методом кубической аппроксимации». Кристаллографические отчеты . 50 (6): 938–948. Бибкод : 2005CryRp..50..938Z. дои : 10.1134/1.2132400. S2CID  94290876.
229. Кантор, Яков (1986). «Трехмерная перколяция с удаленными линиями участков». Физ. Преподобный Б. 33 (5): 3522–3525. Бибкод : 1986PhRvB..33.3522K. doi : 10.1103/PhysRevB.33.3522. ПМИД  9938740.
230. Шренк, К.Дж.; г-н Иларио; В. Сидоравичюс; ДНП Араужо; Х.Дж. Херрманн; М. Тильманн; А. Тейшейра (2016). «Критические свойства фрагментации при случайном сверлении: сколько отверстий нужно просверлить, чтобы разрушить деревянный куб?». Физ. Преподобный Летт . 116 (5): 055701. arXiv : 1601.03534 . Бибкод : 2016PhRvL.116e5701S. doi : 10.1103/PhysRevLett.116.055701. PMID  26894717. S2CID  3145131.
231. Грассбергер, П. (2017). «Некоторые замечания по поводу бурения перколяции». Физ. Преподобный Е. 95 (1): 010103. arXiv : 1611.07939 . doi : 10.1103/PhysRevE.95.010103. PMID  28208497. S2CID  12476714.
232. Грассбергер, Питер; Марсело Р. Иларио; Владас Сидоравичюс (2017). «Просачивание в СМИ с столбчатым расстройством». Дж. Стат. Физ . 168 (4): 731–745. arXiv : 1704.04742 . Бибкод : 2017JSP...168..731G. дои : 10.1007/s10955-017-1826-7. S2CID  15915864.
233. Щигел, Бартломей; Камил Квятковски; Мацей Левенштейн; Джеральд Джон Лапейр-младший; Ян Вер (2016). «Пороги перколяции для дискретно-непрерывных моделей с неоднородными вероятностями образования связей». Физ. Преподобный Е. 93 (2): 022127. arXiv : 1509.07401 . Бибкод : 2016PhRvE..93b2127S. doi : 10.1103/PhysRevE.93.022127. PMID  26986308. S2CID  18110437.
234. Абете, Т.; А. де Кандиа; Д. Лайрес; А. Конильо (2004). «Модель перколяции для деградации ферментного геля». Физ. Преподобный Летт . 93 : 228301. arXiv : cond-mat/0402551 . doi : 10.1103/PhysRevLett.93.228301.
235. Киркпатрик, Скотт (1976). «Явления перколяции в более высоких измерениях: подход к пределу среднего поля». Письма о физических отзывах . 36 (2): 69–72. Бибкод : 1976PhRvL..36...69K. doi :10.1103/PhysRevLett.36.69.
236. Гонт, DS; Сайкс, МФ; Раскин, Хизер (1976). «Процессы перколяции в d-мерностях». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 9 (11): 1899–1911. Бибкод : 1976JPhA....9.1899G. дои : 10.1088/0305-4470/11.09.015.
237. Грассбергер, Питер (2003). «Критическое просачивание в большие измерения». Физический обзор E . 67 (3): 4. arXiv : cond-mat/0202144 . Бибкод : 2003PhRvE..67c6101G. doi : 10.1103/PhysRevE.67.036101. PMID  12689126. S2CID  43707822.
238. Пол, Джеральд; Роберт М. Зифф; Х. Юджин Стэнли (2001). «Порог перколяции, показатель Фишера и показатель кратчайшего пути для четырех и пяти измерений». Физический обзор E . 64 (2): 8. arXiv : cond-mat/0101136 . Бибкод : 2001PhRvE..64b6115P. doi : 10.1103/PhysRevE.64.026115. PMID  11497659. S2CID  18271196.
239. Бальестерос, ХГ; Л.А. Фернандес; В. Мартин-Майор; А. Муньос Судупе; Г. Паризи; Джей Джей Руис-Лоренцо (1997). «Меры критических показателей в четырехмерном просачивании сайтов». Физ. Летт. Б.​ 400 (3–4): 346–351. arXiv : hep-lat/9612024 . Бибкод : 1997PhLB..400..346B. дои : 10.1016/S0370-2693(97)00337-7. S2CID  10242417.
240. Котвица, М.; П. Гронек; К. Маларц (2019). «Эффективная виртуализация пространства для алгоритма Хошена – Копельмана». Международный журнал современной физики C . 30 (8): 1950055–1950099. arXiv : 1803.09504 . Бибкод : 2019IJMPC..3050055K. дои : 10.1142/S0129183119500554. S2CID  4418563.
241. Мертенс, Стефан; Кристофер Мур (2018). «Пороги перколяции и показатели Фишера в гиперкубических решетках». Физ. Преподобный Е. 98 (2): 022120.arXiv : 1806.08067 . Бибкод : 2018PhRvE..98b2120M. doi : 10.1103/PhysRevE.98.022120. PMID  30253462. S2CID  52821851.
242. Харрис, AB; Фиш, Р. (1977). «Критическое поведение случайных резисторных сетей». Письма о физических отзывах . 38 (15): 796–799. Бибкод : 1977PhRvL..38..796H. doi : 10.1103/PhysRevLett.38.796.
243. Сюнь, Чжипенг (2020). «Точные пороги перколяции связей на нескольких четырехмерных решетках». Обзор физических исследований . 2 (1): 013067. arXiv : 1910.11408 . Бибкод : 2020PhRvR...2a3067X. doi : 10.1103/PhysRevResearch.2.013067. S2CID  204915841.
244. Гонт, DS; Раскин, Хизер (1978). «Процессы перколяции связей в d-размерах». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 11 (7): 1369. Бибкод : 1978JPhA...11.1369G. дои : 10.1088/0305-4470/7.11.025.
245. Адлер, Джоан; Игаль Меир; Амнон Ахароний; АБ Харрис (1990). «Серийное исследование моментов перколяции в общем измерении». Физический обзор B . 41 (13): 9183–9206. Бибкод : 1990PhRvB..41.9183A. doi : 10.1103/PhysRevB.41.9183. ПМИД  9993262.
246. Штауффер, Дитрих; Роберт М. Зифф (1999). «Повторное исследование семимерных порогов просачивания сайтов». Международный журнал современной физики C . 11 (1): 205–209. arXiv : cond-mat/9911090 . Бибкод : 2000IJMPC..11..205S. дои : 10.1142/S0129183100000183. S2CID  119362011.
247. Мертенс, Стефан; Мур, Кристофер (2018). «Разложение в ряд критических плотностей перколяции на ℤ ^d ». Дж. Физ. А: Математика. Теор . 51 (47): 475001. arXiv : 1805.02701 . дои : 10.1088/1751-8121/aae65c. S2CID  119399128.
248. Чжао, Пэнъюй; Цзиньхун Ян; Чжипен Сюнь; Дапенг Хао; Роберт М. Зифф (2022). «Просачивание узлов и связей на четырехмерных простых гиперкубических решетках с расширенными окрестностями». Журнал статистической механики: теория и эксперимент . 2022 (3): 033202. arXiv : 2109.11195 . Бибкод : 2022JSMTE2022c3202Z. дои : 10.1088/1742-5468/ac52a8. S2CID  237605083.
249. Лёбл, Матиас К. (2024). «Архитектура, устойчивая к потерям для квантовых вычислений с квантовыми эмиттерами». Квантовый . 8 : 1302. arXiv : 2304.03796 . doi : 10.22331/q-2024-03-28-1302.
250. Шульман, LS (1983). «Просачивание на большие расстояния в одном измерении». Журнал физики A: Математический и общий . 16 (17): Л639–Л641. Бибкод : 1983JPhA...16L.639S. дои : 10.1088/0305-4470/16/17/001. ISSN  0305-4470.
251. Айзенман, М.; Ньюман, CM (1 декабря 1986 г.). «Разрыв плотности перколяции в одномерных моделях перколяции 1/|x-y|2». Связь в математической физике . 107 (4): 611–647. Бибкод : 1986CMaPh.107..611A. дои : 10.1007/BF01205489. ISSN  0010-3616. S2CID  117904292.
252. Гори, Г.; Микеланджели, М.; Дефеню, Н.; Тромбеттони, А. (2017). «Одномерная перколяция на большие расстояния: численное исследование». Физический обзор E . 96 (1): 012108.arXiv : 1610.00200 . Бибкод : 2017PhRvE..96a2108G. doi : 10.1103/physreve.96.012108. PMID  29347133. S2CID  9926800.
253. Бэк, СК; Петтер Миннхаген; Бом Джун Ким (2009). «Комментарий к «Исследованию двухэтапного перколяционного перехода в улучшенных двоичных деревьях методом моделирования методом Монте-Карло»". J. Phys. A: Math. Theor . 42 (47): 478001. arXiv : 0910.4340 . Bibcode : 2009JPhA...42U8001B. doi : 10.1088/1751-8113/42/47/478001. S2CID  102489139.
254. Бетчер, Стефан; Джессика Л. Кук; Роберт М. Зифф (2009). «Неоднородное проникновение в иерархическую сеть со связями маленького мира». Физ. Преподобный Е. 80 (4): 041115. arXiv : 0907.2717 . Бибкод : 2009PhRvE..80d1115B. doi : 10.1103/PhysRevE.80.041115. PMID  19905281. S2CID  119265110.
255. Mertens, Stephan; Кристофер Мур (2017). «Пороги перколяции в гиперболических решетках». Физ. Преподобный Е. 96 (4): 042116. arXiv : 1708.05876 . Бибкод : 2017PhRvE..96d2116M. doi : 10.1103/PhysRevE.96.042116. PMID  29347529. S2CID  39025690.
256. Лопес, Хорхе Х.; Дж. М. Шварц (2017). «Просачивание ограничений на гиперболических решетках». Физ. Преподобный Е. 96 (5): 052108. arXiv : 1512.05404 . Бибкод : 2017PhRvE..96e2108L. doi : 10.1103/PhysRevE.96.052108. PMID  29347694. S2CID  44770310.
257. Пэк, СК; Петтер Миннхаген; Бом Джун Ким (2009). «Перколяция на гиперболических решетках». Физ. Преподобный Е. 79 (1): 011124. arXiv : 0901.0483 . Бибкод : 2009PhRvE..79a1124B. doi : 10.1103/PhysRevE.79.011124. PMID  19257018. S2CID  29468086.
258. Гу, Ханг; Роберт М. Зифф (2012). «Пересечение на гиперболических решетках». Физ. Преподобный Е. 85 (5): 051141. arXiv : 1111.5626 . Бибкод : 2012PhRvE..85e1141G. doi : 10.1103/PhysRevE.85.051141. PMID  23004737. S2CID  7141649.
259. Ногава, Томоаки; Такехиса Хасегава (2009). «Исследование методом моделирования методом Монте-Карло двухэтапного перколяционного перехода в улучшенных двоичных деревьях». Дж. Физ. А: Математика. Теор . 42 (14): 145001. arXiv : 0810.1602 . Бибкод : 2009JPhA...42n5001N. дои : 10.1088/1751-8113/42/14/145001. S2CID  118367190.
260. Миннхаген, Петтер; Сын Ки Бэк (2010). «Аналитические результаты перколяционных переходов расширенного двоичного дерева». Физ. Преподобный Е. 82 (1): 011113. arXiv : 1003.6012 . Бибкод : 2010PhRvE..82a1113M. doi : 10.1103/PhysRevE.82.011113. PMID  20866571. S2CID  21018113.
261. Козакова, Ива (2009). «Критическое проникновение виртуально свободных групп и других древовидных графов». Анналы вероятности . 37 (6): 2262–2296. arXiv : 0801.4153 . дои : 10.1214/09-AOP458.
262. Ван, Цзюньфэн; Цзунчжэн Чжоу; Цинцюань Лю; Тимоти М. Гарони; Юджин Дэн (2013). «Высокоточное исследование направленной перколяции методом Монте-Карло в измерениях (d + 1)». Физический обзор E . 88 (4): 042102. arXiv : 1201.3006 . Бибкод : 2013PhRvE..88d2102W. doi : 10.1103/PhysRevE.88.042102. PMID  24229111. S2CID  43011467.
263. Дженсен, Иван ; Энтони Дж. Гуттманн (1995). «Разложение в ряд вероятности перколяции для направленных квадратных и сотовых решеток». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 28 (17): 4813–4833. arXiv : cond-mat/9509121 . Бибкод : 1995JPhA...28.4813J. дои : 10.1088/0305-4470/28/17/015. S2CID  118993303.
264. Дженсен, Иван (2004). «Разложения в ряды малой плотности для направленной перколяции: III. Некоторые двумерные решетки». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 37 (4): 6899–6915. arXiv : cond-mat/0405504 . Бибкод : 2004JPhA...37.6899J. CiteSeerX 10.1.1.700.2691 . дои : 10.1088/0305-4470/37/27/003. S2CID  119326380. 
265. Эссам, JW; Эй Джей Гутманн; К. Де'Белл (1988). «О двумерной направленной перколяции». Дж. Физ. А.​ 21 (19): 3815–3832. Бибкод : 1988JPhA...21.3815E. дои : 10.1088/0305-4470/21/19/018.
266. Любек, С.; РД Уиллманн (2002). «Универсальное масштабирование направленной перколяции и парного контактного процесса во внешнем поле». Дж. Физ. А.​ 35 (48): 10205. arXiv : cond-mat/0210403 . Бибкод : 2002JPhA...3510205L. дои : 10.1088/0305-4470/35/48/301. S2CID  11831269.
267. Дженсен, Иван (1999). «Разложение в ряд низкой плотности для направленной перколяции: I. Новый эффективный алгоритм с приложениями к квадратной решетке». Дж. Физ. А.​ 32 (28): 5233–5249. arXiv : cond-mat/9906036 . Бибкод : 1999JPhA...32.5233J. дои : 10.1088/0305-4470/32/28/304. S2CID  2681356.
268. Эссам, Джон; К. Де'Белл; Дж. Адлер ; Ф.М. Бхатти (1986). «Анализ расширенных рядов для перколяции связей на направленной квадратной решетке». Физический обзор B . 33 (2): 1982–1986. Бибкод : 1986PhRvB..33.1982E. doi :10.1103/PhysRevB.33.1982. ПМИД  9938508.
269. Бакстер, Р.Дж.; Эй Джей Гутманн (1988). «Разложение в ряд вероятности перколяции для направленной квадратной решетки». Дж. Физ. А.​ 21 (15): 3193–3204. Бибкод : 1988JPhA...21.3193B. дои : 10.1088/0305-4470/21/15/008.
270. Дженсен, Иван (1996). «Разложения в ряды низкой плотности для направленной перколяции на квадратных и треугольных решетках». Дж. Физ. А.​ 29 (22): 7013–7040. Бибкод : 1996JPhA...29.7013J. дои : 10.1088/0305-4470/29/22/007. S2CID  121332666.
271. Близ, Дж. (1977). «Разложение в ряд для задачи перколяции направленных связей». Дж. Физ. C: Физика твердого тела . 10 (7): 917–924. Бибкод : 1977JPhC...10..917B. дои : 10.1088/0022-3719/10/7/003.
272. Грассбергер, П.; Ю.-К. Чжан (1996). "«Самоорганизованная» формулировка стандартных явлений перколяции». Physica A. 224 ( 1): 169–179. Bibcode : 1996PhyA..224..169G. doi : 10.1016/0378-4371(95)00321-5.
273. Грассбергер, П. (2009). «Локальная устойчивость при направленной перколяции». Журнал статистической механики: теория и эксперимент . 2009 (8): P08021. arXiv : 0907.4021 . Бибкод : 2009JSMTE..08..021G. дои : 10.1088/1742-5468/2009/08/P08021. S2CID  119236556.
274. Любек, С.; РД Уиллманн (2004). «Универсальное масштабирование направленной перколяции вокруг верхнего критического измерения». Дж. Стат. Физ . 115 (5–6): 1231–1250. arXiv : cond-mat/0401395 . Бибкод : 2004JSP...115.1231L. CiteSeerX 10.1.1.310.8700 . doi :10.1023/B:JOSS.0000028059.24904.3b. S2CID  16267627. 
275. Перлсман, Э.; С. Хэвлин (2002). «Метод оценки критических показателей с использованием численных исследований». Еврофиз. Летт . 58 (2): 176–181. Бибкод : 2002EL.....58..176P. doi : 10.1209/epl/i2002-00621-7. S2CID  67818664.
276. Адлер, Джоан ; Дж. Бергер; МАМС Дуарте; Ю. Меир (1988). «Направленная перколяция в измерениях 3+1». Физический обзор B . 37 (13): 7529–7533. Бибкод : 1988PhRvB..37.7529A. doi : 10.1103/PhysRevB.37.7529. ПМИД  9944046.
277. Грассбергер, Питер (2009). «Логарифмические поправки в (4 + 1)-мерной направленной перколяции». Физический обзор E . 79 (5): 052104. arXiv : 0904.0804 . Бибкод : 2009PhRvE..79e2104G. doi : 10.1103/PhysRevE.79.052104. PMID  19518501. S2CID  23876626.
278. Соареш, Дэниел Дж.Б.; Хосе С. Андраде-младший; Ханс Дж. Херрманн (2006). «Точный расчет порога различных моделей направленной перколяции на квадратной решетке». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 38 (21): Л413–Л415. arXiv : cond-mat/0503408 . дои : 10.1088/0305-4470/38/21/L06.
279. Третьяков, А. Ю.; Н Инуи (1995). «Критическое поведение для смешанной перколяции, направленной на связь между сайтами». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 28 (14): 3985–3990. arXiv : cond-mat/9505019 . Бибкод : 1995JPhA...28.3985T. дои : 10.1088/0305-4470/28/14/017.
280. Ву, финансовый год (2010). «Критическая граница моделей Поттса и перколяции на решетках треугольного типа и типа кагоме I: выражения в замкнутой форме». Физический обзор E . 81 (6): 061110. arXiv : 0911.2514 . Бибкод : 2010PhRvE..81f1110W. doi : 10.1103/PhysRevE.81.061110. PMID  20866381. S2CID  31590247.
281. Дамаванди, Оджан Хатиб; Роберт М. Зифф (2015). «Просачивание по гиперграфам с четырьмя ребрами». Дж. Физ. А: Математика. Теор . 48 (40): 405004. arXiv : 1506.06125 . Бибкод : 2015JPhA...48N5004K. дои : 10.1088/1751-8113/48/40/405004. S2CID  118481075.
282. Ву, финансовый год (2006). «Новые критические границы для моделей Поттса и перколяции». Письма о физических отзывах . 96 (9): 090602. arXiv : cond-mat/0601150 . Бибкод : 2006PhRvL..96i0602W. CiteSeerX 10.1.1.241.6346 . doi : 10.1103/PhysRevLett.96.090602. PMID  16606250. S2CID  15182833.