Правило знаков Декарта

Подсчет действительных корней полинома на основе коэффициентов

В математике правило знаков Декарта , описанное Рене Декартом в его «Геометрии» , подсчитывает корни многочлена , исследуя изменения знака в его коэффициентах. Количество положительных действительных корней не больше количества изменений знака в последовательности коэффициентов многочлена (исключая нулевые коэффициенты), а разница между количеством корней и количеством изменений знака всегда четная. В частности, когда количество изменений знака равно нулю или единице, то существует ровно ноль или один положительный корень.

Линейное дробное преобразование переменной позволяет использовать правило знаков для подсчета корней в любом интервале. Это основная идея теоремы Будана и теоремы Будана–Фурье . Повторное деление интервала на два приводит к набору непересекающихся интервалов, каждый из которых содержит один корень, а вместе перечисляет все корни. Этот подход используется в самых быстрых сегодня алгоритмах для компьютерного вычисления действительных корней многочленов (см. изоляция действительных корней ).

Сам Декарт использовал преобразование x → − x для использования своего правила получения информации о количестве отрицательных корней.

Правило знаков Декарта

Положительные корни

Правило гласит, что если ненулевые члены полинома с одной переменной и действительными коэффициентами упорядочены по убыванию переменной экспоненты, то число положительных корней полинома либо равно числу изменений знака между последовательными (ненулевыми) коэффициентами, либо меньше его на четное число. Корень кратности k считается как k корней.

В частности, если число смен знака равно нулю или единице, то число положительных корней равно числу смен знака.

Отрицательные корни

Как следствие правила, число отрицательных корней равно числу изменений знака после умножения коэффициентов нечетных членов на −1 или меньше его на четное число. Эта процедура эквивалентна замене отрицания переменной на саму переменную. Например, отрицательные корни являются положительными корнями ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$

${\displaystyle a(-x)^{3}+b(-x)^{2}+c(-x)+d=-ax^{3}+bx^{2}-cx+d.}$

Таким образом, применение правила знаков Декарта к этому многочлену дает максимальное количество отрицательных корней исходного многочлена.

Пример: кубический многочлен

Многочлен

${\displaystyle f(x)=+x^{3}+x^{2}-x-1}$

имеет одну смену знака между вторым и третьим членами, так как последовательность знаков (+, +, −, −) . Следовательно, он имеет ровно один положительный корень. Чтобы найти количество отрицательных корней, измените знаки коэффициентов членов с нечетными показателями, т.е. примените правило знаков Декарта к многочлену ${\displaystyle f(-x)=-x^{3}+x^{2}+x-1.}$

Этот многочлен имеет две смены знака, так как последовательность знаков равна (−, +, +, −) , что означает, что этот второй многочлен имеет два или ноль положительных корней; таким образом, исходный многочлен имеет два или ноль отрицательных корней.

Фактически, факторизация первого многочлена имеет вид

${\displaystyle f(x)=(x+1)^{2}(x-1),}$

поэтому корни равны −1 (дважды) и +1 (один раз).

Факторизация второго многочлена имеет вид

${\displaystyle f(-x)=-(x-1)^{2}(x+1).}$

Итак, здесь корни равны +1 (дважды) и −1 (один раз), что является отрицанием корней исходного многочлена.

Доказательство

Ниже приведен примерный план доказательства. ^[1] Сначала несколько предварительных определений:

• Запишите многочлен в виде , где у нас есть целые степени и ненулевые коэффициенты . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{b_{i}}}$ ${\displaystyle 0\leq b_{0}<b_{1}<\cdots <b_{n}}$ ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$

• Пусть — число изменений знака коэффициентов , то есть число таких, что . ${\displaystyle V(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle a_{k}a_{k+1}<0}$

• Пусть — число строго положительных корней (с учетом кратности). ${\displaystyle Z(f)}$

Имея это в виду, мы можем формально сформулировать правило Декарта следующим образом:

Теорема  —  Число строго положительных корней (с учетом кратности) равно числу перемен знаков коэффициентов за вычетом неотрицательного четного числа. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Если , то мы можем разделить многочлен на , что не изменит его количество строго положительных корней. Таким образом, WLOG, пусть . ${\displaystyle b_{0}>0}$ ${\displaystyle x^{b_{0}}}$ ${\displaystyle b_{0}=0}$

Лемма  —  Если , то четно. Если , то нечетно. ${\displaystyle a_{n}a_{0}>0}$ ${\displaystyle Z(f)}$ ${\displaystyle a_{0}a_{n}<0}$ ${\displaystyle Z(f)}$

Доказательство леммы

${\displaystyle f(x)}$начинается в и заканчивается в , поэтому он должен пересекать положительную ось x четное число раз (каждый из которых вносит нечетное число корней), и пробегать (не пересекая) положительную ось x произвольное число раз (каждый из которых вносит четное число корней). ${\displaystyle f(0)=a_{0}>0}$ ${\displaystyle f(+\infty )=+\infty >0}$

Другой случай аналогичен.

Доказательство основной теоремы

Из леммы следует, что и всегда имеют одинаковую четность. Осталось показать . ${\displaystyle Z(f)}$ ${\displaystyle V(f)}$ ${\displaystyle Z(f)\leq V(f)}$

Вводим по . Если , то очевидно. Теперь предположим . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=0,1}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

По предположению индукции, для некоторого целого числа . ${\displaystyle Z(f')=V(f')-2s}$ ${\displaystyle s\geq 0}$

По теореме Ролля существует по крайней мере один положительный корень из между любыми двумя различными положительными корнями из . Кроме того, любой -кратный положительный корень из является -кратным корнем из . Таким образом . ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle Z(f')\geq Z(f)-1}$

Если , то , иначе . В обоих случаях, ${\displaystyle a_{0}a_{1}>0}$ ${\displaystyle V(f')=V(f)}$ ${\displaystyle V(f')=V(f)-1}$ ${\displaystyle V(f')\leq V(f)}$

Вместе мы имеем

$${\displaystyle Z(f)\leq Z(f')+1=V(f')-2s+1\leq V(f)-2s+1\leq V(f)+1}$$ Далее, поскольку и имеют одинаковую четность, то имеем . ${\displaystyle Z(f)}$ ${\displaystyle V(f)}$ ${\displaystyle Z(f)\leq V(f)}$

Недействительные корни

Любой многочлен n- й степени имеет ровно n корней в комплексной плоскости , если считать по кратности. Так что если f ( x ) — многочлен с действительными коэффициентами, не имеющий корня в 0 (то есть многочлен с ненулевым постоянным членом), то минимальное количество недействительных корней равно

${\displaystyle n-(p+q),}$

где p обозначает максимальное количество положительных корней, q обозначает максимальное количество отрицательных корней (оба из которых можно найти с помощью правила знаков Декарта), а n обозначает степень многочлена.

Пример: некоторые нулевые коэффициенты и недействительные корни

Многочлен

${\displaystyle f(x)=x^{3}-1,}$

имеет одну смену знака; поэтому максимальное число положительных действительных корней равно одному. Как

${\displaystyle f(-x)=-x^{3}-1,}$

не имеет смены знака, исходный многочлен не имеет отрицательных действительных корней. Таким образом, минимальное количество недействительных корней равно

${\displaystyle 3-(1+0)=2.}$

Поскольку недействительные корни многочлена с действительными коэффициентами должны встречаться в сопряженных парах, это означает, что x ³ − 1 имеет ровно два недействительных корня и один действительный корень, который является положительным.

Особый случай

Вычитание только кратных 2 из максимального числа положительных корней происходит потому, что многочлен может иметь недействительные корни, которые всегда идут парами, поскольку правило применяется к многочленам, коэффициенты которых действительны. Таким образом, если известно, что многочлен имеет все действительные корни, это правило позволяет найти точное число положительных и отрицательных корней. Поскольку легко определить кратность нуля как корня, в этом случае можно определить знак всех корней.

Обобщения

Если действительный многочлен P имеет k действительных положительных корней, подсчитанных с кратностью, то для каждого a > 0 существует по крайней мере k изменений знака в последовательности коэффициентов ряда Тейлора функции e ^ax P ( x ). Для достаточно больших a существует ровно k таких изменений знака. ^{[2] [3]}

В 1970-х годах Аскольд Хованский разработал теорию малочленов , обобщающую правило Декарта. ^[4] Правило знаков можно рассматривать как утверждение, что число действительных корней многочлена зависит от сложности многочлена, и что эта сложность пропорциональна числу его одночленов, а не его степени. Хованский показал, что это справедливо не только для многочленов, но и для алгебраических комбинаций многих трансцендентных функций , так называемых функций Пфаффа .

Смотрите также

• Теорема Штурма  – Подсчет корней полинома в интервале
• Теорема о рациональных корнях  – Связь между рациональными корнями многочлена и его крайними коэффициентами.
• Геометрические свойства корней полинома  – Геометрия расположения корней полинома
• Теорема Гаусса–Лукаса  – Геометрическая связь между корнями многочлена и корнями его производной.

Примечания

1. Ван, Сяошэнь (июнь–июль 2004 г.). «Простое доказательство правила знаков Декарта». The American Mathematical Monthly . 111 (6): 525. doi :10.2307/4145072. ISSN  0002-9890.
2. DR Curtiss, Недавние расширения правила знаков Декарта , Annals of Mathematics., Vol. 19, No. 4, 1918, стр. 251–278.
3. Владимир П. Костов, Отображение, определяемое композицией Шура–Сегё , Comptes Rendus Acad. Bulg. Sci. tome 63, № 7, 2010, стр. 943–952.
4. Хованский, АГ (1991). Малономиалы . Переводы математических монографий. Перевод с русского Смилки Здравковской. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 88. ISBN 0-8218-4547-0. Збл  0728.12002.

Внешние ссылки

В данной статье использованы материалы из правила знаков Декарта из PlanetMath , которые лицензированы в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

• Правило знаков Декарта – Доказательство правила
• Правило знаков Декарта – Базовое объяснение