Теорема Карно (термодинамика)

Максимально достижимая эффективность любого теплового двигателя

Теорема Карно , также называемая правилом Карно , — принцип термодинамики , разработанный Николя Леонаром Сади Карно в 1824 году, который определяет пределы максимальной эффективности , которую может получить любой тепловой двигатель .

Теорема Карно утверждает, что все тепловые машины, работающие между одними и теми же двумя термическими или тепловыми резервуарами, не могут иметь КПД, больший, чем обратимая тепловая машина, работающая между теми же резервуарами. Следствием этой теоремы является то, что каждая обратимая тепловая машина, работающая между парой тепловых резервуаров, одинаково эффективна, независимо от используемого рабочего вещества или деталей работы. Поскольку тепловая машина Карно также является обратимой, КПД всех обратимых тепловых машин определяется как КПД тепловой машины Карно, который зависит исключительно от температур ее горячего и холодного резервуаров.

Максимальный КПД (т.е. КПД тепловой машины Карно) тепловой машины, работающей между горячими и холодными резервуарами, обозначаемый как H и C соответственно, представляет собой отношение разницы температур между резервуарами к температуре горячего резервуара, выраженное в уравнении

${\displaystyle \eta _{\text{max}}={\frac {T_{\mathrm {H} }-T_{\mathrm {C} }}{T_{\mathrm {H} }}},}$

где ⁠ ⁠ ${\displaystyle T_{\mathrm {H} }}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle T_{\mathrm {C} }}$ — абсолютные температуры горячего и холодного резервуаров соответственно, а КПД ⁠ ⁠ ${\displaystyle \eta }$ — это отношение работы, выполненной двигателем (в окружающую среду ), к теплу, отданному из горячего резервуара (в двигатель).

⁠ ⁠ ${\displaystyle \eta _{\text{max}}}$ больше нуля тогда и только тогда, когда между двумя тепловыми резервуарами существует разница температур. Поскольку ⁠ ⁠ ${\displaystyle \eta _{\text{max}}}$ является верхним пределом всех обратимых и необратимых КПД теплового двигателя, делается вывод, что работа теплового двигателя может быть произведена тогда и только тогда, когда между двумя тепловыми резервуарами, подключенными к двигателю, существует разница температур.

Теорема Карно является следствием второго закона термодинамики . Исторически она основывалась на современной теории теплорода и предшествовала установлению второго закона. ^[1]

Доказательство

Невозможная ситуация: Тепловая машина не может управлять менее эффективной обратимой тепловой машиной, не нарушая второго закона термодинамики. Величины на этом рисунке являются абсолютными значениями передачи энергии (тепла и работы).

Доказательство теоремы Карно — это доказательство от противного или сведение к абсурду (метод доказательства утверждения путем предположения его ложности и логического вывода ложного или противоречивого утверждения из этого предположения), основанное на ситуации, подобной правой фигуре, где два тепловых двигателя с разной эффективностью работают между двумя тепловыми резервуарами при разной температуре. Относительно более горячий резервуар называется горячим резервуаром, а другой резервуар называется холодным резервуаром. Тепловой двигатель (не обязательно обратимым ) с большей эффективностью приводит в действие обратимую тепловую машину с меньшей эффективностью , заставляя последнюю действовать как тепловой насос . Требование, чтобы двигатель был обратимым, необходимо для объяснения работы и тепла, связанных с ним, с использованием его известной эффективности. Однако, поскольку , чистый поток тепла будет направлен в обратном направлении, т. е. в горячий резервуар: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \eta _{_{M}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \eta _{_{L}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \eta _{_{M}}>\eta _{_{L}}}$

${\displaystyle Q_{\text{h}}^{\text{out}}=Q<{\frac {\eta _{_{M}}}{\eta _{_{L}}}}Q=Q_{\text{h}}^{\text{in}},}$

где представляет тепло, обозначает вход в объект, для выхода из объекта и для горячего теплового резервуара. Если тепло течет из горячего резервуара, то оно имеет знак +, а если течет из горячего резервуара, то оно имеет знак -. Это выражение можно легко вывести, используя определение эффективности теплового двигателя, , где работа и тепло в этом выражении являются чистыми количествами за цикл двигателя, и сохранение энергии для каждого двигателя, как показано ниже. Соглашение о знаках работы , при котором знак + используется для работы, выполняемой двигателем в его окружении. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\text{in}}}$ ${\displaystyle {\text{out}}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle Q_{\text{h}}^{\text{out}}}$ ${\displaystyle Q_{\text{h}}^{\text{in}}}$ ${\displaystyle \eta =W/Q_{\text{h}}^{\text{in}}}$ ${\displaystyle W}$

Вышеприведенное выражение означает, что тепло в горячий резервуар от пары двигателей (можно рассматривать как один двигатель) больше, чем тепло в пару двигателей от горячего резервуара (т.е. горячий резервуар непрерывно получает энергию). Обратимый тепловой двигатель с низким КПД поставляет больше тепла (энергии) в горячий резервуар для заданного количества работы (энергии) этого двигателя, когда он приводится в действие как тепловой насос. Все это означает, что тепло может передаваться из холодных мест в горячие без внешней работы, и такая передача тепла невозможна по второму закону термодинамики .

• Может показаться странным, что гипотетический обратимый тепловой насос с низким КПД используется для нарушения второго закона термодинамики, но показателем качества холодильных установок является не КПД , а коэффициент полезного действия (КПД) ^[2] , который имеет знак, противоположный указанному выше (+ для работы, выполненной двигателем). ${\displaystyle W/Q_{\text{h}}^{\text{out}}}$ ${\displaystyle Q_{\text{c}}^{\text{out}}/W}$ ${\displaystyle W}$

Найдем значения работы и теплоты, изображенные на правом рисунке, на котором обратимая тепловая машина с меньшим КПД приводится в действие как тепловой насос тепловой машиной с большим КПД . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \eta _{_{L}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \eta _{_{M}}}$

Определение эффективности дается для каждого двигателя и можно составить следующие выражения: ${\displaystyle \eta =W/Q_{\text{h}}^{\text{out}}}$

${\displaystyle \eta _{M}={\frac {W_{M}}{Q_{\text{h}}^{{\text{out}},M}}}={\frac {\eta _{M}Q}{Q}}=\eta _{M},}$

${\displaystyle \eta _{L}={\frac {W_{L}}{Q_{\text{h}}^{{\text{out}},L}}}={\frac {-\eta _{M}Q}{-{\frac {\eta _{M}}{\eta _{L}}}Q}}=\eta _{L}.}$

Знаменатель второго выражения, , введен для того, чтобы выражение было последовательным, и он помогает заполнить значения работы и теплоты для двигателя . ${\displaystyle Q_{\text{h}}^{{\text{out}},L}=-{\frac {\eta _{M}}{\eta _{L}}}Q}$ ${\displaystyle L}$

Для каждого двигателя абсолютное значение энергии, поступающей в двигатель, , должно быть равно абсолютному значению энергии, выходящей из двигателя, . В противном случае энергия непрерывно накапливается в двигателе или нарушается закон сохранения энергии, так как из двигателя отбирается больше энергии, чем поступает в двигатель: ${\displaystyle E_{\text{abs}}^{\text{in}}}$ ${\displaystyle E_{\text{abs}}^{\text{out}}}$

${\displaystyle E_{\text{M,abs}}^{\text{in}}=Q=(1-\eta _{M})Q+\eta _{M}Q=E_{\text{M,abs}}^{\text{out}},}$

${\displaystyle E_{\text{L,abs}}^{\text{in}}=\eta _{M}Q+\eta _{M}Q\left({\frac {1}{\eta _{L}}}-1\right)={\frac {\eta _{M}}{\eta _{L}}}Q=E_{\text{L,abs}}^{\text{out}}.}$

Во втором выражении используется для нахождения члена, описывающего количество теплоты, взятое из холодного резервуара, дополняя выражения абсолютных значений работы и теплоты на правой диаграмме. ${\textstyle \left|Q_{\text{h}}^{{\text{out}},L}\right|=\left|-{\frac {\eta _{M}}{\eta _{L}}}Q\right|}$ ${\textstyle \eta _{M}Q\left({\frac {1}{\eta _{L}}}-1\right)}$

Установив, что правильные значения цифр верны, теорему Карно можно доказать для необратимых и обратимых тепловых двигателей, как показано ниже. ^[3]

Реверсивные двигатели

Чтобы увидеть, что каждый обратимый двигатель, работающий между резервуарами при температурах и должен иметь одинаковую эффективность, предположим, что два обратимых тепловых двигателя имеют разную эффективность, и пусть относительно более эффективный двигатель приводит в действие относительно менее эффективный двигатель в качестве теплового насоса. Как показано на правом рисунке, это приведет к тому, что тепло будет перетекать из холодного резервуара в горячий без внешней работы, что нарушает второй закон термодинамики. Следовательно, оба (обратимых) тепловых двигателя имеют одинаковую эффективность, и мы заключаем, что: ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$

Все обратимые тепловые двигатели, работающие между одними и теми же двумя термическими ( тепловыми ) резервуарами, имеют одинаковую эффективность.

Эффективность обратимой тепловой машины можно определить, проанализировав тепловую машину Карно как одну из обратимых тепловых машин.

Этот вывод является важным результатом, поскольку он помогает установить теорему Клаузиуса , которая подразумевает, что изменение энтропии является уникальным для всех обратимых процессов: ^[4] ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \Delta S=\int _{a}^{b}{\frac {dQ_{\text{rev}}}{T}}}$

поскольку изменение энтропии, которое происходит при переходе из состояния термодинамического равновесия в состояние в пространстве VT (объем-температура), одинаково для всех обратимых путей процесса между этими двумя состояниями. Если бы этот интеграл не был независимым от пути, то энтропия не была бы переменной состояния . ^[5] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Необратимые двигатели

Рассмотрим два двигателя, и , которые являются необратимыми и обратимыми соответственно. Мы строим машину, показанную на правом рисунке, с приводом в качестве теплового насоса. Тогда, если эффективнее, чем , машина нарушит второй закон термодинамики. Поскольку тепловая машина Карно является обратимой тепловой машиной, а все обратимые тепловые машины работают с одинаковой эффективностью между одними и теми же резервуарами, мы имеем первую часть теоремы Карно: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$

Ни одна необратимая тепловая машина не является более эффективной, чем тепловая машина Карно, работающая между теми же двумя тепловыми резервуарами.

Определение термодинамической температуры

Эффективность теплового двигателя — это работа, выполненная двигателем, деленная на количество тепла, подводимого к двигателю за один цикл двигателя или

где — работа, выполненная двигателем, — тепло, отданное в холодный резервуар от двигателя, — тепло, отданное в двигатель от горячего резервуара, за цикл. Таким образом, эффективность зависит только от . ^[6] ${\displaystyle w_{\text{cy}}}$ ${\displaystyle q_{C}}$ ${\displaystyle q_{H}}$ ${\displaystyle {\frac {q_{C}}{q_{H}}}}$

Поскольку все обратимые тепловые двигатели, работающие в диапазоне температур , должны иметь одинаковую эффективность, эффективность обратимого теплового двигателя является функцией только двух температур резервуара: ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$

Кроме того, обратимая тепловая машина, работающая между температурами и должна иметь такую ​​же эффективность, как и машина, состоящая из двух циклов, один из которых находится между и другой (промежуточной) температурой , а второй находится между и ( ). Это может быть только в том случае, если ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{3}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{3}}$ ${\displaystyle T_{1}<T_{2}<T_{3}}$

Специализируясь на случае фиксированной опорной температуры: температура тройной точки воды равна 273,16. (Разумеется, можно использовать любую опорную температуру и любое положительное числовое значение — выбор здесь соответствует шкале Кельвина .) Тогда для любых и , ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{3}}$

${\displaystyle f(T_{2},T_{3})={\frac {f(T_{1},T_{3})}{f(T_{1},T_{2})}}={\frac {273.16\cdot f(T_{1},T_{3})}{273.16\cdot f(T_{1},T_{2})}}.}$

Поэтому, если термодинамическая температура определяется как

${\displaystyle T'=273.16\cdot f(T_{1},T),}$

тогда функция, рассматриваемая как функция термодинамической температуры, равна

${\displaystyle f(T_{2},T_{3})={\frac {T_{3}'}{T_{2}'}}.}$

Из этого сразу следует, что

Подстановка этого уравнения обратно в приведенное выше уравнение дает соотношение для эффективности с точки зрения термодинамических температур: ${\displaystyle {\frac {q_{C}}{q_{H}}}=f(T_{H},T_{C})}$

Применимость к топливным элементам

Поскольку топливные элементы могут генерировать полезную мощность, когда все компоненты системы находятся при одинаковой температуре ( ), они явно не ограничены теоремой Карно, которая гласит, что никакая мощность не может быть сгенерирована, когда . Это происходит потому, что теорема Карно применима к двигателям, преобразующим тепловую энергию в работу, тогда как топливные элементы вместо этого преобразуют химическую энергию в работу. ^[7] Тем не менее, второй закон термодинамики все еще накладывает ограничения на преобразование энергии топливных элементов. ^[8] ${\displaystyle T=T_{H}=T_{C}}$ ${\displaystyle T_{H}=T_{C}}$

Батарея Карно — это тип системы хранения энергии, которая хранит электроэнергию в тепловом накопителе и преобразует накопленное тепло обратно в электричество посредством термодинамических циклов. ^[9]

Смотрите также

• Эффективность Чамбадала–Новикова
• Пределы эффективности нагрева и охлаждения

Ссылки

1. Джон Мюррелл (2009). "Очень краткая история термодинамики" . Получено 2 мая 2014 г.Архивная копия в Интернет-архиве  PDF (142 Архивировано 22 ноября 2009 г. в Wayback Machine KB)
2. Типлер, Пол; Моска, Г. (2008). "19.2, 19.7". Физика для ученых и инженеров (6-е изд.). Freeman. ISBN 9781429201322.
3. "Лекция 10: Теорема Карно" (PDF) . 7 февраля 2005 г. . Получено 5 октября 2010 г. .
4. Оганян, Ганс (1994). Принципы физики . WW Norton and Co. стр. 438. ISBN 039395773X.
5. http://faculty.wwu.edu/vawter/PhysicsNet/Topics/ThermLaw2/ThermalProcesses.html Архивировано 28.12.2013 на Wayback Machine и http://www.itp.phys.ethz.ch/education/hs10/stat/slides/Laws_TD.pdf Архивировано 13.12.2013 на Wayback Machine . Оба извлечены 13 декабря 2013 г.
6. Знак q _C > 0 для тепла, теряемого системой, нарушает правило знаков тепла .
7. "КПД топливного элемента и КПД Карно" . Получено 20 февраля 2011 г. .
8. Jacob, Kallarackel T; Jain, Saurabh (июль 2005 г.). Эффективность топливных элементов переопределена: предел Карно переоценен. Q1 - Девятый международный симпозиум по твердооксидным топливным элементам (SOFC IX). США. Архивировано из оригинала 2016-03-04 . Получено 2013-04-23 .
9. Дюмон, Оливье; Фрате, Гвидо Франческо; Пиллаи, Адитья; Лекомпт, Стивен; Депаепе, Мишель; Леморт, Винсент (2020). «Технология батарей Карно: обзор современного состояния». Журнал хранения энергии . 32 : 101756. doi : 10.1016/j.est.2020.101756. hdl : 2268/251473 . ISSN  2352-152X. S2CID  225019981.