Посадочный след

След посадки марсохода Opportunity на плато Меридиана, Марс

Посадочный след , также называемый посадочным эллипсом , представляет собой область неопределенности зоны посадки космического корабля на астрономическом теле. После входа в атмосферу точка посадки космического корабля будет зависеть от степени контроля (если таковой имеется), угла входа, массы входа, атмосферных условий и сопротивления. (Обратите внимание, что Луна и астероиды не имеют воздушных факторов.) Объединяя такие многочисленные переменные, можно смоделировать зону посадки космического корабля с определенной степенью точности. Моделируя вход в различных условиях, можно вычислить вероятный эллипс ; размер эллипса представляет степень неопределенности для заданного доверительного интервала . ^[1]

Математическое объяснение

Для создания посадочного контура космического корабля стандартным подходом является использование метода Монте-Карло для генерации распределений начальных условий входа и параметров атмосферы, решения уравнений движения при входе в атмосферу и каталогизации окончательной пары долгота / широта при приземлении . ^{[2] [3]} Обычно предполагается, что результирующее распределение мест посадки следует двумерному гауссовому распределению : ${\displaystyle (\lambda ,\phi )}$

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi {\sqrt {|\Sigma |}}}}\exp \left[-{\frac {1}{2}}(x-\mu )^{T}\Sigma ^{-1}(x-\mu )\right]}$

где:

• ${\displaystyle x=(\lambda ,\phi )}$вектор, содержащий пару долгота/широта
• ${\displaystyle \mu }$это ожидаемый вектор значений
• ${\displaystyle \Sigma }$это ковариационная матрица
• ${\displaystyle |\Sigma |}$обозначает определитель ковариационной матрицы

После оценки параметров с помощью численного моделирования можно рассчитать эллипс для процентиля . Известно, что для действительного вектора с многомерным гауссовым совместным распределением квадрат расстояния Махаланобиса имеет распределение хи-квадрат со степенями свободы: ${\displaystyle (\mu ,\Sigma )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle (x-\mu )^{T}\Sigma ^{-1}(x-\mu )\sim \chi _{n}^{2}}$

Это можно увидеть, определив вектор , который приводит к и является определением статистики хи-квадрат, используемой для построения результирующего распределения. Таким образом, для двумерного гауссовского распределения граница эллипса в заданном процентиле равна . Это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом , приводящее к уравнениям: ${\displaystyle z=\Sigma ^{-1/2}(x-\mu )}$ ${\displaystyle Q=z_{1}^{2}+\cdots +z_{n}^{2}}$ ${\displaystyle z^{T}z=\chi _{2}^{2}(p)}$ ${\displaystyle {\sqrt {\chi _{2}^{2}(p)}}}$

${\displaystyle z={\sqrt {\chi _{2}^{2}(p)}}{\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\Rightarrow x(\theta )=\mu +{\sqrt {\chi _{2}^{2}(p)}}\Sigma ^{1/2}{\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}}$

где - угол. Квадратный корень матрицы можно найти из разложения собственных значений ковариационной матрицы, откуда можно записать как: ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}$ ${\displaystyle \Sigma ^{1/2}}$ ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \Sigma =V\Lambda V^{T}\implies \Sigma ^{1/2}=V\Lambda ^{1/2}V^{T}}$

где собственные значения лежат на диагонали . Значения затем определяют посадочную поверхность для заданного уровня достоверности, который выражается через выбор процентиля. ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle x}$

Смотрите также

• Список посадочных эллипсов на внеземных телах
• посадка на Марс
• высадка на Луну

Ссылки

• Космический портал

1. Lakdawalla, Emily (13 мая 2008 г.). "Landing Ellipse". Планетарное общество . Получено 7 мая 2018 г.
2. Tooley, Jeff; Lyons, Daniel; Desai, Prasun; Wawrzyniak, Geoffrey (2006-08-21). "Stardust Entry: Landing and Population Hazards in Mission Planning and Operations". Конференция и выставка специалистов по астродинамике AIAA/AAS . Американский институт аэронавтики и астронавтики. doi :10.2514/6.2006-6412. hdl : 2060/20070022844 . ISBN 978-1-62410-048-2.
3. Голомбек, М.; Кипп, Д.; Уорнер, Н.; Добар, И.Дж.; Фергасон, Р.; Кирк, Р.Л.; Бейер, Р.; Уэртас, А.; Пике, С.; Путциг, NE; Кэмпбелл, BA; Морган, GA; Хараламбус, К.; Пайк, В.Т.; Гвиннер, К. (2017-10-01). «Выбор места посадки InSight». Space Science Reviews . 211 (1): 5–95. doi :10.1007/s11214-016-0321-9. ISSN  1572-9672.