Постоянная функция

Тип математической функции

Постоянная функция y ( x ) = 4

В математике постоянная функция — это функция , (выходное) значение которой одинаково для каждого входного значения. ^{[1] [2] [3]} Например, функция y ( x ) = 4 является постоянной функцией, поскольку значение y ( x ) равно 4 независимо от входного значения x (см. изображение).

Основные свойства

Как действительная функция вещественного аргумента, постоянная функция имеет общий вид y ( x ) = c или просто y = c . ^[4]

Пример: функция y ( x ) = 2 или просто y = 2 — это конкретная постоянная функция, выходное значение которой равно c = 2 . Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел R . Образом этой функции является одноэлементный набор {2} . Независимая переменная x не появляется в правой части выражения функции, поэтому ее значение «подставляется пусто». А именно y (0) = 2 , y (−2,7) = 2 , y (π) = 2 и так далее. Независимо от того, какое значение x введено, на выходе будет 2 .

Реальный пример: магазин, в котором каждый товар продается по цене 1 доллар.

График постоянной функции y = c представляет собой горизонтальную линию на плоскости , проходящую через точку (0, c ) . ^[5]

В контексте многочлена от одной переменной x ненулевая постоянная функция является многочленом степени 0, и ее общая форма равна f ( x ) = c , где c не равно нулю. Эта функция не имеет точки пересечения с осью x , то есть не имеет корня (нуля) . С другой стороны, многочлен f ( x ) = 0 является тождественно нулевой функцией . Это (тривиальная) постоянная функция, и каждый x является корнем. Его график представляет собой ось x на плоскости. ^[6]

Постоянная функция — это четная функция , т. е. график постоянной функции симметричен относительно оси y .

В том контексте, в котором она определена, производная функции является мерой скорости изменения значений функции по отношению к изменению входных значений. Поскольку постоянная функция не меняется, ее производная равна 0. ^[7] Часто пишут: . Обратное также верно. А именно, если y ′( x ) = 0 для всех действительных чисел x , то y — постоянная функция. ^[8] ${\displaystyle (x\mapsto c)'=0}$

Пример: Учитывая постоянную функцию . Производная от y является тождественно нулевой функцией . ${\displaystyle y(x)=-{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle y'(x)=\left(x\mapsto -{\sqrt {2}}\right)'=0}$

Другие объекты недвижимости

Для функций между предварительно упорядоченными множествами постоянные функции одновременно сохраняют порядок и меняют порядок ; и наоборот, если f одновременно сохраняет порядок и меняет порядок, и если область определения f является решеткой , то f должен быть постоянным.

• Любая постоянная функция, область определения и кодомер которой являются одним и тем же множеством X, является левым нулем полного моноида преобразования на X , что означает, что она также идемпотентна .
• Он имеет нулевой наклон или уклон .
• Любая постоянная функция между топологическими пространствами непрерывна .
• Постоянная функция учитывает одноточечное множество , конечный объект в категории множеств . Это наблюдение играет важную роль в аксиоматизации теории множеств Ф. Уильямом Ловером , «Элементарной теории категорий множеств» (ETCS). ^[9]
• Для любого непустого X каждое множество Y изоморфно множеству постоянных функций в . Для любого X и каждого элемента y из Y существует единственная функция, такая что для всех . И наоборот, если функция удовлетворяет всем требованиям , она по определению является постоянной функцией. ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle {\tilde {y}}:X\to Y}$ ${\displaystyle {\tilde {y}}(x)=y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f(x)=f(x')}$ ${\displaystyle x,x'\in X}$ ${\displaystyle f}$
  • Как следствие, одноточечное множество является образующим в категории множеств.
  • Каждый набор канонически изоморфен функциональному набору или набору hom в категории множеств, где 1 — одноточечный набор. Из-за этого, а также из-за присоединения декартовых произведений и hom в категории множеств (так что существует канонический изоморфизм между функциями двух переменных и функциями одной переменной, имеющими значения в функциях другой (одной) переменной) категория множеств есть замкнутая моноидальная категория с декартовым произведением множеств в качестве тензорного произведения и одноточечным множеством в качестве тензорной единицы. В изоморфизмах, естественных в X , левые и правые униторы являются проекциями и упорядоченными парами и соответственно элементу , где – единственная точка в одноточечном множестве. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {hom} (1,X)}$ ${\displaystyle \operatorname {hom} (X\times Y,Z)\cong \operatorname {hom} (X(\operatorname {hom} (Y,Z))}$ ${\displaystyle \lambda :1\times X\cong X\cong X\times 1:\rho }$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle (*,x)}$ ${\displaystyle (x,*)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle *}$

Функция на связном множестве локально постоянна тогда и только тогда, когда она постоянна.

Рекомендации

1. Тантон, Джеймс (2005). Энциклопедия математики . Факты в архиве, Нью-Йорк. п. 94. ИСБН 0-8160-5124-0.
2. К.Клэпхэм, Дж.Николсон (2009). «Оксфордский краткий математический словарь, постоянная функция» (PDF) . Аддисон-Уэсли. п. 175 . Проверено 12 января 2014 г.
3. Вайсштейн, Эрик (1999). CRC Краткая математическая энциклопедия . CRC Press, Лондон. п. 313. ИСБН 0-8493-9640-9.
4. Вайсштейн, Эрик В. «Постоянная функция». mathworld.wolfram.com . Проверено 27 июля 2020 г.
5. Докинз, Пол (2007). «Колледж алгебры». Университет Ламара. п. 224 . Проверено 12 января 2014 г.
6. Картер, Джон А.; Куэвас, Гилберт Дж.; Холлидей, Берчи; Маркс, Дэниел; МакКлюр, Мелисса С. (2005). «1». Расширенные математические концепции - предварительное исчисление с приложениями, студенческое издание (1-е изд.). Glencoe/McGraw-Hill School Pub Co. p. 22. ISBN 978-0078682278.
7. Докинз, Пол (2007). «Производные доказательства». Университет Ламара . Проверено 12 января 2014 г.
8. «Нулевая производная подразумевает постоянную функцию» . Проверено 12 января 2014 г.
9. Ленстер, Том (27 июня 2011 г.). «Неофициальное введение в теорию топоса». arXiv : 1012,5647 [math.CT].

• Херрлих, Хорст и Стрекер, Джордж Э., Теория категорий , Heldermann Verlag (2007).

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Постоянная функция». Математический мир .
• «Постоянная функция». ПланетаМатематика .