В математике почти -кольцо (также почти кольцо или почти кольцо ) — алгебраическая структура, похожая на кольцо , но удовлетворяющая меньшему количеству аксиом . Почти-кольца естественным образом возникают из функций на группах .
Множество N вместе с двумя бинарными операциями + (называемым сложением ) и ⋅ (называемым умножением ) называется (правым) почти-кольцом, если :
Аналогично, можно определить левое почти-кольцо , заменив правый дистрибутивный закон соответствующим левым дистрибутивным законом. В литературе встречаются как правые, так и левые почти-кольца; например, в книге Пильца [2] используются правые почти-кольца, а в книге Клея [3] — левые почти-кольца.
Непосредственным следствием этого одностороннего закона дистрибутивности является то, что верно, что 0⋅ x = 0, но не обязательно верно, что x ⋅0 = 0 для любого x из N. Другим непосредственным следствием является то, что (− x )⋅ y = −( x ⋅ y ) для любых x , y из N , но не обязательно, что x ⋅(− y ) = −( x ⋅ y ). Почти кольцо является rng тогда и только тогда, когда сложение коммутативно, а умножение также дистрибутивно относительно сложения слева . Если почти кольцо имеет мультипликативную единицу, то дистрибутивности с обеих сторон достаточно, и коммутативность сложения следует автоматически.
Пусть G — группа, записанная аддитивно, но не обязательно абелева , и пусть M ( G ) — множество { f | f : G → G } всех функций из G в G . На M ( G ) можно определить операцию сложения : если f , g из M ( G ), то отображение f + g из G в G задается формулой ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) для всех x из G . Тогда ( M ( G ), +) также является группой, которая абелева тогда и только тогда, когда G абелева. Взяв композицию отображений как произведение ⋅, M ( G ) становится почти кольцом.
Элемент 0 почти-кольца M ( G ) является нулевым отображением , т. е. отображением, которое переводит каждый элемент G в единичный элемент G. Аддитивное обратное − f для f в M ( G ) совпадает с естественным поточечным определением, то есть (− f )( x ) = −( f ( x )) для всех x в G .
Если G имеет по крайней мере два элемента, то M ( G ) не является кольцом, даже если G абелев. (Рассмотрим постоянное отображение g из G в фиксированный элемент g ≠ 0 из G ; тогда g ⋅0 = g ≠ 0 . ) Однако существует подмножество E ( G ) из M ( G ), состоящее из всех групповых эндоморфизмов G , то есть всех отображений f : G → G таких, что f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) для всех x , y из G . Если ( G , +) абелев, обе операции почти кольца на M ( G ) замкнуты на E ( G ), и ( E ( G ), +, ⋅) является кольцом. Если ( G , +) неабелев, E ( G ) в общем случае не замкнуто относительно операций почти кольца; но замыкание E ( G ) относительно операций почти кольца является почти кольцом.
Многие подмножества M ( G ) образуют интересные и полезные почти кольца. Например: [1]
Дополнительные примеры возникают, если группа имеет дополнительную структуру, например:
Каждое почти-кольцо изоморфно подпочти-кольцу M ( G ) для некоторого G .
Во многих приложениях используется подкласс ближних колец, известный как ближние поля ; о них см. статью о ближних полях.
Существуют различные применения собственных почти колец, т. е. тех, которые не являются ни кольцами, ни ближними полями.
Наиболее известным является сбалансированный неполный блок-дизайн [2] с использованием плоских почти колец. Это способ получения разностных семейств с использованием орбит группы автоморфизмов без неподвижных точек группы. Джеймс Р. Клей и другие распространили эти идеи на более общие геометрические конструкции. [3]