постоянная Лежандра

Константа пропорциональности плотности простых чисел

Первые 100 000 элементов последовательности a _n = log( n ) −  n / π ( n ) (красная линия), по-видимому, сходятся к значению около 1,08366 (синяя линия).

Более поздние элементы до 10 000 000 той же последовательности a _n = log( n ) −  n / π ( n ) (красная линия) по-видимому, постоянно меньше 1,08366 (синяя линия).

Константа Лежандра — это математическая константа , встречающаяся в формуле, построенной Адриеном-Мари Лежандром для аппроксимации поведения функции подсчета простых чисел . Значение, которое точно соответствует ее асимптотическому поведению , как теперь известно, равно 1. ${\displaystyle \pi (x)}$

Изучение имеющихся числовых данных для известных значений привело Лежандра к аппроксимирующей формуле. ${\displaystyle \pi (x)}$

В 1808 году Лежандр предложил формулу ( OEIS : A228211 ), дающую приближение с «весьма удовлетворительной точностью». ^{[1] [2]} $${\displaystyle y={\frac {x}{\log(x)-1.08366}},}$$ ${\displaystyle y=\pi (x)}$

Сегодня определяют действительную константу , с помощью которой решается уравнение , положив при условии, что этот предел существует. ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\log(x)-B}},}$$ $${\displaystyle B=\lim _{n\to \infty }\left(\log(n)-{n \over \pi (n)}\right),}$$

Теперь известно не только, что предел существует, но и то, что его значение равно 1, что несколько меньше значения Лежандра.1,08366 . Независимо от его точного значения, существование предела подразумевает теорему о простых числах . ${\displaystyle B}$

Пафнутий Чебышев доказал в 1849 году ^[3] , что если предел B существует, то он должен быть равен 1. Более простое доказательство дал Пинц в 1980 году ^[4].

Это непосредственное следствие теоремы о простых числах в точной форме с явной оценкой погрешности.

$${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty }$$

(для некоторой положительной константы a , где O (…) — это большая нотация O ), как доказал в 1899 году Шарль де ла Валле Пуссен ^[5] , что B действительно равно 1. (Теорема о простых числах была доказана в 1896 году независимо Жаком Адамаром ^[6] и ла Валле Пуссеном ^[7], но без какой-либо оценки вовлеченного члена ошибки).

Оценка до столь простого числа сделала термин «постоянная Лежандра» в основном имеющим лишь историческую ценность, поскольку его часто (технически неверно) используют для обозначения первой догадки Лежандра 1,08366...

Ссылки

1. Лежандр, А.-М. (1808). Эссе по теории чисел. Курьер. п. 394.
2. Рибенбойм, Пауло (2004). Маленькая книга больших простых чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 188. ISBN 0-387-20169-6.
3. Эдмунд Ландау . Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, стр. 17. Третье (исправленное) издание, два тома в одном, 1974 г., Челси, 1974 г.
4. Пинц, Янос (1980). «О формуле простых чисел Лежандра». The American Mathematical Monthly . 87 (9): 733–735. doi :10.2307/2321863. ISSN  0002-9890. JSTOR  2321863.
5. Ла Валле Пуссен, C. Mém. Куроннес Акад. Рой. Бельгика 59, 1–74, 1899 г.
6. Sur la Distribution des Zéros de la fonction et ses Consequences arithmétiques ${\displaystyle \zeta (s)}$ , Bulletin de la Société Mathématique de France, Vol. 24, 1896, стр. 199–220. Архивировано в Интернете 17 июля 2012 г., в Wayback Machine.
7. «Аналитические исследования по теории премьер-министров», Annales de la société scientifique de Bruxelles, vol. 20, 1896 г., стр. 183–256 и 281–361.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Постоянная Лежандра». Математический мир .