Делитель

Целое число, являющееся множителем другого целого числа

Делители числа 10, проиллюстрированные палочками Кюизенера : 1, 2, 5 и 10

В математике делителем целого числа , также называемым множителем , является целое число , которое можно умножить на некоторое целое число, чтобы получить [ ^1]. В этом случае также говорят, что является кратным Целое число делится или делится без остатка на другое целое число, если является делителем ; это означает, что деление на не дает остатка. ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$

Определение

Целое число делится на ненулевое целое число, если существует целое число такое, что Это записывается как ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n=km.}$

${\displaystyle m\mid n.}$

Это можно прочитать так: делит является делителем является множителем или кратно Если не делит, то запись будет ^{[2] [3]} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m.}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle m\not \mid n.}$

Существуют два соглашения, различающиеся тем, допускается ли нулевое значение: ${\displaystyle m}$

• При соглашении без дополнительных ограничений для каждого целого числа ^{[2] [3]} ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle m\mid 0}$ ${\displaystyle m.}$
• При условии, что ненулевое число будет равно нулю, для каждого ненулевого целого числа ^{[4] [5]} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m\mid 0}$ ${\displaystyle m.}$

Общий

Делители могут быть как отрицательными , так и положительными, хотя часто этот термин ограничивается положительными делителями. Например, существует шесть делителей числа 4: 1, 2, 4, −1, −2 и −4, но обычно упоминаются только положительные (1, 2 и 4).

1 и −1 делят (являются делителями) каждое целое число. Каждое целое число (и его отрицание) является делителем самого себя. Целые числа, делящиеся на 2, называются четными , а целые числа, не делящиеся на 2, называются нечетными .

1, −1 и называются тривиальными делителями Делитель , который не является тривиальным делителем, называется нетривиальным делителем (или строгим делителем ^[6] ). Ненулевое целое число с хотя бы одним нетривиальным делителем называется составным числом , в то время как единицы −1 и 1 и простые числа не имеют нетривиальных делителей. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle -n}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle n}$

Существуют правила делимости , которые позволяют распознавать определенные делители числа по его цифрам.

Примеры

График количества делителей целых чисел от 1 до 1000. Простые числа имеют ровно 2 делителя, а сильно составные числа выделены жирным шрифтом.

• 7 является делителем 42, потому что так мы можем сказать: Также можно сказать, что 42 делится на 7, 42 кратно 7 , 7 делит 42 или 7 является множителем 42. ${\displaystyle 7\times 6=42,}$ ${\displaystyle 7\mid 42.}$
• Нетривиальные делители числа 6 — 2, −2, 3, −3.
• Положительные делители числа 42 — 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
• Множество всех положительных делителей числа 60, частично упорядоченное по делимости, имеет диаграмму Хассе : ${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\},}$

Дополнительные понятия и факты

Вот несколько элементарных правил:

• Если и то это так, делимость является транзитивным отношением . ${\displaystyle a\mid b}$ ${\displaystyle b\mid c,}$ ${\displaystyle a\mid c;}$
• Если и то или ${\displaystyle a\mid b}$ ${\displaystyle b\mid a,}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle a=-b.}$
• Если и то выполняется, как и ^[a]. Однако, если и то выполняется не всегда (например, и , но 5 не делит 6). ${\displaystyle a\mid b}$ ${\displaystyle a\mid c,}$ ${\displaystyle a\mid (b+c)}$ ${\displaystyle a\mid (b-c).}$ ${\displaystyle a\mid b}$ ${\displaystyle c\mid b,}$ ${\displaystyle (a+c)\mid b}$ ${\displaystyle 2\mid 6}$ ${\displaystyle 3\mid 6}$

Если и то ^[b] Это называется леммой Евклида . ${\displaystyle a\mid bc,}$ ${\displaystyle \gcd(a,b)=1,}$ ${\displaystyle a\mid c.}$

Если — простое число и тогда или ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\mid ab}$ ${\displaystyle p\mid a}$ ${\displaystyle p\mid b.}$

Положительный делитель, отличный от , называется ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$правильный делитель илиаликвотная часть (например, собственные делители числа 6 — 1, 2 и 3). Число, которое не делится нацело, но оставляет остаток, иногда называют ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$аликвотная часть ${\displaystyle n.}$

Целое число, единственным собственным делителем которого является 1, называется простым числом . Эквивалентно, простое число — это положительное целое число, которое имеет ровно два положительных делителя: 1 и само себя. ${\displaystyle n>1}$

Любой положительный делитель является произведением простых делителей , возведенных в некоторую степень. Это следствие основной теоремы арифметики . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Число называется совершенным , если оно равно сумме своих собственных делителей, недостаточным , если сумма его собственных делителей меньше , и избыточным, если эта сумма превышает. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n.}$

Общее количество положительных делителей является мультипликативной функцией , то есть когда два числа и являются взаимно простыми , то Например, ; восемь делителей числа 42 равны 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 и 42. Однако количество положительных делителей не является полностью мультипликативной функцией: если два числа и имеют общий делитель, то может быть неверным, что Сумма положительных делителей является другой мультипликативной функцией (например, ). Обе эти функции являются примерами функций делителей . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d(n),}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n).}$ ${\displaystyle d(42)=8=2\times 2\times 2=d(2)\times d(3)\times d(7)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n).}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \sigma (n)}$ ${\displaystyle \sigma (42)=96=3\times 4\times 8=\sigma (2)\times \sigma (3)\times \sigma (7)=1+2+3+6+7+14+21+42}$

Если разложение на простые множители задано как ${\displaystyle n}$

${\displaystyle n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}}$

тогда число положительных делителей равно ${\displaystyle n}$

${\displaystyle d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),}$

и каждый из делителей имеет вид

${\displaystyle p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}}$

где для каждого ${\displaystyle 0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq k.}$

Для каждого натурального ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle d(n)<2{\sqrt {n}}.}$

Также, ^[7]

${\displaystyle d(1)+d(2)+\cdots +d(n)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}}),}$

где — константа Эйлера–Маскерони . Одной из интерпретаций этого результата является то, что случайно выбранное положительное целое число n имеет среднее количество делителей около Однако это результат вкладов чисел с «аномально большим количеством» делителей . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \ln n.}$

В абстрактной алгебре

Теория колец

Решетка деления

В определениях, которые допускают, чтобы делитель был равен 0, отношение делимости превращает множество неотрицательных целых чисел в частично упорядоченное множество , которое является полной дистрибутивной решеткой . Наибольший элемент этой решетки равен 0, а наименьший — 1. Операция пересечения ∧ задается наибольшим общим делителем , а операция соединения ∨ — наименьшим общим кратным . Эта решетка изоморфна двойственной решетке подгрупп бесконечной циклической группы Z. ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Смотрите также

• Арифметические функции
• Алгоритм Евклида
• Дробь (математика)
• Факторизация целых чисел
• Таблица делителей – Таблица простых и непростых делителей для чисел от 1 до 1000.
• Таблица простых множителей – Таблица простых множителей для чисел от 1 до 1000
• Унитарный делитель

Примечания

1. Аналогично, ${\displaystyle a\mid b,\,a\mid c}$ ${\displaystyle \Rightarrow \exists j\colon ja=b,\,\exists k\colon ka=c}$ ${\displaystyle \Rightarrow \exists j,k\colon (j+k)a=b+c}$ ${\displaystyle \Rightarrow a\mid (b+c).}$ ${\displaystyle a\mid b,\,a\mid c}$ ${\displaystyle \Rightarrow \exists j\colon ja=b,\,\exists k\colon ka=c}$ ${\displaystyle \Rightarrow \exists j,k\colon (j-k)a=b-c}$ ${\displaystyle \Rightarrow a\mid (b-c).}$
2. обозначает наибольший общий делитель . ${\displaystyle \gcd }$

Цитаты

1. Тантон 2005, стр. 185
2. Hardy & Wright 1960, стр. 1
3. Niven, Zuckerman & Montgomery 1991, стр. 4
4. Симс 1984, стр. 42
5. Дурбин (2009), стр. 57, Глава III Раздел 10
6. «FoCaLiZe и Dedukti на страже совместимости доказательств» Рафаэля Кодлерье и Катрин Дюбуа (PDF) .
7. Харди и Райт 1960, стр. 264, Теорема 320

Ссылки

• Дурбин, Джон Р. (2009). Современная алгебра: Введение (6-е изд.). Нью-Йорк: Wiley. ISBN 978-0470-38443-5.
• Гай, Ричард К. (2004), Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer Verlag , ISBN 0-387-20860-7; раздел Б
• Харди, Г. Х.; Райт, Э. М. (1960). Введение в теорию чисел (4-е изд.). Oxford University Press.
• Херштейн, IN (1986), Абстрактная алгебра , Нью-Йорк: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-353820-1
• Нивен, Иван ; Цукерман, Герберт С.; Монтгомери, Хью Л. (1991). Введение в теорию чисел (5-е изд.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-62546-9.
• Ойстейн Оре , Теория чисел и ее история, McGraw–Hill, NY, 1944 (и переиздания в Дувре).
• Симс, Чарльз С. (1984), Абстрактная алгебра: вычислительный подход , Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-09846-9
• Тантон, Джеймс (2005). Энциклопедия математики. Нью-Йорк: Факты в деле. ISBN 0-8160-5124-0. OCLC  56057904.