Потенциал Льенара–Вихерта

Электромагнитное действие точечных зарядов

Потенциалы Льенара –Вихерта описывают классический электромагнитный эффект движущегося электрического точечного заряда в терминах векторного потенциала и скалярного потенциала в калибровке Лоренца . Вытекая непосредственно из уравнений Максвелла , они описывают полное, релятивистски правильное, изменяющееся во времени электромагнитное поле для точечного заряда в произвольном движении, но не скорректированы для квантово-механических эффектов. Электромагнитное излучение в форме волн может быть получено из этих потенциалов. Эти выражения были частично разработаны Альфредом-Мари Льенаром в 1898 году ^[1] и независимо Эмилем Вихертом в 1900 году. ^{[2] [3]}

Уравнения

Определение потенциалов Льенара – Вихерта.

Замедленное время определяется в контексте распределений зарядов и токов как

${\displaystyle t_{r}(\mathbf {r} ,\mathbf {r_{s}} ,t)=t-{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|,}$

где — точка наблюдения, а — наблюдаемая точка, подверженная изменениям исходных зарядов и токов. Для движущегося точечного заряда, заданная траектория которого — , больше не фиксирована, а становится функцией самого замедленного времени. Другими словами, следование траектории дает неявное уравнение ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{s}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {r_{s}} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {r_{s}} }$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle t_{r}=t-{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})|,}$

что дает запаздывающее время как функцию текущего времени (и заданной траектории): ${\displaystyle t_{r}}$

${\displaystyle t_{r}=t_{r}(\mathbf {r} ,t)}$.

Потенциалы Льенара–Вихерта (скалярное потенциальное поле) и (векторное потенциальное поле) для исходного точечного заряда в положении, движущемся со скоростью : ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{s}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{s}}$

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}}$

и

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}c}{4\pi }}\left({\frac {q{\boldsymbol {\beta }}_{s}}{(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}={\frac {{\boldsymbol {\beta }}_{s}(t_{r})}{c}}\varphi (\mathbf {r} ,t)}$

где:

• ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{s}(t)={\frac {\mathbf {v} _{s}(t)}{c}}}$скорость источника, выраженная в долях скорости света;
• ${\displaystyle {|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}$расстояние от источника;
• ${\displaystyle \mathbf {n} _{s}={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}}$— единичный вектор, указывающий в направлении от источника и,
• Символ означает, что величины в скобках следует оценивать в отложенное время . ${\displaystyle (\cdots )_{t_{r}}}$ ${\displaystyle t_{r}=t_{r}(\mathbf {r} ,t)}$

Это также можно записать ковариантным способом , где электромагнитный четырехпотенциал при равен: ^[4] ${\displaystyle X^{\mu }=(t,x,y,z)}$

${\displaystyle A^{\mu }(X)=-{\frac {\mu _{0}qc}{4\pi }}\left({\frac {U^{\mu }}{R_{\nu }U^{\nu }}}\right)_{t_{r}}}$

где и - положение источника, а - его четвертая скорость. ${\displaystyle R^{\mu }=X^{\mu }-R_{\rm {s}}^{\mu }}$ ${\displaystyle R_{\rm {s}}^{\mu }}$ ${\displaystyle U^{\mu }=dX^{\mu }/d\tau }$

Расчет поля

Мы можем рассчитать электрические и магнитные поля непосредственно из потенциалов, используя определения: и $${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$$

Расчет нетривиален и требует ряда шагов. Электрические и магнитные поля (в нековариантной форме): и где , и ( фактор Лоренца ). $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {q(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s})}{\gamma ^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|^{2}}}+{\frac {q\mathbf {n} _{s}\times {\big (}(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s})\times {\dot {{\boldsymbol {\beta }}_{s}}}{\big )}}{c(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {qc({\boldsymbol {\beta }}_{s}\times \mathbf {n} _{s})}{\gamma ^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|^{2}}}+{\frac {q\mathbf {n} _{s}\times {\Big (}\mathbf {n} _{s}\times {\big (}(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s})\times {\dot {{\boldsymbol {\beta }}_{s}}}{\big )}{\Big )}}{(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}={\frac {\mathbf {n} _{s}(t_{r})}{c}}\times \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)}$$ ${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}_{s}(t)={\frac {\mathbf {v} _{s}(t)}{c}}}$ ${\textstyle \mathbf {n} _{s}(t)={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t)|}}}$ ${\textstyle \gamma (t)={\frac {1}{\sqrt {1-|{\boldsymbol {\beta }}_{s}(t)|^{2}}}}}$

Обратите внимание, что часть первого члена электрического поля обновляет направление поля к мгновенному положению заряда, если он продолжает двигаться с постоянной скоростью . Этот член связан со «статической» частью электромагнитного поля заряда. ${\displaystyle \mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}}$ ${\displaystyle c{\boldsymbol {\beta }}_{s}}$

Второй член, который связан с электромагнитным излучением движущегося заряда, требует ускорения заряда , и если оно равно нулю, то значение этого члена равно нулю, и заряд не излучает (не испускает электромагнитное излучение). Этот член требует дополнительно, чтобы компонент ускорения заряда был в направлении, поперечном линии, соединяющей заряд и наблюдателя поля . Направление поля, связанного с этим излучающим членом, направлено к полностью запаздывающему во времени положению заряда (т. е. там, где заряд находился, когда он был ускорен). ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)}$

Вывод

Скалярный и векторный потенциалы удовлетворяют неоднородному уравнению электромагнитной волны , где источники выражаются через плотности заряда и тока , а закон Ампера-Максвелла имеет вид: ${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi +{{\partial } \over \partial t}\left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-{\rho \over \varepsilon _{0}}\,,}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A} \over \partial t^{2}}-\nabla \left({1 \over c^{2}}{{\partial \varphi } \over {\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\mu _{0}\mathbf {J} \,.}$$

Поскольку потенциалы не являются уникальными, но имеют калибровочную свободу, эти уравнения можно упростить с помощью фиксации калибровки . Обычным выбором является калибровочное условие Лоренца : $${\displaystyle {1 \over c^{2}}{{\partial \varphi } \over {\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} =0}$$

Тогда неоднородные волновые уравнения становятся несвязанными и симметричными по потенциалам: $${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\varphi \over \partial t^{2}}=-{\rho \over \varepsilon _{0}}\,,}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A} \over \partial t^{2}}=-\mu _{0}\mathbf {J} \,.}$$

В общем случае запаздывающие решения для скалярных и векторных потенциалов (единицы СИ) имеют вид и $${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r}')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r} '+\varphi _{0}(\mathbf {r} ,t)}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r}')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r} '+\mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} ,t)}$$

где - запаздывающее время и и удовлетворяют однородному волновому уравнению без источников и граничных условий. В случае, если нет границ, окружающих источники, то и . ${\textstyle t_{r}'=t-{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}$ ${\displaystyle \varphi _{0}(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \varphi _{0}(\mathbf {r} ,t)=0}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} ,t)=0}$

Для движущегося точечного заряда, траектория которого задается как функция времени , плотности заряда и тока следующие: ${\displaystyle \mathbf {r} _{s}(t')}$

$${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ',t')=q\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t'))}$$ $${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ',t')=q\mathbf {v} _{s}(t')\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t'))}$$

где — трехмерная дельта-функция Дирака , — скорость точечного заряда. ${\displaystyle \delta ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{s}(t')}$

Подстановка в выражения для потенциала дает $${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {q\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t_{r}'))}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r} '}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {q\mathbf {v} _{s}(t_{r}')\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t_{r}'))}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r} '}$$

Эти интегралы трудно оценить в их нынешнем виде, поэтому мы перепишем их, заменив на и проинтегрировав по дельта-распределению : ${\displaystyle t_{r}'}$ ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle \delta (t'-t_{r}')}$ $${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iint {\frac {q\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t'))}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\delta (t'-t_{r}')\,dt'\,d^{3}\mathbf {r} '}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iint {\frac {q\mathbf {v} _{s}(t')\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t'))}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\delta (t'-t_{r}')\,dt'\,d^{3}\mathbf {r} '}$$

Меняем порядок интегрирования: $${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iint {\frac {\delta (t'-t_{r}')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}q\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t'))\,d^{3}\mathbf {r} 'dt'}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iint {\frac {\delta (t'-t_{r}')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}q\mathbf {v} _{s}(t')\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t'))\,d^{3}\mathbf {r} 'dt'}$$

Функция дельта выбирает , что позволяет нам легко выполнить внутреннюю интеграцию. Обратите внимание, что является функцией , поэтому эта интеграция также исправляет . ${\displaystyle \mathbf {r} '=\mathbf {r} _{s}(t')}$ ${\displaystyle t_{r}'}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\textstyle t_{r}'=t-{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|}$ $${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int q{\frac {\delta (t'-t_{r}')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|}}dt'}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int q\mathbf {v} _{s}(t'){\frac {\delta (t'-t_{r}')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|}}\,dt'}$$

Запаздывающее время является функцией точки поля и траектории источника и, следовательно, зависит от . Таким образом, для оценки этого интеграла нам необходимо тождество , где каждое является нулем . Поскольку для любых заданных пространственно-временных координат и траектории источника существует только одно запаздывающее время , это сводится к: где и оцениваются в запаздывающее время , и мы использовали тождество с . Обратите внимание, что запаздывающее время является решением уравнения . Наконец, дельта-функция выбирает , и которые являются потенциалами Льенара–Вихерта. ${\displaystyle t_{r}'}$ ${\displaystyle (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{s}(t')}$ ${\displaystyle t'}$ $${\displaystyle \delta (f(t'))=\sum _{i}{\frac {\delta (t'-t_{i})}{|f'(t_{i})|}}}$$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t_{r}}$ ${\displaystyle (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{s}(t')}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta (t'-t_{r}')=&{\frac {\delta (t'-t_{r})}{{\frac {\partial }{\partial t'}}(t'-t_{r}')|_{t'=t_{r}}}}={\frac {\delta (t'-t_{r})}{{\frac {\partial }{\partial t'}}(t'-(t-{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|))|_{t'=t_{r}}}}\\&={\frac {\delta (t'-t_{r})}{1+{\frac {1}{c}}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t'))/|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|\cdot (-\mathbf {v} _{s}(t'))|_{t'=t_{r}}}}\\&={\frac {\delta (t'-t_{r})}{1-{\boldsymbol {\beta }}_{s}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s})/|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{s}=\mathbf {v} _{s}/c}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{s}}$ ${\displaystyle t_{r}}$ ${\displaystyle |\mathbf {x} |'={\hat {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {x} '}$ ${\displaystyle t_{r}}$ ${\textstyle t_{r}=t-{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})|}$ ${\displaystyle t'=t_{r}}$ $${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|(1-{\boldsymbol {\beta }}_{s}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s})/|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|)}}\right)_{t_{r}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {q\mathbf {v} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|(1-{\boldsymbol {\beta }}_{s}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s})/|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|)}}\right)_{t_{r}}={\frac {\mu _{0}c}{4\pi }}\left({\frac {q{\boldsymbol {\beta }}_{s}}{(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}}$$

Калибровка Лоренца, электрические и магнитные поля

Для вычисления производных и удобно сначала вычислить производные запаздывающего времени. Взяв производные обеих частей его определяющего уравнения (помня, что ): Дифференцируя по t, ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {r_{s}} =\mathbf {r_{s}} (t_{r})}$ $${\displaystyle t_{r}+{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |=t}$$ $${\displaystyle {\frac {dt_{r}}{dt}}+{\frac {1}{c}}{\frac {dt_{r}}{dt}}{\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt_{r}}}=1}$$

$${\displaystyle {\frac {dt_{r}}{dt}}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)=1}$$

$${\displaystyle {\frac {dt_{r}}{dt}}={\frac {1}{\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)}}}$$

Аналогично, взяв градиент относительно и используя правило многомерной цепи, получаем ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}t_{r}+{\frac {1}{c}}{\boldsymbol {\nabla }}|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |=0}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}t_{r}+{\frac {1}{c}}\left({\boldsymbol {\nabla }}t_{r}{\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt_{r}}}+\mathbf {n} _{s}\right)=0}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}t_{r}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)=-\mathbf {n} _{s}/c}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}t_{r}=-{\frac {\mathbf {n} _{s}/c}{\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)}}}$$

Из этого следует, что

$${\displaystyle {\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt}}={\frac {dt_{r}}{dt}}{\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt_{r}}}={\frac {-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}c}{\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)}}}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |={\boldsymbol {\nabla }}t_{r}{\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt_{r}}}+\mathbf {n} _{s}={\frac {\mathbf {n} _{s}}{\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)}}}$$

Их можно использовать при вычислении производных векторного потенциала, и результирующие выражения будут такими:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\varphi }{dt}}=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left[(|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})\right]\\=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left[|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right]\\=&-{\frac {qc}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\left[-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}+{\beta _{s}}^{2}-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right]\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} =&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{2}}}{\big (}{\boldsymbol {\nabla }}\left[\left(|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)\right]\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}-\left[\left(|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)\right]{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}{\big )}\\=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\cdot \\&\left[(\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})-{\beta }_{s}^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})-{\beta }_{s}^{2}\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}+\left((\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right)(\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})+{\big (}|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}{\big )}(\mathbf {n} _{s}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c)\right]\\=&{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\left[\beta _{s}^{2}-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right]\end{aligned}}}$$

Они показывают, что калибровка Лоренца выполняется, а именно, что . ${\textstyle {\frac {d\varphi }{dt}}+c^{2}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} =0}$

Аналогично вычисляется:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\varphi =-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\left[\mathbf {n} _{s}\left(1-{\beta _{s}}^{2}+(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right)-{\boldsymbol {\beta }}_{s}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})\right]}$$

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {A} }{dt}}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\left[{\boldsymbol {\beta }}_{s}\left(\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}-{\beta _{s}}^{2}+(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right)+|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |{\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})/c\right]}$$

Заметив, что для любых векторов , , : Выражение для электрического поля, упомянутое выше, становится равным, как легко видеть, ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$ $${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=&{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}}}\cdot \\&\left[\left(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)(1-{\beta _{s}}^{2})+|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|(\mathbf {n} _{s}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c)(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s})-|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|{\big (}\mathbf {n} _{s}\cdot (\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}){\big )}{\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right]\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle -{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -{\frac {d\mathbf {A} }{dt}}}$

Аналогично приводится выражение магнитного поля, упомянутое выше: Исходные члены , и должны быть оценены в запаздывающем времени. ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {B} }=&{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} \\[1ex]=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{2}}}{\big (}{\boldsymbol {\nabla }}\left[\left(|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)\right]\times {\boldsymbol {\beta }}_{s}-\left[\left(|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)\right]{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s}{\big )}\\=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\cdot \\&\qquad \left[(\mathbf {n} _{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s})-({\boldsymbol {\beta }}_{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s})(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})-{\beta }_{s}^{2}\mathbf {n} _{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s}+\left((\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right)(\mathbf {n} _{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s})+{\big (}|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}{\big )}(\mathbf {n} _{s}\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c)\right]\\=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}}}\cdot \\&\qquad \left[\left(\mathbf {n} _{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)(1-{\beta _{s}}^{2})+|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|(\mathbf {n} _{s}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c)(\mathbf {n} _{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s})+|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|{\big (}\mathbf {n} _{s}\cdot (\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}){\big )}\mathbf {n} _{s}\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right]\\[1ex]=&{\frac {\mathbf {n} _{s}}{c}}\times \mathbf {E} \end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{s}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} _{s}}$ ${\displaystyle \mathbf {\beta } _{s}}$

Подразумеваемое

Изучение классической электродинамики сыграло важную роль в развитии теории относительности Альбертом Эйнштейном . Анализ движения и распространения электромагнитных волн привел к описанию пространства и времени в специальной теории относительности . Формулировка Льенара–Вихерта является важной стартовой площадкой для более глубокого анализа релятивистских движущихся частиц.

Описание Лиенара–Вихерта является точным для большой, независимо движущейся частицы (т. е. трактовка является «классической», а ускорение заряда обусловлено силой, независимой от электромагнитного поля). Формулировка Лиенара–Вихерта всегда дает два набора решений: опережающие поля поглощаются зарядами, а запаздывающие поля излучаются. Шварцшильд и Фоккер рассматривали опережающее поле системы движущихся зарядов и запаздывающее поле системы зарядов, имеющих одинаковую геометрию и противоположные заряды. Линейность уравнений Максвелла в вакууме позволяет сложить обе системы, так что заряды исчезают: Этот трюк позволяет уравнениям Максвелла стать линейными в материи. Умножение электрических параметров обеих задач на произвольные действительные константы производит когерентное взаимодействие света с веществом, которое обобщает теорию Эйнштейна ^[5], которая в настоящее время рассматривается как основополагающая теория лазеров: не обязательно изучать большой набор идентичных молекул, чтобы получить когерентное усиление в режиме, полученном произвольным умножением опережающих и запаздывающих полей. Для вычисления энергии необходимо использовать абсолютные поля, которые включают поле нулевой точки; в противном случае возникает ошибка, например, при подсчете фотонов.

Важно учитывать поле нулевой точки, открытое Планком. ^[6] Оно заменяет коэффициент Эйнштейна "A" и объясняет, что классический электрон стабилен на классических орбитах Ридберга. Более того, введение флуктуаций поля нулевой точки приводит к поправке Уиллиса Э. Лэмба к уровням атома H.

Квантовая электродинамика помогла объединить радиационное поведение с квантовыми ограничениями. Она вводит квантование нормальных мод электромагнитного поля в предполагаемых идеальных оптических резонаторах.

Универсальное ограничение скорости

Сила, действующая на частицу в заданном месте r и времени t, сложным образом зависит от положения исходных частиц в более раннее время t _r из-за конечной скорости c , с которой распространяется электромагнитная информация. Частица на Земле «видит», что заряженная частица ускоряется на Луне, поскольку это ускорение произошло 1,5 секунды назад, и ускорение заряженной частицы на Солнце, поскольку это ускорение произошло 500 секунд назад. Это более раннее время, в которое происходит событие, так что частица в месте r «видит» это событие в более позднее время t, называется запаздывающим временем t _r . Запаздывающее время меняется в зависимости от положения ; например, запаздывающее время на Луне на 1,5 секунды опережает текущее время, а запаздывающее время на Солнце на 500 секунд опережает текущее время на Земле. Запаздывающее время t _r = t _r ( r , t ) определяется неявно как

${\displaystyle t_{r}=t-{\frac {R(t_{r})}{c}}}$

где - расстояние частицы от источника в запаздывающее время. Только эффекты электромагнитных волн полностью зависят от запаздывающего времени. ${\displaystyle R(t_{r})}$

Новая особенность потенциала Льенара–Вихерта видна в разбиении его членов на два типа полевых членов (см. ниже), только один из которых полностью зависит от запаздывающего времени. Первый из них — это статический электрический (или магнитный) член поля, который зависит только от расстояния до движущегося заряда и вообще не зависит от запаздывающего времени, если скорость источника постоянна. Другой член является динамическим, поскольку он требует, чтобы движущийся заряд ускорялся с компонентой, перпендикулярной линии, соединяющей заряд и наблюдателя, и не появляется, если источник не меняет скорость. Этот второй член связан с электромагнитным излучением.

Первый член описывает эффекты ближнего поля от заряда, и его направление в пространстве обновляется членом, который корректирует любое движение заряда с постоянной скоростью в его удаленном статическом поле, так что удаленное статическое поле появляется на расстоянии от заряда, без аберрации света или коррекции светового времени . Этот член, который корректирует задержки из-за запаздывания во времени в направлении статического поля, требуется инвариантностью Лоренца. Заряд, движущийся с постоянной скоростью, должен казаться удаленному наблюдателю точно таким же образом, как статический заряд кажется движущемуся наблюдателю, и в последнем случае направление статического поля должно меняться мгновенно, без задержки во времени. Таким образом, статические поля (первый член) указывают точно на истинное мгновенное (не запаздывающее) положение заряженного объекта, если его скорость не изменилась за запаздывающую задержку во времени. Это верно на любом расстоянии, разделяющем объекты.

Однако второй член, содержащий информацию об ускорении и другом уникальном поведении заряда, которое не может быть удалено путем изменения системы Лоренца (инерциальной системы отсчета наблюдателя), полностью зависит по направлению от запаздывающего во времени положения источника. Таким образом, электромагнитное излучение (описываемое вторым членом) всегда кажется исходящим из направления положения излучающего заряда в запаздывающее время . Только этот второй член описывает передачу информации о поведении заряда, которая происходит (излучается зарядом) со скоростью света. На «далеких» расстояниях (длиннее нескольких длин волн излучения) зависимость этого члена от 1/R делает эффекты электромагнитного поля (значение этого полевого члена) более мощными, чем эффекты «статического» поля, которые описываются полем 1/R ² первого (статического) члена и, таким образом, затухают быстрее с расстоянием от заряда.

Существование и уникальность замедленного времени

Существование

Замедленное время не гарантировано вообще. Например, если в данной системе отсчета электрон только что был создан, то в этот самый момент другой электрон еще не чувствует его электромагнитной силы вообще. Однако при определенных условиях всегда существует замедленное время. Например, если исходный заряд существовал неограниченное количество времени, в течение которого он всегда путешествовал со скоростью, не превышающей , то существует действительное замедленное время . Это можно увидеть, рассмотрев функцию . В настоящее время ; . Производная определяется как ${\displaystyle v_{M}<c}$ ${\displaystyle t_{r}}$ ${\displaystyle f(t')=|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|-c(t-t')}$ ${\displaystyle t'=t}$ ${\displaystyle f(t')=|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|-c(t-t')=|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|\geq 0}$ ${\displaystyle f'(t')}$

${\displaystyle f'(t')={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})|}}\cdot (-\mathbf {v} _{s}(t'))+c\geq c-\left|{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})|}}\right|\,|\mathbf {v} _{s}(t')|=c-|\mathbf {v} _{s}(t')|\geq c-v_{M}>0}$

По теореме о среднем значении , . Сделав достаточно большим, это может стать отрицательным, т. е . , в некоторый момент в прошлом, . По теореме о промежуточном значении , существует промежуточное с , определяющим уравнением запаздывающего времени. Интуитивно, по мере того как исходный заряд движется назад во времени, поперечное сечение его светового конуса в настоящее время расширяется быстрее, чем он может удаляться, поэтому в конечном итоге он должен достичь точки . Это не обязательно верно, если скорость исходного заряда может быть произвольно близкой к , т. е . , если для любой заданной скорости было некоторое время в прошлом, когда заряд двигался с этой скоростью. В этом случае поперечное сечение светового конуса в настоящее время приближается к точке, когда наблюдатель движется назад во времени, но не обязательно когда-либо достигает ее. ${\displaystyle f(t-\Delta t)\leq f(t)-f'(t)\Delta t\leq f(t)-(c-v_{M})\Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle f(t')<0}$ ${\displaystyle t_{r}}$ ${\displaystyle f(t_{r})=0}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle v<c}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

Уникальность

Для заданной точки и траектории точечного источника существует не более одного значения запаздывающего времени , т. е . одно значение такое, что . Это можно реализовать, предположив, что существует два запаздывающих времени и , причем . Тогда и . Вычитание дает неравенство треугольника . Если только , то это означает, что средняя скорость заряда между и равна , что невозможно. Интуитивная интерпретация состоит в том, что можно «увидеть» точечный источник только в одном месте/времени одновременно, если только он не перемещается по крайней мере со скоростью света в другое место. По мере того как источник движется вперед во времени, поперечное сечение его светового конуса в настоящее время сжимается быстрее, чем источник может приблизиться, поэтому он никогда не сможет снова пересечь точку. ${\displaystyle (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{s}(t')}$ ${\displaystyle t_{r}}$ ${\displaystyle t_{r}}$ ${\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})|=c(t-t_{r})}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$ ${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}$ ${\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{1})|=c(t-t_{1})}$ ${\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{2})|=c(t-t_{2})}$ $${\displaystyle c(t_{2}-t_{1})=|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{1})|-|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{2})|\leq |\mathbf {r} _{s}(t_{2})-\mathbf {r} _{s}(t_{1})|}$$ ${\displaystyle t_{2}=t_{1}}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$ ${\displaystyle |\mathbf {r} _{s}(t_{2})-\mathbf {r} _{s}(t_{1})|/(t_{2}-t_{1})\geq c}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

Вывод состоит в том, что при определенных условиях замедленное время существует и является уникальным.

Смотрите также

• Уравнения Максвелла, управляющие классическим электромагнетизмом
• Классический электромагнетизм для более широкой теории, окружающей этот анализ
• Релятивистский электромагнетизм
• Специальная теория относительности , которая была прямым следствием этих анализов
• Формула Ридберга для квантового описания электромагнитного излучения, обусловленного атомными орбитальными электронами
• Уравнения Ефименко
• формула Лармора
• Сила Абрахама–Лоренца
• Уравнение неоднородной электромагнитной волны
• Теория поглотителя Уилера-Фейнмана, также известная как симметричная по времени теория Уилера-Фейнмана
• Парадокс заряда в гравитационном поле
• Теория гравитации Уайтхеда

Ссылки

1. Льенар, А. (1898). «Электрический и магнитный чемпион производит концентрированный заряд в точке и аниме в движении». L’Éclairage Électrique . 16 (27, 28, 29): 5–14, 53–59, 106–112.
2. Вихерт, Э. (1901). «Электродинамические элементы». Аннален дер Физик . 309 (4): 667–689. Бибкод : 1901АнП...309..667Вт. дои : 10.1002/andp.19013090403.
3. Некоторые аспекты Эмиля Вихерта
4. Дэвид Тонг: Лекции по электромагнетизму, Лекция 5: 4.Электромагнетизм и теория относительности, Кембриджский университет
5. Эйнштейн, А. (1917). «Квантовая теория излучения». Physikalische Zeitschrift (на немецком языке). 18 : 121–128. Бибкод : 1917PhyZ...18..121E.
6. Планк, М. (1911). «Eine neue Strahlungshypothese». Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft (на немецком языке). 13 : 138–175.

Внешние ссылки

• Фейнмановские лекции по физике, том II, гл. 21: Решения уравнений Максвелла с токами и зарядами