В математике порядок конечной группы — это количество ее элементов. Если группа не конечна, говорят, что ее порядок бесконечен . Порядок элемента группы (также называемый длиной периода или периодом ) — это порядок подгруппы, созданной элементом. Если групповая операция обозначается как умножение , то порядок элемента a группы, таким образом, представляет собой наименьшее положительное целое число m такое, что a m = e , где e обозначает единичный элемент группы, а m обозначает произведение m копий файла . _ Если такого m не существует, порядок a бесконечен.
Порядок группы G обозначается через ord( G ) или | г | , а порядок элемента a обозначается через ord( a ) или | а | , вместо того , чтобы скобки обозначали сгенерированную группу.
Теорема Лагранжа утверждает, что для любой подгруппы H конечной группы G порядок подгруппы делит порядок группы; то есть | Ч | является делителем | _ г | . В частности, порядок | а | любого элемента является делителем | г | .
Симметричная группа S3 имеет следующую таблицу умножения .
В этой группе шесть элементов, поэтому ord(S 3 ) = 6 . По определению порядок единицы e равен единице, поскольку e 1 = e . Каждый из s , t и w квадратичен к e , поэтому эти элементы группы имеют второй порядок: | s | = | т | = | ш | = 2 . Наконец, u и v имеют порядок 3, поскольку u 3 = vu = e и v 3 = uv = e .
Порядок группы G и порядки ее элементов дают много информации о структуре группы. Грубо говоря, чем сложнее факторизация | G |, тем сложнее структура G .
Для | г | = 1, группа тривиальна . В любой группе только единичный элемент a = e имеет ord( a) = 1. Если каждый неединичный элемент в G равен своему обратному (так что a2 = e ), то ord( a ) = 2; это означает, что G абелева , поскольку . Обратное неверно; например, (аддитивная) циклическая группа Z 6 целых чисел по модулю 6 абелева, но число 2 имеет порядок 3:
Связь между двумя понятиями порядка следующая: если мы напишем
для подгруппы , порожденной a , то
Для любого целого числа k мы имеем
В общем, порядок любой подгруппы G делит порядок G . Точнее: если H — подгруппа группы G , то
Как непосредственное следствие вышесказанного, мы видим, что порядок каждого элемента группы делит порядок группы. Например, в показанной выше симметричной группе, где ord(S 3 ) = 6, возможные порядки элементов — 1, 2, 3 или 6.
Следующее частичное обратное верно для конечных групп : если d делит порядок группы G и d — простое число , то в G существует элемент порядка d (это иногда называют теоремой Коши ). Утверждение не верно для составных порядков, например, в четырехгруппе Клейна нет элемента четвертого порядка). Это можно показать индуктивным доказательством . [1] Следствия теоремы включают в себя: порядок группы G является степенью простого числа p тогда и только тогда, когда ord( a ) является некоторой степенью p для каждого a в G. [2]
Если а имеет бесконечный порядок, то все ненулевые степени а также имеют бесконечный порядок . Если a имеет конечный порядок, мы имеем следующую формулу для порядка степеней a :
для каждого целого числа k . В частности, a и обратный ему a −1 имеют одинаковый порядок.
В любой группе
Не существует общей формулы, связывающей порядок произведения ab с порядками a и b . Фактически, возможно, что и a , и b имеют конечный порядок, в то время как ab имеет бесконечный порядок, или что и a , и b имеют бесконечный порядок, в то время как ab имеет конечный порядок. Примером первого является a ( x ) = 2− x , b ( x ) = 1 − x с ab ( x ) = x −1 в группе . Примером последнего является a ( x ) = x +1, b ( x ) = x −1 с ab ( x ) = x . Если ab = ba , мы можем, по крайней мере, сказать, что ord( ab ) делит lcm (ord( a ), ord( b )). Как следствие, можно доказать, что в конечной абелевой группе, если m обозначает максимальный из всех порядков элементов группы, то порядок каждого элемента делит m .
Предположим, что G — конечная группа порядка n , а d — делитель n . Количество элементов порядка d в G кратно φ( d ) (возможно, нулю), где φ — функция Эйлера , дающая количество натуральных чисел, не превышающих d и взаимно простых с ним. Например, в случае S3 φ (3) = 2, и у нас есть ровно два элемента порядка 3. Теорема не дает никакой полезной информации об элементах порядка 2, поскольку φ(2) = 1, и является только ограниченной полезности для составного d , такого как d = 6, поскольку φ(6) = 2, и в S 3 имеются нулевые элементы порядка 6 .
Групповые гомоморфизмы имеют тенденцию уменьшать порядки элементов: если f : G → H — гомоморфизм, а a — элемент G конечного порядка, то ord( f ( a )) делит ord( a ). Если f инъективен , то ord( f ( a )) = ord( a ). Это часто можно использовать для доказательства того, что между двумя явно заданными группами не существует гомоморфизмов или инъективных гомоморфизмов. (Например, не может быть нетривиального гомоморфизма h : S 3 → Z 5 , поскольку каждое число, кроме нуля в Z 5 , имеет порядок 5, который не делит порядки 1, 2 и 3 элементов в S 3 .) A Дальнейшее следствие состоит в том, что сопряженные элементы имеют одинаковый порядок.
Важным результатом о порядках является уравнение класса ; он связывает порядок конечной группы G с порядком ее центра Z( G ) и размерами ее нетривиальных классов сопряженности :
где d i — размеры нетривиальных классов сопряженности; это собственные делители | г | больше единицы, а также равны индексам централизаторов в G представителей нетривиальных классов сопряженности. Например, центр S 3 — это просто тривиальная группа с единственным элементом e , а уравнение имеет вид |S 3 | = 1+2+3.