В комплексном анализе , разделе математики , теорема Блоха описывает поведение голоморфных функций, определенных на единичном круге . Она дает нижнюю границу размера круга, в котором существует обратная голоморфная функция. Она названа в честь Андре Блоха .
Пусть f — голоморфная функция в единичном круге | z | ≤ 1, для которой
Теорема Блоха утверждает, что существует диск S ⊂ D, на котором f биголоморфна и f(S) содержит диск с радиусом 1/72.
Если f — голоморфная функция в единичном круге со свойством | f′ (0)| = 1, то пусть L f — радиус наибольшего круга, содержащегося в образе f .
Теорема Ландау утверждает, что существует константа L, определяемая как инфимум L f по всем таким функциям f , и что L больше константы Блоха L ≥ B .
Эта теорема названа в честь Эдмунда Ландау .
Теорема Блоха была вдохновлена следующей теоремой Жоржа Валирона :
Теорема. Если f — непостоянная целая функция, то существуют круги D произвольно большого радиуса и аналитические функции φ в D такие, что f (φ( z )) = z для z в D .
Теорема Блоха соответствует теореме Валирона через так называемый принцип Блоха .
Сначала докажем случай, когда f (0) = 0, f′ (0) = 1 и | f′ ( z )| ≤ 2 в единичном круге.
По интегральной формуле Коши имеем оценку
где γ — окружность радиуса r вокруг z , вращающаяся против часовой стрелки , и 0 < r < 1 − | z |.
По теореме Тейлора для каждого z в единичном круге существует 0 ≤ t ≤ 1 такое, что f ( z ) = z + z 2 f″ ( tz ) / 2.
Таким образом, если | z | = 1/3 и | w | < 1/6, то имеем
По теореме Руше область значений f содержит круг радиусом 1/6 вокруг точки 0.
Пусть D ( z 0 , r ) обозначает открытый диск радиуса r вокруг z 0 . Для аналитической функции g : D ( z 0 , r ) → C такой, что g ( z 0 ) ≠ 0, случай выше, примененный к ( g ( z 0 + rz ) − g ( z 0 )) / ( rg′ (0)) означает, что область значений g содержит D ( g ( z 0 ), | g′ (0)| r / 6).
В общем случае пусть f — аналитическая функция в единичном круге такая, что | f′ (0)| = 1, а z 0 = 0.
Повторяя этот аргумент, мы либо находим круг радиусом не менее 1/24 в диапазоне f , доказывая теорему, либо находим бесконечную последовательность ( z n ) такую, что | z n − z n −1 | < 1/2 n +1 и | f′ ( z n )| > 2| f′ ( z n −1 )|.
В последнем случае последовательность находится в D (0, 1/2), поэтому f′ неограничена в D (0, 1/2), противоречие.
В доказательстве теоремы Ландау выше теорема Руше подразумевает, что мы не только можем найти круг D радиуса не менее 1/24 в диапазоне f , но также существует малый круг D 0 внутри единичного круга такой, что для каждого w ∈ D существует единственный z ∈ D 0 с f ( z ) = w . Таким образом, f является биективной аналитической функцией из D 0 ∩ f −1 ( D ) в D , поэтому ее обратная φ также является аналитической по теореме об обратной функции .
Число B называется константой Блоха . Нижняя граница 1/72 в теореме Блоха не является наилучшей возможной. Теорема Блоха говорит нам, что B ≥ 1/72, но точное значение B до сих пор неизвестно.
Наиболее известные в настоящее время границы для B :
где Γ — гамма-функция . Нижняя граница была доказана Ченом и Готье, а верхняя граница восходит к Альфорсу и Грунскому.
Аналогично определяемая оптимальная константа L в теореме Ландау называется константой Ландау . Ее точное значение также неизвестно, но известно, что
В своей статье Альфорс и Грунски предположили , что их верхние границы на самом деле являются истинными значениями B и L.
Для инъективных голоморфных функций на единичном круге аналогичным образом можно определить константу A. Известно, что
