Поток открытого канала

Тип потока жидкости в трубопроводе

В механике жидкости и гидравлике течение в открытом канале — это тип течения жидкости в трубопроводе со свободной поверхностью , известном как канал . ^{[1] [2]} Другой тип течения в трубопроводе — течение в трубе . Эти два типа течения во многом похожи, но отличаются в одном важном отношении: течение в открытом канале имеет свободную поверхность, тогда как течение в трубе ее не имеет, в результате чего в потоке доминирует гравитация, а не гидравлическое давление .

Канал проекта Central Arizona .

Классификации потока

Поток в открытом русле можно классифицировать и описывать различными способами на основе изменения глубины потока по отношению к времени и пространству. ^[3] Основные типы потока, рассматриваемые в гидравлике открытого русла:

• Время как критерий
  • Постоянный поток
    • Глубина потока не меняется со временем или ее можно считать постоянной в течение рассматриваемого временного интервала.
  • Неустойчивый поток
    • Глубина потока меняется со временем.
• Пространство как критерий
  • Равномерный поток
    • Глубина потока одинакова на каждом участке русла. Равномерный поток может быть устойчивым или неустойчивым, в зависимости от того, меняется ли глубина со временем (хотя неустойчивый равномерный поток встречается редко).
  • Разнообразный поток
    • Глубина потока меняется по длине русла. Технически переменный поток может быть как устойчивым, так и неустойчивым. Переменный поток может быть далее классифицирован как быстро или постепенно изменяющийся:
      • Быстроизменяющийся поток
        • Глубина резко меняется на сравнительно небольшом расстоянии. Быстро меняющийся поток известен как локальное явление. Примерами являются гидравлический прыжок и гидравлическое падение .
      • Постепенно изменяющийся поток
        • Глубина меняется на большом расстоянии.
  • Непрерывный поток
    • Расход постоянен на всем протяжении рассматриваемого русла. Это часто бывает при установившемся течении. Такое течение считается непрерывным и поэтому может быть описано с помощью уравнения неразрывности для установившегося непрерывного течения.
  • Пространственно-разнообразный поток
    • Сброс постоянного потока неравномерен вдоль русла. Это происходит, когда вода входит и/или выходит из русла по ходу течения. Примером потока, входящего в русло, может быть придорожный желоб. Примером потока, выходящего из русла, может быть оросительный канал. Этот поток можно описать с помощью уравнения непрерывности для постоянного нестационарного потока, которое требует учета эффекта времени и включает элемент времени в качестве переменной.

Состояния потока

Поведение потока в открытом канале регулируется эффектами вязкости и гравитации относительно инерционных сил потока. Поверхностное натяжение имеет незначительный вклад, но не играет достаточно значительной роли в большинстве случаев, чтобы быть определяющим фактором. Из-за наличия свободной поверхности гравитация, как правило, является наиболее значительным драйвером потока в открытом канале; поэтому отношение инерционных сил к гравитационным является наиболее важным безразмерным параметром. ^[4] Параметр известен как число Фруда и определяется как: где - средняя скорость, - характерный масштаб длины для глубины канала, а - ускорение свободного падения . В зависимости от эффекта вязкости относительно инерции, представленного числом Рейнольдса , поток может быть либо ламинарным , либо турбулентным , либо переходным . Однако, как правило, приемлемо предположить, что число Рейнольдса достаточно велико, чтобы вязкими силами можно было пренебречь. ^[4] $${\displaystyle {\text{Fr}}={U \over {\sqrt {gD}}}}$$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle g}$

Формулировка

Можно сформулировать уравнения, описывающие три закона сохранения для величин, которые полезны в потоке открытого канала: массы, импульса и энергии. Управляющие уравнения получаются в результате рассмотрения динамики векторного поля скорости потока с компонентами . В декартовых координатах эти компоненты соответствуют скорости потока по осям x, y и z соответственно. ${\displaystyle {\bf {v}}}$ ${\displaystyle {\bf {v}}={\begin{pmatrix}u&v&w\end{pmatrix}}^{T}}$

Для упрощения окончательного вида уравнений допустимо сделать несколько допущений:

1. Поток несжимаем (это не очень хорошее предположение для быстро меняющегося потока)
2. Число Рейнольдса достаточно велико, поэтому вязкой диффузией можно пренебречь.
3. Поток одномерен по оси x.

Уравнение непрерывности

Общее уравнение непрерывности , описывающее сохранение массы, принимает вид: где — плотность жидкости , а — оператор дивергенции . При предположении несжимаемого потока с постоянным контрольным объемом это уравнение имеет простое выражение . Однако возможно, что площадь поперечного сечения может изменяться как со временем, так и с пространством в канале. Если начать с интегральной формы уравнения непрерывности: можно разложить интеграл объема на поперечное сечение и длину, что приводит к виду: При предположении несжимаемого одномерного потока это уравнение становится: Отмечая, что и определяя объемный расход , уравнение сводится к: Наконец, это приводит к уравнению непрерывности для несжимаемого одномерного потока в открытом канале: $${\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})=0}$$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nabla \cdot ()}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \nabla \cdot {\bf {v}}=0}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle {d \over {dt}}\int _{V}\rho \;dV=-\int _{V}\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\;dV}$$ $${\displaystyle {d \over {dt}}\int _{x}\left(\int _{A}\rho \;dA\right)dx=-\int _{x}\left[\int _{A}\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\;dA\right]dx}$$ $${\displaystyle {d \over {dt}}\int _{x}\left(\int _{A}dA\right)dx=-\int _{x}{\partial \over {\partial x}}\left(\int _{A}u\;dA\right)dx}$$ ${\displaystyle \int _{A}dA=A}$ ${\displaystyle Q=\int _{A}u\;dA}$ $${\displaystyle \int _{x}{\partial A \over {\partial t}}\;dx=-\int _{x}{\partial Q \over {\partial x}}dx}$$

${\displaystyle {\partial A \over {\partial t}}+{\partial Q \over {\partial x}}=0}$

Уравнение импульса

Уравнение импульса для потока в открытом канале можно найти, исходя из несжимаемых уравнений Навье-Стокса  : где — давление , — кинематическая вязкость , — оператор Лапласа , — гравитационный потенциал . Применяя высокое число Рейнольдса и предположения о одномерном потоке, мы получаем уравнения: Второе уравнение подразумевает гидростатическое давление , где глубина канала — это разница между высотой свободной поверхности и дном канала . Подстановка в первое уравнение дает: где уклон дна канала . Чтобы учесть касательное напряжение вдоль берегов канала, мы можем определить силовой член следующим образом: где — касательное напряжение , а — гидравлический радиус . Определение наклона трения , способа количественной оценки потерь на трение, приводит к окончательной форме уравнения импульса: $${\displaystyle \overbrace {\underbrace {\partial {\bf {v}} \over {\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Local}}\\{\text{Change}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {{\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}} _{\text{Advection}}} ^{\text{Inertial Acceleration}}=-\underbrace {{1 \over {\rho }}\nabla p} _{\begin{smallmatrix}{\text{Pressure}}\\{\text{Gradient}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\nu \Delta {\bf {v}}} _{\text{Diffusion}}-\underbrace {\nabla \Phi } _{\text{Gravity}}+\underbrace {\bf {F}} _{\begin{smallmatrix}{\text{External}}\\{\text{Forces}}\end{smallmatrix}}}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Phi =gz}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}&=-{1 \over {\rho }}{\partial p \over {\partial x}}+F_{x}\\-{1 \over {\rho }}{\partial p \over {\partial z}}-g&=0\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle p=\rho g\zeta }$ ${\displaystyle \eta (t,x)=\zeta (t,x)-z_{b}(x)}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle z_{b}}$ $${\displaystyle {\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}+g{\partial \zeta \over {\partial x}}=F_{x}\implies {\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}+g{\partial \eta \over {\partial x}}-gS=F_{x}}$$ ${\displaystyle S=-dz_{b}/dx}$ $${\displaystyle F_{x}=-{1 \over {\rho }}{\tau \over {R}}}$$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S_{f}=\tau /\rho gR}$

${\displaystyle {\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}+g{\partial \eta \over {\partial x}}+g(S_{f}-S)=0}$

Уравнение энергии

Чтобы вывести уравнение энергии , обратите внимание, что член адвективного ускорения может быть разложен как: где - завихренность потока, а - евклидова норма . Это приводит к форме уравнения импульса, игнорирующей член внешних сил, заданной как: Взяв скалярное произведение с этим уравнением, получаем: Это уравнение было получено с помощью скалярного тройного произведения . Определим как плотность энергии : Отмечая, что не зависит от времени, приходим к уравнению: Предполагая, что плотность энергии не зависит от времени, а поток одномерен, приходим к упрощению: с - константа; это эквивалентно принципу Бернулли . Особый интерес для потока в открытом канале представляет удельная энергия , которая используется для вычисления гидравлического напора , который определяется как: ${\displaystyle {\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}}$ $${\displaystyle {\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}=\omega \times {\bf {v}}+{1 \over {2}}\nabla \|{\bf {v}}\|^{2}}$$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ $${\displaystyle {\partial {\bf {v}} \over {\partial t}}+\omega \times {\bf {v}}=-\nabla \left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}+{p \over {\rho }}+\Phi \right)}$$ ${\displaystyle {\bf {v}}}$ $${\displaystyle {\partial \over {\partial t}}\left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}\right)+{\bf {v}}\cdot \nabla \left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}+{p \over {\rho }}+\Phi \right)=0}$$ ${\displaystyle {\bf {v}}\cdot (\omega \times {\bf {v}})=0}$ ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle E=\underbrace {{1 \over {2}}\rho \|{\bf {v}}\|^{2}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Kinetic}}\\{\text{Energy}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\rho \Phi } _{\begin{smallmatrix}{\text{Potential}}\\{\text{Energy}}\end{smallmatrix}}}$$ ${\displaystyle \Phi }$ $${\displaystyle {\partial E \over {\partial t}}+{\bf {v}}\cdot \nabla (E+p)=0}$$ $${\displaystyle E+p=C}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle e=E/\rho g}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h&=e+{p \over {\rho g}}\\&={u^{2} \over {2g}}+z+{p \over {\gamma }}\end{aligned}}}$

с удельным весом . Однако реалистичные системы требуют добавления члена потери напора для учета рассеивания энергии из-за трения и турбулентности , которые были проигнорированы путем исключения члена внешних сил в уравнении импульса. ${\displaystyle \gamma =\rho g}$ ${\displaystyle h_{f}}$

Смотрите также

• HEC-РАН
• Поток
• Направления исследований
  • Вычислительная гидродинамика
  • Динамика жидкости
  • Гидравлика
  • Гидрология
• Типы течения жидкости
  • Ламинарный поток
  • Поток в трубе
  • Переходный поток
  • Турбулентный поток
• Свойства жидкости
  • Число Фруда
  • Число Рейнольдса
  • Вязкость
• Другие статьи по теме
  • Формула Шези
  • Уравнение Дарси-Вейсбаха
  • Гидравлический прыжок
  • формула Мэннинга
  • Уравнения Сен-Венана
  • Стандартный пошаговый метод

Ссылки

1. Chow, Ven Te (2008). Гидравлика открытого канала (PDF) . Колдуэлл, Нью-Джерси: The Blackburn Press. ISBN 978-1932846188.
2. Battjes, Jurjen A.; Labeur, Robert Jan (2017). Неустановившийся поток в открытых каналах. Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press. ISBN 9781316576878.
3. Джобсон, Харви Э.; Фрёлих, Дэвид К. (1988). Основные гидравлические принципы течения в открытом русле (PDF) . Рестон, Вирджиния: Геологическая служба США.
4. Sturm, Terry W. (2001). Open Channel Hydraulics (PDF) . Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill. стр. 2. ISBN 9780073397870.

Дальнейшее чтение

• Незу, Иехиса; Накагава, Хиродзи (1993). Турбулентность в потоках в открытом канале . Монография IAHR. Роттердам, Нидерланды: AA Balkema. ISBN 9789054101185 . 
• Syzmkiewicz, Romuald (2010). Численное моделирование в гидравлике открытого канала . Библиотека водных наук и технологий. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer. ISBN 9789048136735 . 

Внешние ссылки

• Заметки к лекциям в Калтехе :
  • Вывод уравнений течения в открытом русле
  • Профили поверхности для устойчивого руслового потока
• Поток открытого канала
• Концепции открытого русла потока
• Что такое гидравлический прыжок?
• Пример потока в открытом канале
• Моделирование турбулентных течений (стр. 26-38)