Постньютоновское расширение

Метод приближения в общей теории относительности

Схема пространства параметров компактных двойных систем с различными схемами аппроксимации и областями их применимости.

Пост-Минковский и пост-ньютоновский расширения

В общей теории относительности постньютоновские разложения ( ПН- разложения ) используются для нахождения приближенного решения уравнений поля Эйнштейна для метрического тензора . Приближения развернуты по малым параметрам, которые выражают порядки отклонений от закона всемирного тяготения Ньютона . Это позволяет делать аппроксимации уравнений Эйнштейна в случае слабых полей. Для повышения точности можно добавить члены более высокого порядка, но для сильных полей иногда предпочтительнее решать полные уравнения численно. Этот метод является общей чертой эффективных теорий поля . В пределе, когда малые параметры равны 0, постньютоновское расширение сводится к закону тяготения Ньютона.

Расширение в 1/ c 2

Постньютоновские приближения представляют собой разложения по малому параметру, который представляет собой отношение скорости материи, создающей гравитационное поле, к скорости света , которую в данном случае точнее называют скоростью гравитации . ^[1] В пределе, когда фундаментальная скорость гравитации становится бесконечной, постньютоновское расширение сводится к закону гравитации Ньютона . Систематическое исследование постньютоновских расширений в рамках гидродинамических приближений было развито Субраманьяном Чандрасекаром и его коллегами в 1960-х годах. ^{[2] [3] [4] [5] [6]}

Расширение за час

Другой подход заключается в разложении уравнений общей теории относительности в степенной ряд по отклонению метрики от ее значения в отсутствие гравитации .

${\displaystyle h_{\alpha \beta }=g_{\alpha \beta }-\eta _{\alpha \beta }\,.}$

Для этого необходимо выбрать систему координат, в которой собственные значения всех имеют абсолютные значения меньше 1. ${\displaystyle h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \gamma }\,}$

Например, если сделать один шаг за пределы линеаризованной гравитации , чтобы получить разложение во второй порядок по h :

${\displaystyle g^{\mu \nu }\approx \eta ^{\mu \nu }-\eta ^{\mu \alpha }h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \nu }+\eta ^{\mu \alpha }h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \gamma }h_{\gamma \delta }\eta ^{\delta \nu }\,.}$

${\displaystyle {\sqrt {-g}}\approx 1+{\tfrac {1}{2}}h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \alpha }+{\tfrac {1}{8}}h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \alpha }h_{\gamma \delta }\eta ^{\delta \gamma }-{\tfrac {1}{4}}h_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \gamma }h_{\gamma \delta }\eta ^{\delta \alpha }\,.}$

Разложения, основанные только на метрике, независимо от скорости, называются пост-Минковскими расширениями ( PM-разложениями ).

Использование

Первое использование ПН-разложения (до первого порядка) было сделано Альбертом Эйнштейном при расчете прецессии перигелия орбиты Меркурия . Сегодня расчет Эйнштейна признан распространенным примером применения ПН-разложений, решения общей релятивистской задачи двух тел , включающей излучение гравитационных волн .

Ньютоновская калибровка

В общем случае возмущенную метрику можно записать в виде ^[8]

${\displaystyle ds^{2}=a^{2}(\tau )\left[(1+2A)d\tau ^{2}-2B_{i}dx^{i}d\tau -\left(\delta _{ij}+h_{ij}\right)dx^{i}dx^{j}\right]}$

где , и – функции пространства и времени. можно разложить как ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle h_{ij}}$ ${\displaystyle h_{ij}}$

${\displaystyle h_{ij}=2C\delta _{ij}+\partial _{i}\partial _{j}E-{\frac {1}{3}}\delta _{ij}\Box ^{2}E+\partial _{i}{\hat {E}}_{j}+\partial _{j}{\hat {E}}_{i}+2{\tilde {E}}_{ij}}$

где – оператор Даламбера , – скаляр, – вектор и – бесследовый тензор. Тогда потенциалы Бардина определяются как ${\displaystyle \Box }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\hat {E}}_{i}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{ij}}$

${\displaystyle \Psi \equiv A+H(B-E'),+(B+E')',\quad \Phi \equiv -C-H(B-E')+{\frac {1}{3}}\Box E}$

где – постоянная Хаббла , а штрих обозначает дифференцирование по конформному времени . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \tau \,}$

Принимая (т.е. постановку и ), ньютоновская калибровка равна ${\displaystyle B=E=0}$ ${\displaystyle \Phi \equiv -C}$ ${\displaystyle \Psi \equiv A}$

${\displaystyle ds^{2}=a^{2}(\tau )\left[(1+2\Psi )d\tau ^{2}-(1-2\Phi )\delta _{ij}dx^{i}dx^{j}\right]\,}$.

Заметим, что в отсутствие анизотропного напряжения . ${\displaystyle \Phi =\Psi }$

Полезным нелинейным расширением этого являются нерелятивистские гравитационные поля .

Смотрите также

• Физический портал

• Координатные условия
• Уравнения Эйнштейна–Инфельда–Гоффмана.
• Линеаризованная гравитация
• Параметризованный постньютоновский формализм

Рекомендации

1. Копейкин, С. (2004). «Скорость гравитации в общей теории относительности и теоретическая интерпретация эксперимента по отклонению Юпитера». Классическая и квантовая гравитация . 21 (13): 3251–3286. arXiv : gr-qc/0310059 . Бибкод : 2004CQGra..21.3251K. дои : 10.1088/0264-9381/21/13/010. S2CID  13998000.
2. Чандрасекхар, С. (1965). «Постньютоновские уравнения гидродинамики в общей теории относительности». Астрофизический журнал . 142 : 1488. Бибкод : 1965ApJ...142.1488C. дои : 10.1086/148432.
3. Чандрасекхар, С. (1967). «Постньютоновское воздействие общей теории относительности на равновесие равномерно вращающихся тел. II. Деформированные фигуры сфероидов Маклорена». Астрофизический журнал . 147 : 334. Бибкод : 1967ApJ...147..334C. дои : 10.1086/149003.
4. Чандрасекхар, С. (1969). «Законы сохранения в общей теории относительности и в постньютоновских приближениях». Астрофизический журнал . 158 : 45. Бибкод : 1969ApJ...158...45C. дои : 10.1086/150170 .
5. Чандрасекхар, С .; Нутку, Ю. (1969). «Вторые постньютоновские уравнения гидродинамики в общей теории относительности». Релятивистская астрофизика . 86 : 55. Бибкод :1969ApJ...158...55C. дои : 10.1086/150171 .
6. Чандрасекхар, С .; Эспозито, ФП (1970). «2½-постньютоновские уравнения гидродинамики и реакции излучения в общей теории относительности». Астрофизический журнал . 160 : 153. Бибкод : 1970ApJ...160..153C. дои : 10.1086/150414 .
7. Берн, Цви; Чунг, Клиффорд; Ройбан, Раду; Шен, Цзя-Сянь; Солон Михаил П.; Цзэн, Мао (05 августа 2019 г.). «Динамика двоичной черной дыры из двойной копии и эффективной теории». Журнал физики высоких энергий . 2019 (10): 206. arXiv : 1908.01493 . Бибкод : 2019JHEP...10..206B. doi : 10.1007/JHEP10(2019)206. ISSN  1029-8479. S2CID  199442337.
8. «Космологическая теория возмущений» (PDF) . п. 83,86. Архивировано из оригинала (PDF) 26 августа 2016 г. Проверено 10 августа 2016 г.

Внешние ссылки

• «О движении частиц в общей теории относительности» А.Эйнштейна и Л.Инфельда. Архивировано 8 марта 2012 г. в Wayback Machine.
• Бланше, Люк (2014). «Гравитационное излучение постньютоновских источников и вдохновляющие компактные двойные системы». Живые обзоры в теории относительности . 17 (1): 2. arXiv : 1310.1528 . Бибкод : 2014LRR....17....2B. дои : 10.12942/lrr-2014-2. ПМЦ  5256563 . ПМИД  28179846.