Последовательность иррациональности

Быстрорастущая целочисленная последовательность

В математике последовательность положительных целых чисел a _n называется последовательностью иррациональности, если она обладает тем свойством, что для каждой последовательности x _n положительных целых чисел сумма ряда

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{n}x_{n}}}}$

существует (то есть сходится ) и является иррациональным числом . ^{[1] [2]} Проблема характеристики последовательностей иррациональности была поставлена ​​Полом Эрдешем и Эрнстом Г. Штраусом , которые первоначально назвали свойство быть последовательностью иррациональности «Свойством P». ^[3]

Примеры

Степени двойки, показатели которых являются степенями двойки , образуют последовательность иррациональности. Однако, хотя последовательность Сильвестра ${\displaystyle 2^{2^{n}}}$

2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, ...

(в котором каждое слагаемое на единицу больше, чем произведение всех предыдущих слагаемых) также растет в два раза экспоненциально , оно не образует последовательности иррациональности. Ибо, позволяя всем дает ${\displaystyle x_{n}=1}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{43}}+\cdots =1,}$

ряд, сходящийся к рациональному числу . Аналогично, факториалы , , не образуют последовательность иррациональности, поскольку последовательность, заданная для всех, приводит к ряду с рациональной суммой, ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle x_{n}=n+2}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)n!}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{144}}+\cdots =1.}$^[1]

Темпы роста

Чтобы любая последовательность a _n была последовательностью иррациональности, она должна расти с такой скоростью, чтобы

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log \log a_{n}}{n}}\geq \log 2}$. ^[4]

Сюда входят последовательности, которые растут со скоростью, превышающей двукратную экспоненциальную скорость, а также некоторые двукратно экспоненциальные последовательности, которые растут быстрее, чем степени степеней двойки. ^[1]

Каждая последовательность иррациональности должна расти достаточно быстро, чтобы

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{1/n}=\infty .}$

Однако неизвестно, существует ли такая последовательность, в которой наибольший общий делитель каждой пары слагаемых равен 1 (в отличие от степеней степеней двойки) и для которой

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{1/2^{n}}<\infty .}$^[5]

Связанные свойства

Аналогично последовательностям иррациональности, Ханчл (1996) определил трансцендентную последовательность как целочисленную последовательность a _n такую, что для каждой последовательности x _n положительных целых чисел сумма ряда

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{n}x_{n}}}}$

существует и является трансцендентным числом . ^[6]

Рекомендации

1. Гай, Ричард К. (2004), «Последовательности иррациональности E24», Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer-Verlag , стр. 346, ISBN 0-387-20860-7, Збл  1058.11001.
2. Эрдеш, П .; Грэм, Р.Л. (1980), Старые и новые проблемы и результаты комбинаторной теории чисел , Monographys de L'Enseignement Mathématique, vol. 28, Женева: Женевский университет L'Enseignement Mathématique, с. 128, МР  0592420.
3. Эрдеш, П. (1975), «Некоторые проблемы и результаты об иррациональности суммы бесконечных рядов» (PDF) , Journal of Mathematical Sciences , 10 : 1–7 (1976), MR  0539489.
4. Ханчл, Ярослав (1991), «Выражение действительных чисел с помощью бесконечных рядов», Acta Arithmetica , 59 (2): 97–104, doi : 10.4064/aa-59-2-97-104 , MR  1133951
5. Эрдеш, П. (1988), «Об иррациональности некоторых рядов: проблемы и результаты», Новые достижения в теории трансцендентности (Дарем, 1986) (PDF) , Кембридж: Cambridge Univ. Пресс, стр. 102–109, МР  0971997..
6. Ханчл, Ярослав (1996), «Трансцендентные последовательности», Mathematica Slovaca , 46 (2–3): 177–179, MR  1427003.