Правильный додекаэдр или пятиугольный додекаэдр — это правильный додекаэдр , состоящий из 12 правильных пятиугольных граней, по три сходящихся в каждой вершине . Это одно из пяти Платоновых тел . Он имеет 12 граней, 20 вершин, 30 ребер и 160 диагоналей (60 диагоналей граней , 100 пространственных диагоналей ). [2] Он представлен символом Шлефли {5,3}.
Если длина ребра правильного додекаэдра равна , радиус описанной сферы (той, которая касается правильного додекаэдра во всех вершинах) равен
(последовательность A179296 в OEIS )
а радиус вписанной сферы ( касательной к каждой из граней правильного додекаэдра) равен
в то время как средний радиус, который касается середины каждого края, равен
Эти величины также можно выразить как
где φ — золотое сечение .
Обратите внимание, что для правильного додекаэдра с длиной ребра один ru — это радиус описанной сферы вокруг куба с длиной ребра φ , а r i — апофема правильного пятиугольника с длиной ребра φ .
Площадь поверхности A и объем V правильного додекаэдра с длиной ребра a равны:
Кроме того, площадь поверхности и объем правильного додекаэдра связаны с золотым сечением. Додекаэдр с длиной ребра в одну единицу обладает свойствами: [3]
Правильный додекаэдр имеет две высокие ортогональные проекции , центрированные по вершинам и пятиугольные грани, соответствующие плоскостям Кокстера A 2 и H 2 . Проекция края-центра имеет две ортогональные линии отражения.
В перспективной проекции , если смотреть поверх пятиугольной грани, правильный додекаэдр можно рассматривать как диаграмму Шлегеля с линейными краями , а в стереографической проекции — как сферический многогранник . Эти проекции также используются для показа четырехмерного 120-ячеечного , правильного 4-мерного многогранника, построенного из 120 додекаэдров, проецируя его в трехмерное измерение .
Правильный додекаэдр также можно представить в виде сферической мозаики .
Следующие декартовы координаты определяют 20 вершин правильного додекаэдра с центром в начале координат, соответствующим масштабом и ориентацией: [4]
где φ =1 + √ 5/2≈ 1,618 — золотое сечение . Длина ребра2/φзнак равно √ 5 - 1 . Радиус описанной окружности равен √ 3 .
Подобно симметрии координат вершин, уравнения двенадцати граней правильного додекаэдра также демонстрируют симметрию своих коэффициентов:
Эта матрица конфигурации представляет додекаэдр. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам и граням. Диагональные числа показывают, сколько элементов каждого элемента встречается во всем додекаэдре. Недиагональные числа показывают, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. [5] [6]
Вот конфигурация, расширенная k -гранными элементами и k -фигурами. Число диагональных элементов представляет собой отношение полной группы Кокстера H 3 порядка 120, деленное на порядок подгруппы с удалением зеркала.
Правильный додекаэдр — третий в бесконечном множестве усеченных трапецоэдров , которые можно построить путем усечения двух осевых вершин пятиугольного трапецоэдра .
Звездочки правильного додекаэдра составляют три из четырех многогранников Кеплера–Пуансо .
Выпрямленный правильный додекаэдр образует икосододекаэдр .
Правильный додекаэдр имеет икосаэдрическую симметрию I h , группу Кокстера [5,3], порядка 120, с абстрактной групповой структурой A 5 × Z 2 .
Додекаэдр и икосаэдр — двойственные многогранники . У правильного додекаэдра 12 граней и 20 вершин, а у правильного икосаэдра 20 граней и 12 вершин. Оба имеют 30 ребер.
Когда правильный додекаэдр вписан в сферу , он занимает больший объём сферы (66,49%), чем икосаэдр, вписанный в ту же сферу (60,55%).
Правильный додекаэдр с длиной ребра 1 имеет более чем в три с половиной раза больший объем икосаэдра с такой же длиной ребер (7,663... по сравнению с 2,181...), что соотношение примерно равно3.512 461 179 75 или точнее:3/5(3 φ + 1) или (1,8 φ + 0,6) .
Куб можно встроить в правильный додекаэдр, прикрепленный к восьми его равноотстоящим вершинам в пяти разных положениях. [7] Фактически, пять кубов могут перекрываться и сцепляться внутри правильного додекаэдра, образуя соединение пяти кубов .
Отношение ребра правильного додекаэдра к ребру куба, вложенного внутрь такого правильного додекаэдра, равно 1: φ или ( φ − 1) : 1.
Отношение объема правильного додекаэдра к объему куба, вложенного внутрь такого правильного додекаэдра, равно 1: 2/2 + φ, или1 + φ/2 : 1 или (5 + √ 5 ): 4.
Например, вложенный куб объемом 64 (и длиной ребра 4) будет вложен в правильный додекаэдр объемом 64 + 32 φ (и длиной ребра 4 φ − 4).
Таким образом, разница в объёме между объёмом правильного додекаэдра и вложенным в него кубом всегда равна половине объёма куба, умноженного на φ .
Из этих соотношений выводятся простые формулы для объема правильного додекаэдра с длиной ребра a через золотое сечение:
Как в куб можно вписать два противоположных тетраэдра, а в додекаэдр — пять кубов, так и в додекаэдр можно вписать десять тетраэдров, состоящих из пяти кубов: два противоположных набора по пять, каждый из которых охватывает все 20 вершин и каждую вершину в два тетраэдра (по одному из каждого набора, но не из противостоящей пары).
Как тетраэдр можно вписать в куб, так и куб можно вписать в додекаэдр. Взаимно-поступательное движение приводит к октаэдру, описанному вокруг икосаэдра. Фактически каждая из двенадцати вершин икосаэдра делит ребро октаэдра по « золотому сечению ». Учитывая икосаэдр, описанный октаэдр можно выбрать пятью способами, образуя соединение пяти октаэдров , которое подпадает под наше определение звездчатого икосаэдра . (Обратное соединение пяти кубов, вершины которых принадлежат додекаэдру, представляет собой звездчатый триаконтаэдр .) Другой звездчатый икосаэдр можно сразу вывести, превратив каждый октаэдр в звездчатый октаэдр , образуя таким образом соединение десяти тетраэдров . Далее, мы можем выбрать по одному тетраэдру из каждой стеллы-октангула, чтобы получить соединение пяти тетраэдров , которое по-прежнему обладает всей симметрией вращения икосаэдра (т.е. икосаэдрической группой), хотя и утратило отражения. Отразив эту фигуру в любой плоскости симметрии икосаэдра, мы получим дополнительный набор из пяти тетраэдров. Эти два набора из пяти тетраэдров энантиоморфны, то есть не конгруэнтны напрямую, а связаны, как пара обуви. [Такая] фигура, не имеющая плоскости симметрии (так что она энантиоморфна своему зеркальному изображению), называется киральной . [8]
Золотые прямоугольники соотношения ( φ + 1) : 1 и φ : 1 также идеально вписываются в правильный додекаэдр. [9] Пропорционально этому золотому прямоугольнику ребро закрытого куба равно φ , когда длинная длина прямоугольника равна φ + 1 (или φ 2 ), а короткая длина равна 1 (ребро, общее с правильным додекаэдром).
Кроме того, центр каждой грани правильного додекаэдра образуют три пересекающихся золотых прямоугольника. [10]
Его можно спроецировать в 3D из 6-мерного 6-демикуба , используя те же базисные векторы, которые образуют оболочку ромбического триаконтаэдра из 6-куба . Показанный здесь, включая 12 внутренних вершин, которые не соединены внешними ребрами оболочки стандартной длины 6D √ 2 , образуют правильный икосаэдр .
Используемые базисные векторы 3D-проекции [ u , v , w ]:
Обычные додекаэдрические объекты нашли практическое применение, а также сыграли роль в изобразительном искусстве и философии.
Ямвлих утверждает, что Гиппас , пифагорейец, погиб в море, потому что он хвастался, что первым раскрыл «сферу с двенадцатью пятиугольниками». [11] В «Теэтете» , диалоге Платона, Платон выдвинул гипотезу, что классические элементы состоят из пяти однородных правильных тел; позже они стали известны как платоновые тела . О пятом платоновском теле, додекаэдре, Платон неясно заметил: «...бог использовал [его] для расположения созвездий на всем небе». Тимей ( ок. 360 г. до н.э. ), как персонаж диалога Платона, связывает остальные четыре платоновых тела с четырьмя классическими элементами , добавляя, что существует пятый образец твердого тела, который, хотя обычно ассоциируется с правильным додекаэдром, никогда напрямую не упоминается как такой; «этот Бог использовал при описании вселенной». [12] Аристотель также постулировал, что небеса состоят из пятого элемента, который он назвал aithêr ( эфир на латыни, эфир на американском английском).
Теэтет дал математическое описание всех пяти и, возможно, был ответственным за первое известное доказательство того, что других выпуклых правильных многогранников не существует.Евклид полностью математически описал Платоновы тела в «Началах» , последняя книга (книга XIII) которых посвящена их свойствам. Предложения 13–17 в книге XIII описывают построение тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в указанном порядке. Для каждого твердого тела Евклид находит отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В предложении 18 он утверждает, что больше не существует выпуклых правильных многогранников.
Правильные додекаэдры использовались в качестве игральных костей и, вероятно, также как приспособления для гаданий. В эллинистическую эпоху были изготовлены небольшие полые бронзовые римские додекаэдры , которые были найдены в различных римских руинах в Европе. Их цель не ясна.
В искусстве 20-го века додекаэдры появляются в работах М. К. Эшера , таких как его литографии «Рептилии» (1943) и «Гравитация» (1952). На картине Сальвадора Дали «Таинство Тайной Вечери» (1955) комната представляет собой полый правильный додекаэдр. Джерард Кэрис основал все свое художественное творчество на правильном додекаэдре и пятиугольнике, которые представлены как новое направление в искусстве, получившее название пентагонизм.
В современных ролевых играх правильный додекаэдр часто используется как двенадцатигранная игральная кость, одна из наиболее распространенных многогранных игральных костей .
Компания Immersive Media , бывшая канадская компания по производству цифровых изображений , создала камеру Dodeca 2360, первую в мире полнокадровую камеру с обзором 360°, которая снимает видео высокого разрешения со всех направлений одновременно со скоростью более 100 миллионов пикселей в секунду или 30 кадров в секунду. [ повышение? ] Он основан на правильном додекаэдре. [ нужна цитата ]
Извилистая головоломка Мегаминкс , как и ее аналоги большего и меньшего порядка, имеет форму правильного додекаэдра.
В детском романе «Призрачная платная будка» правильный додекаэдр появляется как персонаж страны математики. Каждое из его лиц имеет разное выражение – например , счастливое, сердитое, грустное – которое он поворачивает вперед по мере необходимости, чтобы соответствовать своему настроению.
Ископаемый кокколитофор Braarudosphaera bigelowii (см. рисунок), одноклеточная прибрежная фитопланктонная водоросль , имеет оболочку из карбоната кальция с правильной додекаэдрической структурой диаметром около 10 микрометров. [13]
Некоторые квазикристаллы и каркасы имеют додекаэдрическую форму (см. рисунок). Говорят , что некоторые обычные кристаллы, такие как гранат и алмаз, также обладают «додекаэдрической» формой , но на самом деле это утверждение относится к форме ромбического додекаэдра . [14] [1]
Были предложены различные модели глобальной геометрии Вселенной. В дополнение к примитивным геометриям, эти предложения включают додекаэдрическое пространство Пуанкаре , положительно искривленное пространство, состоящее из правильного додекаэдра, противоположные грани которого соответствуют (с небольшим поворотом). Это было предложено Жаном-Пьером Люмине и его коллегами в 2003 году [15] [16] , а оптимальная ориентация модели на небе была оценена в 2008 году. [17]
В рассказе Бертрана Рассела 1954 года «Кошмар математика: видение профессора Скверпунта» число 5 гласило: «Я — количество пальцев на руке. Я создаю пятиугольники и пентаграммы. И без меня додекаэдры не могли бы существовать». ; и, как всем известно, Вселенная представляет собой додекаэдр. Итак, если бы не я, Вселенной не могло бы быть».
Правильные додекаэдры заполняют пространство кубами и билунабиротондами ( твердое тело Джонсона 91) в соотношении 1 к 1 к 3. [18] [19] Сами по себе додекаэдры образуют решетку из пиритоэдров , расположенных между ребрами . Билунабиротонды заполняют ромбические промежутки. Каждый куб соответствует шести билунабиротондам в трех направлениях.
Правильный додекаэдр топологически связан с серией мозаик вершинной фигурой n 3 .
Правильный додекаэдр можно преобразовать последовательностью усечения в его двойственный икосаэдр:
Правильный додекаэдр является членом последовательности неоднородных многогранников и мозаик, состоящих из пятиугольников с конфигурациями граней (V3.3.3.3.n ) . (Для n > 6 последовательность состоит из мозаик гиперболической плоскости.) Эти гране-транзитивные фигуры обладают ( n 32) вращательной симметрией .
Правильный додекаэдр разделяет расположение вершин с четырьмя невыпуклыми однородными многогранниками и тремя однородными составными многогранниками .
Внутри помещаются пять кубов , ребра которых представляют собой диагонали граней правильного додекаэдра, и вместе они составляют правильное многогранное соединение пяти кубов. Поскольку два тетраэдра могут поместиться в чередующихся вершинах куба, пять и десять тетраэдров также могут поместиться в правильный додекаэдр.
Все 3 звездочки правильного додекаэдра представляют собой правильные ( невыпуклые ) многогранники: ( Многогранники Кеплера – Пуансо )
Скелет додекаэдра (вершины и ребра) образуют граф . Это один из пяти платоновых графов , каждый из которых является скелетом своего платоновского тела .
Этот граф также можно построить как обобщенный граф Петерсена G (10,2), где вершины десятиугольника соединены с вершинами двух пятиугольников: один пятиугольник соединен с нечетными вершинами десятиугольника, а другой пятиугольник соединен с четными вершинами. Геометрически это можно представить как 10-вершинный экваториальный пояс додекаэдра, соединенный с двумя 5-вершинными полярными областями, по одной на каждой стороне.
Высокая степень симметрии многоугольника воспроизводится в свойствах этого графа, который является дистанционно-транзитивным , дистанционно-регулярным и симметричным . Группа автоморфизмов имеет порядок 120. Вершины, как и ребра, можно раскрасить в 3 цвета, а диаметр равен 5. [21]
Додекаэдрический граф гамильтонов — существует цикл, содержащий все вершины. Действительно, это название происходит от математической игры , изобретенной в 1857 году Уильямом Роуэном Гамильтоном , икосианской игры . Целью игры было найти гамильтонов цикл по ребрам додекаэдра.
