В математике порядок Лёвнера — это частичный порядок, определяемый выпуклым конусом положительно полуопределённых матриц . Этот порядок обычно используется для обобщения определений монотонных и вогнутых/выпуклых скалярных функций до монотонных и вогнутых/выпуклых эрмитовозначных функций . Эти функции естественным образом возникают в теории матриц и операторов и имеют приложения во многих областях физики и техники.
Пусть A и B — две эрмитовы матрицы порядка n . Мы говорим, что A ≥ B , если A − B положительно полуопределена . Аналогично, мы говорим, что A > B, если A − B положительно определена .
Когда A и B являются действительными скалярами (т.е. n = 1), порядок Лёвнера сводится к обычному порядку R. Хотя некоторые знакомые свойства обычного порядка R также действительны, когда n ≥ 2, некоторые свойства больше не действительны. Например, сравнимость двух матриц может больше не быть действительной. Фактически, если и то ни A ≥ B , ни B ≥ A не выполняется.
Более того, поскольку A и B являются эрмитовыми матрицами, их собственные значения являются действительными числами. Если λ 1 ( B ) является максимальным собственным значением B , а λ n ( A ) — минимальным собственным значением A , то достаточным критерием для того, чтобы A ≥ B , является λ n ( A ) ≥ λ 1 ( B ). Если A или B являются кратными единичной матрицы , то этот критерий также необходим.
Порядок Лёвнера не обладает свойством наименьшей верхней границы и, следовательно, не образует решетку .
