постоянная Чигера

В римановой геометрии изопериметрическая константа Чигера компактного риманова многообразия M — это положительное действительное число h ( M ), определяемое через минимальную площадь гиперповерхности , которая делит M на две непересекающиеся части. В 1971 году Джефф Чигер доказал неравенство, связывающее первое нетривиальное собственное значение оператора Лапласа–Бельтрами на M с h ( M ). В 1982 году Питер Бузер доказал обратную версию этого неравенства, и эти два неравенства вместе иногда называют неравенством Чигера–Бузера . Эти неравенства оказали большое влияние не только на риманову геометрию и глобальный анализ , но также на теорию цепей Маркова и теорию графов , где они вдохновили на аналогичную константу Чигера графа и понятие проводимости .

Определение

Пусть M — n- мерное замкнутое риманово многообразие. Пусть V ( A ) обозначает объем n- мерного подмногообразия A , а S ( E ) обозначает n −1-мерный объем подмногообразия E (обычно называемый в этом контексте «площадью»). Изопериметрическая константа Чигера для M определяется как

${\displaystyle h(M)=\inf _{E}{\frac {S(E)}{\min(V(A),V(B))}},}$

где инфимум берется по всем гладким n −1-мерным подмногообразиям E многообразия M , которые делят его на два непересекающихся подмногообразия A и B. Изопериметрическая константа может быть определена более общо для некомпактных римановых многообразий конечного объема.

Неравенство Чигера

Джефф Чигер доказал ^[1] нижнюю границу для наименьшего положительного собственного значения лапласиана на M в терминах того, что сейчас называется изопериметрической константой Чигера h ( M ): ${\displaystyle {\lambda _{1}(M)}}$

${\displaystyle \lambda _{1}(M)\geq {\frac {h^{2}(M)}{4}}.}$

Это неравенство является оптимальным в следующем смысле: для любого h > 0, натурального числа k и ε > 0 существует двумерное риманово многообразие M с изопериметрической константой h ( M ) = h и такое, что k -е собственное значение лапласиана находится в пределах ε от границы Чигера. ^[2]

Неравенство Бузера

Питер Бузер доказал ^[3] верхнюю границу для наименьшего положительного собственного значения Лапласа на M в терминах изопериметрической константы Чигера h ( M ). Пусть M — n -мерное замкнутое риманово многообразие, кривизна Риччи которого ограничена снизу величиной −( n −1) a ² , где a ≥ 0. Тогда ${\displaystyle \lambda _{1}(M)}$

${\displaystyle \lambda _{1}(M)\leq 2a(n-1)h(M)+10h^{2}(M).}$

Смотрите также

• Константа Чигера (теория графов)
• Изопериметрическая задача
• Спектральный зазор

Примечания

1. Чигер 1971.
2. Бузер 1978.
3. Бузер 1982.

Ссылки

• Бузер, Питер (1978). «Über eine Ungleichung von Cheeger». Mathematische Zeitschrift (на немецком языке). 158 (3): 245–252. дои : 10.1007/BF01214795. ISSN  0025-5874.

• Бузер, Питер (1982). «Заметка об изопериметрической константе». Annales Scientifiques de l'École Normale Superieure . 15 (2): 213–230. дои : 10.24033/asens.1426. ISSN  0012-9593.

• Чигер, Джефф (1971). "Нижняя граница для наименьшего собственного значения лапласиана". Проблемы анализа: Симпозиум в честь Саломона Бохнера (PMS-31) . Princeton University Press. стр. 195–200. doi :10.1515/9781400869312-013. ISBN 978-1-4008-6931-2.