В математической теории множеств множество S называется ординально определимым , если неформально его можно определить в терминах конечного числа ординалов с помощью формулы первого порядка . Ординально определимые множества были введены Гёделем (1965).
Недостатком вышеприведенного неформального определения является то, что оно требует квантификации по всем формулам первого порядка, которые не могут быть формализованы на стандартном языке теории множеств. Однако существует иная, формальная характеристика такого рода:
Последнее обозначает множество в иерархии фон Неймана, индексированное ординалом α 1. Класс всех ординально определимых множеств обозначается OD; он не обязательно транзитивен и не должен быть моделью ZFC, поскольку он может не удовлетворять аксиоме экстенсиональности .
Множество далее наследственно ординально определимо, если оно ординально определимо и все элементы его транзитивного замыкания ординально определимы. Класс наследственно ординально определимых множеств обозначается как HOD и является транзитивной моделью ZFC с определимым вполне упорядоченным.
Согласуется с аксиомами теории множеств, что все множества являются порядково определимыми, и, следовательно, наследственно порядково определимыми. Утверждение, что эта ситуация имеет место, называется V = OD или V = HOD. Это следует из V = L и эквивалентно существованию (определимого) вполне упорядоченного мира. Однако следует отметить, что формула, выражающая V = HOD, не обязательно должна быть истинной в пределах HOD, поскольку она не является абсолютной для моделей теории множеств: в пределах HOD интерпретация формулы для HOD может привести к еще меньшей внутренней модели.
Было обнаружено, что HOD полезен тем, что это внутренняя модель , которая может вместить по существу все известные большие кардиналы . Это контрастирует с ситуацией для основных моделей , поскольку основные модели, которые могут вместить суперкомпактные кардиналы , например, еще не построены .
