Выпуклый многоугольник

Многоугольник, являющийся границей выпуклого множества

Пример выпуклого многоугольника: правильный пятиугольник.

В геометрии выпуклый многоугольник — это многоугольник , являющийся границей выпуклого множества . Это означает, что отрезок прямой между двумя точками многоугольника содержится в объединении внутренней части и границы многоугольника. В частности, это простой многоугольник (не самопересекающийся ). ^[1] Эквивалентно, многоугольник является выпуклым, если каждая линия , не содержащая ни одного ребра, пересекает многоугольник не более чем в двух точках.

Строго выпуклый многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого ни одна линия не содержит двух его сторон. В выпуклом многоугольнике все внутренние углы меньше или равны 180 градусам, тогда как в строго выпуклом многоугольнике все внутренние углы строго меньше 180 градусов.

Характеристики

Следующие свойства простого многоугольника эквивалентны выпуклости:

• Каждый внутренний угол меньше или равен 180 градусам .
• Каждая точка на каждом отрезке между двумя точками внутри или на границе многоугольника остается внутри или на границе.
• Многоугольник целиком содержится в замкнутой полуплоскости, определяемой каждым из его ребер.
• Для каждого ребра все внутренние точки находятся по одну сторону от линии, которую определяет ребро.
• Угол в каждой вершине содержит все остальные вершины на своих ребрах и внутри.
• Многоугольник представляет собой выпуклую оболочку своих рёбер.

Дополнительные свойства выпуклых многоугольников включают в себя:

• Пересечение двух выпуклых многоугольников является выпуклым многоугольником.
• Выпуклый многоугольник можно триангулировать за линейное время с помощью веерной триангуляции , состоящей в добавлении диагоналей из одной вершины ко всем остальным вершинам.
• Теорема Хелли : Для любого набора из по крайней мере трех выпуклых многоугольников: если все пересечения всех многоугольников, кроме одного, непусты, то пересечение всех многоугольников непусто.
• Теорема Крейна–Мильмана : Выпуклый многоугольник — это выпуклая оболочка его вершин. Таким образом, он полностью определяется множеством своих вершин, и для восстановления всей формы многоугольника нужны только углы многоугольника.
• Теорема о разделении гиперплоскостей : Любые два выпуклых многоугольника без общих точек имеют разделительную линию. Если многоугольники замкнуты и хотя бы один из них компактен, то существуют даже две параллельные разделительные линии (с зазором между ними).
• Свойство вписанного треугольника : Из всех треугольников, содержащихся в выпуклом многоугольнике, существует треугольник с максимальной площадью, все вершины которого являются вершинами многоугольника. ^[2]
• Свойство вписанного треугольника : любой выпуклый многоугольник с площадью может быть вписан в треугольник с площадью, не превышающей . Равенство выполняется (исключительно) для параллелограмма . ^[3] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 2A}$
• Свойство вписанных/вписываемых прямоугольников : для каждого выпуклого тела на плоскости можно вписать прямоугольник таким образом, что гомотетическая копия будет описана около и положительный коэффициент гомотетии не будет превышать 2 и . ^[4] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0.5{\text{ × Area}}(R)\leq {\text{Area}}(C)\leq 2{\text{ × Area}}(r)}$
• Средняя ширина выпуклого многоугольника равна его периметру, деленному на . Таким образом, его ширина — это диаметр круга с таким же периметром, как у многоугольника. ^[5] ${\displaystyle \pi }$

Каждый многоугольник, вписанный в окружность (такой, что все вершины многоугольника касаются окружности), если он не является самопересекающимся , является выпуклым. Однако не каждый выпуклый многоугольник можно вписать в окружность.

Строгая выпуклость

Следующие свойства простого многоугольника эквивалентны строгой выпуклости:

• Каждый внутренний угол строго меньше 180 градусов.
• Каждый отрезок между двумя точками внутри или между двумя точками на границе, но не на одном и том же ребре, является строго внутренним по отношению к многоугольнику (за исключением его конечных точек, если они находятся на ребрах).
• Для каждого ребра внутренние точки и граничные точки, не содержащиеся в ребре, находятся по одну сторону от линии, определяемой этим ребром.
• Угол при каждой вершине содержит все остальные вершины внутри себя (за исключением данной вершины и двух смежных вершин).

Каждый невырожденный треугольник строго выпуклый.

Смотрите также

• Выпуклая кривая  – Тип плоской кривой
• Вогнутый многоугольник  – Простой многоугольник, который не является выпуклым.
• Выпуклый многогранник  – выпуклая оболочка конечного множества точек в евклидовом пространстве.
• Циклический многоугольник  – Точки на общей окружностиСтраницы, отображающие краткие описания целей перенаправления
• Неявная кривая § Гладкая аппроксимация выпуклых многоугольников
• Касательный многоугольник  – выпуклый многоугольник, содержащий вписанную окружность.

Ссылки

1. Определение и свойства выпуклых многоугольников с интерактивной анимацией.
2. Чандран, Шарат; Маунт, Дэвид М. (1992). «Параллельный алгоритм для вложенных и вложенных треугольников». Международный журнал вычислительной геометрии и приложений . 2 (2): 191–214. doi :10.1142/S0218195992000123. MR  1168956.
3. Вайсштейн, Эрик В. «Описание треугольника». Wolfram Math World .
4. Лассак, М. (1993). «Приближение выпуклых тел прямоугольниками». Геометрии Дедиката . 47 : 111–117. дои : 10.1007/BF01263495. S2CID  119508642.
5. Белк, Джим. «Какова средняя ширина выпуклого многоугольника?». Math Stack Exchange .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Выпуклый многоугольник". MathWorld .
• http://www.rustycode.com/tutorials/convex.html
• Шорн, Питер; Фишер, Фредерик (1994), «I.2 Проверка выпуклости многоугольника», в Heckbert, Paul S. (ред.), Graphics Gems IV, Morgan Kaufmann (Academic Press), стр. 7–15, ISBN 9780123361554