Порядок (теория групп)

В математике порядок конечной группы — это число ее элементов. Если группа не конечна, говорят, что ее порядок бесконечен . Порядок элемента группы (также называемый длиной периода или периодом ) — это порядок подгруппы, порожденной элементом. Если групповая операция обозначена как умножение , то порядок элемента $a$ группы — это наименьшее положительное целое число $m,$ такое что $a$ $m$ $=$ $e$ , где $e$ обозначает единичный элемент группы, а $a$ $m$ обозначает произведение $m$ копий $a$ . Если такого $m$ не существует, порядок $a$ бесконечен.

Порядок группы $G$ обозначается как $ord(G)$ или $| G |$ , а порядок элемента $a$ обозначается как $ord(a)$ или $| a |$ , вместо того, чтобы скобки обозначали сгенерированную группу. $\operatorname {ord} (\langle a\rangle ),$

Теорема Лагранжа утверждает, что для любой подгруппы $H$ конечной группы $G$ порядок подгруппы делит порядок группы; то есть $| H |$ является делителем $| G |$ . В частности, порядок $| a |$ любого элемента является делителем $| G |$ .

Пример

Симметрическая группа S ₃ имеет следующую таблицу умножения .

Эта группа имеет шесть элементов, поэтому $ord(S 3) = 6$ . По определению, порядок тождества $e$ равен единице, так как $e 1 = e$ . Каждый из $s$ , $t$ , и $w$ является квадратом $e$ , так что эти элементы группы имеют порядок два: $| s | = | t | = | w | = 2$ . Наконец, $u$ и $v$ имеют порядок 3, так как $u 3 = vu = e$ , а $v 3 = uv = e$ .

Порядок и структура

Порядок группы G и порядки ее элементов дают много информации о структуре группы. Грубо говоря, чем сложнее факторизация | G | , тем сложнее структура G .

Для | G | = 1 группа тривиальна . В любой группе только единичный элемент a = e имеет ord( a) = 1. Если каждый неединичный элемент в G равен своему обратному (так что a ² = e ), то ord( a ) = 2; это означает, что G абелева , поскольку . Обратное неверно; например, (аддитивная) циклическая группа Z ₆ целых чисел по модулю 6 абелева, но число 2 имеет порядок 3: $ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba$

2+2+2=6\equiv 0{\pmod {6}}

Связь между двумя концепциями порядка следующая: если мы напишем

\langle a\rangle =\{a^{k}\colon k\in \mathbb {Z} \}

для подгруппы , порожденной a , то

\operatorname {ord} (a)=\operatorname {ord} (\langle a\rangle ).

Для любого целого числа k имеем

a ^k = e тогда и только тогда, когда ord( a ) делит k .

В общем случае порядок любой подгруппы группы G делит порядок группы G. Точнее: если H — подгруппа группы G , то

ord( G ) / ord( H ) = [ G : H ], где [ G : H ] называется индексом H в G , целом числе. Это теорема Лагранжа . (Однако это верно только тогда, когда G имеет конечный порядок. Если ord( G ) = ∞, частное ord( G ) / ord( H ) не имеет смысла.)

Как непосредственное следствие вышесказанного, мы видим, что порядок каждого элемента группы делит порядок группы. Например, в симметричной группе, показанной выше, где ord(S ₃ ) = 6, возможные порядки элементов равны 1, 2, 3 или 6.

Следующее частичное обратное утверждение верно для конечных групп : если d делит порядок группы G и d является простым числом , то в G существует элемент порядка d (иногда это называют теоремой Коши ). Утверждение не выполняется для составных порядков, например, четверная группа Клейна не имеет элемента порядка четыре. Это можно показать с помощью индуктивного доказательства . ^[1] Следствия теоремы включают: порядок группы G является степенью простого числа p тогда и только тогда, когда ord( a ) является некоторой степенью p для каждого a в G . ^[2]

Если a имеет бесконечный порядок, то все ненулевые степени a также имеют бесконечный порядок. Если a имеет конечный порядок, то для порядка степеней a имеем следующую формулу :

ord( a ^k ) = ord( a ) / gcd (ord( a ), k ) ^[3]

для каждого целого числа k . В частности, a и его обратный a ⁻¹ имеют одинаковый порядок.

В любой группе,

\operatorname {ord} (ab)=\operatorname {ord} (ba)

Не существует общей формулы, связывающей порядок произведения ab с порядками a и b . Фактически, возможно, что и a, и b имеют конечный порядок, в то время как ab имеет бесконечный порядок, или что и a, и b имеют бесконечный порядок, в то время как ab имеет конечный порядок. Примером первого случая является a ( x ) = 2− x , b ( x ) = 1− x с ab ( x ) = x −1 в группе . Примером последнего случая является a ( x ) = x +1, b ( x ) = x −1 с ab ( x ) = x . Если ab = ba , мы можем по крайней мере сказать, что ord( ab ) делит lcm (ord( a ), ord( b )). Как следствие, можно доказать, что в конечной абелевой группе, если m обозначает максимум всех порядков элементов группы, то порядок каждого элемента делит m . $Sym(\mathbb {Z} )$

Подсчет по порядку элементов

Предположим, что G — конечная группа порядка n , а d — делитель n . Число элементов порядка d в G кратно φ( d ) (возможно, нулю), где φ — функция Эйлера , дающая число положительных целых чисел, не превышающих d и взаимно простых с ним. Например, в случае S ₃ φ(3) = 2, и у нас есть ровно два элемента порядка 3. Теорема не дает никакой полезной информации об элементах порядка 2, поскольку φ(2) = 1, и имеет лишь ограниченную полезность для составных d, таких как d = 6, поскольку φ(6) = 2, и в S ₃ нет нулевых элементов порядка 6 .

В отношении гомоморфизмов

Групповые гомоморфизмы имеют тенденцию уменьшать порядки элементов: если f : G → H — гомоморфизм, а a — элемент группы G конечного порядка, то ord( f ( a )) делит ord( a ). Если f инъективен , то ord ( f ( a ) ) = ord ( a ) . Это часто можно использовать для доказательства того, что между двумя явно заданными группами нет гомоморфизмов или нет инъективных гомоморфизмов. (Например, не может быть нетривиального гомоморфизма h : S ₃ → Z ₅ , потому что каждое число, кроме нуля, в Z ₅ имеет порядок 5, который не делит порядки 1, 2 и 3 элементов в S ₃ .) Еще одним следствием является то, что сопряженные элементы имеют тот же порядок.

Уравнение класса

Важным результатом о порядках является уравнение классов ; оно связывает порядок конечной группы G с порядком ее центра Z( G ) и размерами ее нетривиальных классов сопряженности :

|G|=|Z(G)|+\sum _{i}d_{i}\;

где d _i — размеры нетривиальных классов сопряженности; это собственные делители | G |, большие единицы, и они также равны индексам централизаторов в G представителей нетривиальных классов сопряженности. Например, центр S ₃ — это просто тривиальная группа с единственным элементом e , и уравнение имеет вид |S ₃ | = 1+2+3.

Смотрите также

Подгруппа кручения

Примечания

^ Конрад, Кит. "Доказательство теоремы Коши" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2018-11-23 . Получено 14 мая 2011 .
^ Конрад, Кейт. "Consequences of Cauchy's Theorem" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2018-07-12 . Получено 14 мая 2011 .
^ Даммит, Дэвид; Фут, Ричард. Абстрактная алгебра , ISBN 978-0471433347 , стр. 57

Ссылки

Даммит, Дэвид; Фут, Ричард. Абстрактная алгебра, ISBN 978-0471433347 , стр. 20, 54–59, 90
Артин, Майкл. Алгебра, ISBN 0-13-004763-5 , стр. 46–47.