В математике нижняя огибающая или точечный минимум конечного набора функций — это точечный минимум функций, функция, значение которой в каждой точке является минимальным из значений функций в данном наборе. Понятие нижней огибающей можно распространить и на частичные функции , взяв минимум только среди функций, имеющих значения в точке. Верхняя огибающая или точечный максимум определяются симметрично. Для бесконечного набора функций те же понятия можно определить, используя инфимум вместо минимума и супремум вместо максимума. [1]
Для непрерывных функций из заданного класса нижняя или верхняя огибающая является кусочной функцией, части которой принадлежат одному классу. Для функций одной действительной переменной, графики которых имеют ограниченное число точек пересечения, сложность нижней или верхней огибающей может быть ограничена с помощью последовательностей Дэвенпорта–Шинцеля , и эти огибающие могут быть эффективно вычислены с помощью алгоритма «разделяй и властвуй» , который вычисляет, а затем объединяет огибающие подмножеств функций. [2]
Для выпуклых функций или квазивыпуклых функций верхняя огибающая снова выпуклая или квазивыпуклая. Нижняя огибающая не является, но может быть заменена нижней выпуклой огибающей, чтобы получить операцию, аналогичную нижней огибающей, которая сохраняет выпуклость. Верхняя и нижняя огибающие липшицевых функций сохраняют свойство быть липшицевыми. Однако операции нижней и верхней огибающей не обязательно сохраняют свойство быть непрерывной функцией . [3]