Потенциал скорости

Потенциал скорости — скалярный потенциал, используемый в теории потенциального потока . Он был введен Жозефом-Луи Лагранжем в 1788 году. ^[1]

Он используется в механике сплошной среды , когда сплошная среда занимает односвязную область и является безвихревой . В таком случае, где u обозначает скорость потока . В результате u можно представить как градиент скалярной функции ϕ : $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {u} =0\,,}$$ $${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \varphi \ ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\mathbf {k} \,.}$$

ϕ известен как потенциал скорости для u .

Потенциал скорости не является уникальным. Если ϕ — потенциал скорости, то ϕ + f ( t ) также является потенциалом скорости для u , где f ( t ) — скалярная функция времени и может быть константой. Потенциалы скорости являются уникальными с точностью до константы или функции исключительно временной переменной.

Лапласиан потенциала скорости равен дивергенции соответствующего потока. Следовательно, если потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа , поток несжимаем .

В отличие от функции тока потенциал скорости может существовать в трехмерном потоке.

Использование в акустике

В теоретической акустике ^[2] часто желательно работать с волновым уравнением акустического потенциала скорости ϕ вместо давления p и/или скорости частиц u . Решение волнового уравнения для поля p или поля u не обязательно дает простой ответ для другого поля. С другой стороны, когда ϕ решается для, не только u находится, как указано выше, но и p также легко находится — из (линеаризованного) уравнения Бернулли для безвихревого и нестационарного потока — как $${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=0}$$ $${\displaystyle p=-\rho {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\,.}$$

Смотрите также

• Вихревость
• Гамильтонова механика жидкости
• Потенциальный поток
• Потенциальный поток вокруг круглого цилиндра

Примечания

1. Андерсон, Джон (1998). История аэродинамики . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521669559.^{[ нужна страница ]}
2. Пирс, А.Д. (1994). Акустика: Введение в ее физические принципы и приложения . Акустическое общество Америки. ISBN 978-0883186121.^{[ нужна страница ]}

Внешние ссылки

• Интерактивное веб-приложение Joukowski Transform