Парадокс множественных районов

Система голосования удовлетворяет критерию согласованности (также называемому критерием подкрепления ), если объединение двух наборов голосов, оба избирающих A над B , всегда приводит к объединенному электорату, который ранжирует A над B. ^[1] Это более сильная форма критерия участия . Системы, которые не соответствуют критерию согласованности (например, голосование по ранжированному выбору или методы Кондорсе ), подвержены парадоксу множественных округов , который допускает особенно вопиющий вид джерримендеринга : можно провести границы таким образом, что кандидат, победивший на общих выборах, не сможет победить даже в одном избирательном округе . ^[1]

Существует три варианта согласованности соединений:

Последовательность победителей: если два округа выбирают одного и того же победителя А , то А также побеждает в объединенном округе.
Согласованность рейтинга: если два округа ранжируют набор кандидатов совершенно одинаково, то объединенный округ возвращает тот же рейтинг всех кандидатов.
Последовательность оценок: если два разных округа присваивают кандидату одинаковую общую оценку , общая оценка кандидата все равно должна быть одинаковой.

Система голосования является последовательной по отношению к победителю, если и только если она является методом суммирования баллов; другими словами, это должна быть позиционная система голосования или голосование по баллам (включая одобрительное голосование ). ^[2]^[3]

Как показано ниже в разделе Кемени-Янга, то, пройдет ли система подкрепление, может зависеть от того, выберут ли выборы одного победителя или полный рейтинг кандидатов (иногда это называется согласованностью рейтинга): в некоторых методах два электората с одним и тем же победителем, но разными рейтингами могут, будучи сложены вместе, привести к другому победителю. Кемени-Янг — единственный метод Кондорсе, согласованный по рейтингу, и ни один метод Кондорсе не может быть согласованным по победителю. ^[3]

Примеры

Коупленд

Этот пример показывает, что метод Коупленда нарушает критерий согласованности. Предположим, что есть пять кандидатов A, B, C, D и E с 27 избирателями со следующими предпочтениями:

Теперь множество всех избирателей разделено на две группы у жирной линии. Избиратели за линией — это первая группа избирателей; остальные — это вторая группа избирателей.

Первая группа избирателей

Далее определяется победитель конкурса «Коупленд» для первой группы избирателей.

Результаты будут представлены в следующей таблице:

^ указывает избирателей, которые предпочли кандидата, указанного в заголовке столбца, кандидату, указанному в заголовке строки.
^ указывает избирателей, которые предпочли кандидата, указанного в заголовке строки, кандидату, указанному в заголовке столбца.

Результат : С голосами первой группы избирателей, A может победить трех из четырех оппонентов, тогда как ни один другой кандидат не победит против более чем двух оппонентов. Таким образом, A избирается победителем Copeland первой группой избирателей.

Вторая группа избирателей

Теперь определился победитель Коупленда для второй группы избирателей.

Результаты будут представлены в следующей таблице:

Результат : Принимая во внимание только голоса второй группы, снова, A может победить трех из четырех оппонентов, тогда как ни один другой кандидат не победит более чем у двух оппонентов. Таким образом, A избирается победителем Copeland второй группой избирателей.

Все избиратели

Наконец, определяется победитель Коупленда среди всех избирателей.

Результаты будут представлены в следующей таблице:

Результат : C — победитель Кондорсе, поэтому Коупленд выбирает C в качестве победителя.

Голосование по мгновенному второму туру

Этот пример показывает, что голосование с мгновенным повторением выборов нарушает критерий согласованности. Предположим, что есть три кандидата A, B и C и 23 избирателя со следующими предпочтениями:

Первая группа избирателей

Далее определяется победитель второго тура для первой группы избирателей.

У B всего 2 голоса, и он выбывает первым. Его голоса передаются A. Теперь у A 6 голосов, и он побеждает C с 4 голосами.

Результат : A побеждает C после того, как B выбывает.

Вторая группа избирателей

Теперь определяется победитель второго тура для второй группы избирателей.

У C меньше всего голосов, 3, и он выбывает. A получает от этого выгоду, забирая все голоса у C. Теперь, имея 7 голосов, A побеждает B с 6 голосами.

Результат : A побеждает B после того, как C выбывает.

Все избиратели

Наконец, определяется победитель второго тура среди всех избирателей.

У C наименьшее количество первых предпочтений, поэтому он выбывает первым, его голоса разделяются: 4 передаются B и 3 — A. Таким образом, B побеждает с 12 голосами против 11 голосов A.

Результат : B побеждает A после того, как C выбывает.

Заключение

A — победитель мгновенного второго тура в первой группе избирателей, а также во второй группе избирателей. Однако обе группы вместе выбирают B как победителя мгновенного второго тура. Таким образом, голосование мгновенного второго тура не соответствует критерию согласованности.

Метод Кемени-Янга

Этот пример показывает, что метод Кемени–Янга нарушает критерий согласованности. Предположим, что есть три кандидата A, B и C и 38 избирателей со следующими предпочтениями:

Первая группа избирателей

Далее определяется победитель по версии Кемени-Янга для первой группы избирателей.

Метод Кемени–Янга упорядочивает результаты попарных сравнений в следующей таблице:

Рейтинговые баллы всех возможных рейтингов следующие:

Результат : Рейтинг A > B > C имеет наивысший рейтинговый балл. Таким образом, A выигрывает, опережая B и C.

Вторая группа избирателей

Теперь определился победитель по версии Кемени-Янга для второй группы избирателей.

Метод Кемени–Янга упорядочивает результаты попарных сравнений в следующей таблице:

Рейтинговые баллы всех возможных рейтингов следующие:

Результат : Рейтинг A > C > B имеет самый высокий рейтинговый балл. Следовательно, A выигрывает, опережая C и B.

Все избиратели

Наконец, определяется победитель по версии Кемени-Янга среди всех избирателей.

Метод Кемени–Янга упорядочивает результаты попарных сравнений в следующей таблице:

Рейтинговые баллы всех возможных рейтингов следующие:

Результат : Рейтинг B > A > C имеет наивысший рейтинговый балл. Таким образом, B выигрывает, опережая A и C.

Заключение

A является победителем Кемени-Янга в первой группе избирателей, а также во второй группе избирателей. Однако обе группы вместе выбирают B победителем Кемени-Янга. Таким образом, метод Кемени-Янга не удовлетворяет критерию подкрепления.

Последовательность рейтинга

Метод Кемени-Янга удовлетворяет согласованности ранжирования; то есть, если электорат произвольно разделен на две части и отдельные выборы в каждой части приводят к выбору одного и того же ранга, выборы всего электората также выбирают этот ранг. Фактически, это единственный метод Кондорсе , который удовлетворяет согласованности ранжирования.

Неформальное доказательство

Оценка Кемени-Янга для рейтинга вычисляется путем суммирования количества парных сравнений в каждом бюллетене, которые соответствуют рейтингу . Таким образом, оценка Кемени-Янга для электората может быть вычислена путем разделения электората на непересекающиеся подмножества (с ), вычисления оценок Кемени-Янга для этих подмножеств и их сложения: ${\mathcal {R}}$ ${\mathcal {R}}$ $s_{V}({\mathcal {R}})$ $V$ $V=V_{1}\cup V_{2}$ $V_{1}\cap V_{2}=\emptyset$

{\text{(I)}}\quad s_{V}({\mathcal {R}})=s_{V_{1}}({\mathcal {R}})+s_{V_{2}}({\mathcal {R}})

Теперь рассмотрим выборы с электоратом . Предпосылка подкрепления — разделить электорат произвольно на две части , и в каждой части выбирается один и тот же рейтинг . Это означает, что оценка Кемени-Янга для рейтинга в каждом электорате больше, чем для любого другого рейтинга : $V$ $V=V_{1}\cup V_{2}$ ${\mathcal {R}}$ ${\mathcal {R}}$ ${\mathcal {R}}'$

{\begin{aligned}{\text{(II)}}\quad \forall {\mathcal {R}}':{}&s_{V_{1}}({\mathcal {R}})>s_{V_{1}}({\mathcal {R}}')\\{\text{(III)}}\quad \forall {\mathcal {R}}':{}&s_{V_{2}}({\mathcal {R}})>s_{V_{2}}({\mathcal {R}}')\end{aligned}}

Теперь необходимо показать, что показатель Кемени-Янга рейтинга по всему электорату выше, чем показатель Кемени-Янга любого другого рейтинга : ${\mathcal {R}}$ ${\mathcal {R}}'$

s_{V}({\mathcal {R}})\ {\stackrel {(I)}{=}}\ s_{V_{1}}({\mathcal {R}})+s_{V_{2}}({\mathcal {R}})\ {\stackrel {(II)}{>}}\ s_{V_{1}}({\mathcal {R}}')+s_{V_{2}}({\mathcal {R}})\ {\stackrel {(III)}{>}}\ s_{V_{1}}({\mathcal {R}}')+s_{V_{2}}({\mathcal {R}}')\ {\stackrel {(I)}{=}}\ s_{V}({\mathcal {R}}')\quad q.e.d.

Таким образом, метод Кемени-Янга является последовательным в отношении полных рейтингов.

Решение большинства

Этот пример показывает, что суждение большинства нарушает подкрепление. Предположим, что есть два кандидата A и B и 10 избирателей со следующими рейтингами:

Первая группа избирателей

Далее определяется победитель большинства голосов для первой группы избирателей.

Рейтинги будут отсортированы следующим образом:

Результат : С голосами первой группы избирателей, A имеет средний рейтинг «Отлично», а B имеет средний рейтинг «Удовлетворительно». Таким образом, A избирается победителем по решению большинства первой группы избирателей.

Вторая группа избирателей

Теперь определяется победитель большинства голосов для второй группы избирателей.

Рейтинги будут отсортированы следующим образом:

Результат : Принимая во внимание только голоса второй группы, A имеет средний рейтинг «удовлетворительно», а B — средний рейтинг «плохо». Таким образом, A избирается победителем по решению большинства второй группы избирателей.

Все избиратели

Наконец, определяется победитель по решению большинства голосов всех избирателей.

Рейтинги будут отсортированы следующим образом:

Медианные рейтинги для A и B оба "Fair". Поскольку есть ничья, рейтинги "Fair" удаляются из обоих, пока их медианы не станут разными. После удаления 20% рейтингов "Fair" из голосов каждого, отсортированные рейтинги теперь следующие:

Результат : Теперь медианная оценка A — «Плохо», а медианная оценка B — «Удовлетворительно». Таким образом, B избирается победителем по решению большинства.

Заключение

A — победитель большинства в первой группе избирателей, а также во второй группе избирателей. Однако обе группы вместе выбирают B как победителя большинства. Таким образом, большинство не соответствует критерию согласованности.

Ранжированные пары

Этот пример показывает, что метод ранжированных пар нарушает критерий согласованности. Предположим, что есть три кандидата A, B и C с 39 избирателями со следующими предпочтениями:

Первая группа избирателей

Далее определяется победитель рейтинга пар для первой группы голосующих.

Результаты будут представлены в следующей таблице:

Отсортированный список побед будет выглядеть так:

Результат : B > C и A > B фиксируются первыми (и C > A не может быть зафиксировано после этого), поэтому полный рейтинг выглядит так: A > B > C. Таким образом, победителем среди ранжированных пар первой группой избирателей избирается A.

Вторая группа избирателей

Теперь определяется победитель рейтинга пар для второй группы избирателей.

Результаты будут представлены в следующей таблице:

Отсортированный список побед будет выглядеть так:

Результат : Принимая во внимание только голоса второй группы, A > C и C > B фиксируются на первом месте (и B > A не может быть зафиксировано после этого), поэтому полный рейтинг выглядит так: A > C > B. Таким образом, A избирается победителем парного рейтинга второй группой избирателей.

Все избиратели

Наконец, определяется победитель среди всех проголосовавших пар.

Результаты будут представлены в следующей таблице:

Отсортированный список побед будет выглядеть так:

Результат : Теперь все три пары (A > C, B > C и B > A) можно заблокировать без цикла. Полный рейтинг: B > A > C. Таким образом, ранжированные пары выбирают победителем B , который является победителем по Кондорсе из-за отсутствия цикла.

Заключение

A — победитель ранжированных пар в первой группе избирателей, а также во второй группе избирателей. Однако обе группы вместе выбирают B в качестве победителя ранжированных пар. Таким образом, метод ранжированных пар не соответствует критерию согласованности.

Ссылки

^ Франческини, Фиоренцо; Майзано, Доменико А. (2022-06-01). «Анализ парадоксов в проектных решениях: случай парадокса «множества районов»». Международный журнал по интерактивному проектированию и производству (IJIDeM) . 16 (2): 677–689. doi : 10.1007/s12008-022-00860-x . ISSN 1955-2505.
^ Балинский, Мишель; Лараки, Рида (28 января 2011 г.). Решение большинства. Массачусетский технологический институт Пресс. doi : 10.7551/mitpress/9780262015134.001.0001. ISBN 978-0-262-01513-4.
^ ab Young, HP; Levenglick, A. (1978). "Последовательное расширение принципа выборов Кондорсе" (PDF) . SIAM Journal on Applied Mathematics . 35 (2): 285–300. doi :10.1137/0135023. ISSN 0036-1399. JSTOR 2100667.

^ Джон Х. Смит , «Агрегирование предпочтений при переменном электорате», Econometrica , т. 41 (1973), стр. 1027–1041.
^ DR Woodall , «Свойства правил преференциальных выборов», Voting questions , выпуск 3 (декабрь 1994 г.), стр. 8–15.
^ HP Young , «Функции оценки социального выбора», Журнал SIAM по прикладной математике, т. 28, № 4 (1975), стр. 824–838.