Список правильных многогранников

В данной статье перечислены правильные многогранники в евклидовом , сферическом и гиперболическом пространствах.

Обзор

В этой таблице приведены сводные данные по количеству правильных многогранников по рангу.

1. Подсчет только многогранников полного ранга. В более высоких размерностях есть больше правильных многогранников каждого ранга > 1.

Не существует евклидовых правильных звездных мозаик ни в одном из измерений.

1-многогранники

Существует только один многогранник ранга 1 (1-многогранник), замкнутый отрезок прямой, ограниченный двумя своими конечными точками. Каждая реализация этого 1-многогранника является регулярной. Она имеет символ Шлефли { }, ^{[2] [3]} или диаграмму Кокстера с одним кольцевым узлом,. Норман Джонсон называет его дионом ^[4] и дает ему символ Шлефли { }.

Хотя он тривиален как многогранник, он появляется как ребра многоугольников и других многогранников более высокой размерности. ^[5] Он используется в определении однородных призм, таких как символ Шлефли { }×{p} или диаграмма Коксетера.как декартово произведение отрезка прямой и правильного многоугольника. ^[6]

2-многогранники (полигоны)

Многогранники ранга 2 (2-многогранники) называются многоугольниками . Правильные многоугольники являются равносторонними и вписанными . P -угольный правильный многоугольник обозначается символом Шлефли {p}.

Многие источники рассматривают только выпуклые многоугольники , но звездчатые многоугольники , такие как пентаграмма , если их рассмотреть, также могут быть правильными. Они используют те же вершины, что и выпуклые формы, но соединяются в альтернативной связности, которая проходит по окружности более одного раза, чтобы быть завершенной.

Выпуклый

Символ Шлефли {p} представляет собой правильный p -угольник .

Сферический

Правильный двуугольник {2} можно считать вырожденным правильным многоугольником. Он может быть реализован невырожденно в некоторых неевклидовых пространствах, например, на поверхности сферы или тора . Например, двуугольник может быть реализован невырожденно как сферическая луночка . Моногон {1} также может быть реализован на сфере как одна точка с большой окружностью, проходящей через нее. ^[7] Однако моногон не является допустимым абстрактным многогранником , поскольку его единственное ребро инцидентно только одной вершине, а не двум.

Звезды

Существует бесконечно много правильных звездчатых многогранников в двух измерениях, символы Шлефли которых состоят из рациональных чисел { n / m } . Они называются звездчатыми многоугольниками и имеют те же самые расположения вершин , что и выпуклые правильные многоугольники.

В общем случае для любого натурального числа n существуют правильные n -конечные звезды с символами Шлефли { n / m } для всех m, таких что m < n /2 (строго говоря { n / m } = { n /( n − m )} ) и m и n являются взаимно простыми (таким образом, все звёздчатые формы многоугольника с простым числом сторон будут правильными звездами). Символы, где m и n не являются взаимно простыми, могут использоваться для представления составных многоугольников.

Могут существовать звездчатые многоугольники, которые могут существовать только в виде сферических мозаик, подобно одноугольнику и двуугольнику (например: {3/2}, {5/3}, {5/4}, {7/4}, {9/5}), однако они не были подробно изучены.

Существуют также неудавшиеся звездчатые многоугольники, такие как пианг , которые не покрывают поверхность круга конечное число раз. ^[8]

Наклонные многоугольники

В дополнение к плоским правильным многоугольникам существует бесконечно много правильных косых многоугольников . Косые многоугольники могут быть созданы с помощью операции смешивания.

Смесь двух многоугольников P и Q , обозначаемая P # Q , может быть построена следующим образом:

1. возьмем декартово произведение их вершин V _P × V _Q .
2. добавить ребра ( p ₀ × q ₀ , p ₁ × q ₁ ) , где ( p ₀ , p ₁ ) — ребро P , а ( q ₀ , q ₁ ) — ребро Q .
3. выберите произвольный связный компонент результата.

В качестве альтернативы, смешивание представляет собой многоугольник ⟨ ρ ₀ σ ₀ , ρ ₁ σ ₁ ⟩, где ρ и σ являются порождающими зеркалами P и Q, размещенными в ортогональных подпространствах. ^[9] Операция смешивания является коммутативной, ассоциативной и идемпотентной.

Каждый правильный косой многоугольник может быть выражен как смесь уникального ^[i] набора плоских многоугольников. ^[9] Если P и Q не имеют общих множителей, то Dim( P # Q ) = Dim( P ) + Dim( Q ) .

В 3 пространстве

Правильные конечные многоугольники в 3-мерном пространстве являются в точности смесью плоских многоугольников (измерение 2) с двуугольником (измерение 1). Они имеют вершины, соответствующие призме ( { n / m }#{} , где n нечетное) или антипризме ( { n / m }#{} , где n четное). Все многоугольники в 3-мерном пространстве имеют четное число вершин и ребер.

Некоторые из них выглядят как многоугольники Петри правильных многогранников.

В 4 пространстве

Правильные конечные многоугольники в 4 измерениях — это в точности многоугольники, образованные как смесь двух различных плоских многоугольников. Они имеют вершины, лежащие на торе Клиффорда и связанные смещением Клиффорда . В отличие от 3-мерных многоугольников, косые многоугольники на двойных вращениях могут включать нечетное число сторон.

3-многогранники (многогранники)

Многогранники ранга 3 называются многогранниками :

Правильный многогранник с символом Шлефли { p , q } , диаграммы Кокстера, имеет правильный тип лица { p } и правильную вершинную фигуру { q } .

Вершинная фигура (многогранника) — это многоугольник, видимый путем соединения тех вершин, которые находятся на расстоянии одного ребра от данной вершины. Для правильных многогранников эта вершинная фигура всегда является правильным (и плоским) многоугольником.

Существование правильного многогранника { p , q } ограничено неравенством, связанным с дефектом угла вершинной фигуры : $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}>{\frac {1}{2}}:{\text{Polyhedron (existing in Euclidean 3-space)}}\\[6pt]&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{2}}:{\text{Euclidean plane tiling}}\\[6pt]&{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}<{\frac {1}{2}}:{\text{Hyperbolic plane tiling}}\end{aligned}}}$$

Перечисляя перестановки , мы находим пять выпуклых форм, четыре звездчатые формы и три плоские мозаики, все с многоугольниками { p } и { q }, ограниченными: {3}, {4}, {5}, {5/2} и {6}.

За пределами евклидова пространства существует бесконечное множество правильных гиперболических мозаик.

Выпуклый

Пять выпуклых правильных многогранников называются Платоновыми телами . Фигура вершины дана с каждым числом вершин. Все эти многогранники имеют эйлерову характеристику (χ), равную 2.

Сферический

В сферической геометрии существуют правильные сферические многогранники ( мозаики сферы ), которые в противном случае были бы вырождены как многогранники. Это осоэдры { 2,n} и их двойственные диэдры {n,2}. Коксетер называет эти случаи «неправильными» мозаиками. ^[10]

Ниже перечислены первые несколько случаев (n от 2 до 6).

Звездчатые диэдры и осоэдры { p / q , 2} и {2, p / q } также существуют для любого звездчатого многоугольника { p / q } .

Звезды

Правильные звездчатые многогранники называются многогранниками Кеплера–Пуансо , и их существует четыре, в зависимости от расположения вершин додекаэдра {5,3} и икосаэдра {3,5}:

Как сферические мозаики , эти звездные формы перекрывают сферу несколько раз, что называется ее плотностью , которая для этих форм составляет 3 или 7. Изображения мозаики показывают одну сферическую многоугольную грань желтого цвета.

Существует бесконечно много неудавшихся звездчатых многогранников. Это также сферические мозаики со звездчатыми многоугольниками в символах Шлефли, но они не покрывают сферу конечное число раз. Вот некоторые примеры: {5/2,4}, {5/2,9}, {7/2,3}, {5/2,5/2}, {7/2,7/3}, {4,5/2} и {3,7/3}.

Косые многогранники

Правильные косые многогранники являются обобщениями множества правильных многогранников , которые включают возможность неплоских вершинных фигур .

Для 4-мерных косых многогранников Коксетер предложил модифицированный символ Шлефли {l,m|n} для этих фигур, где {l,m} подразумевает вершинную фигуру , m l-угольников вокруг вершины и n -угольных отверстий. Их вершинные фигуры являются косыми многоугольниками , зигзагообразными между двумя плоскостями.

Правильные косые многогранники, представленные как {l,m|n}, следуют этому уравнению:

$${\displaystyle 2\sin \left({\frac {\pi }{l}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{m}}\right)=\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$$

Четыре из них можно рассматривать в 4-мерном пространстве как подмножество граней четырех правильных 4-мерных многогранников , имеющих одинаковое расположение вершин и ребер :

4-многогранники

Правильные 4-мерные многогранники с символом Шлефли имеют ячейки типа , грани типа , реберные фигуры и вершинные фигуры . ${\displaystyle \{p,q,r\}}$ ${\displaystyle \{p,q\}}$ ${\displaystyle \{p\}}$ ${\displaystyle \{r\}}$ ${\displaystyle \{q,r\}}$

• Вершинная фигура ( 4-политопа) — это многогранник, рассматриваемый по расположению соседних вершин вокруг данной вершины. Для правильных 4-политопов эта вершинная фигура — правильный многогранник.
• Фигура ребра — это многоугольник, рассматриваемый по расположению граней вокруг ребра. Для правильных 4-многогранников эта фигура ребра всегда будет правильным многоугольником.

Существование правильного 4-политопа ограничено существованием правильных многогранников . Предложенное название для 4-политопа — «полихор». ^[11] ${\displaystyle \{p,q,r\}}$ ${\displaystyle \{p,q\},\{q,r\}}$

Каждый будет существовать в пространстве, зависящем от этого выражения:

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{r}}\right)-\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)}$

${\displaystyle >0}$ : Гиперсферические 3-пространственные соты или 4-многогранники

${\displaystyle =0}$ : Евклидовы трехмерные соты

${\displaystyle <0}$ : Гиперболические 3-мерные соты

Эти ограничения допускают 21 форму: 6 выпуклых, 10 невыпуклых, одна представляет собой евклидовы трехмерные соты и 4 — гиперболические соты.

Характеристика Эйлера для выпуклых 4-мерных многогранников равна нулю: ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi =V+F-E-C=0}$

Выпуклый

В таблице ниже показаны 6 выпуклых правильных 4-многогранников . Все эти 4-многогранники имеют эйлерову характеристику (χ), равную 0.

Сферический

Ди-4-топы и хосо-4-топы существуют как регулярные мозаики 3-сферы .

Регулярные ди-4-топы (2 грани) включают: {3,3,2}, {3,4,2}, {4,3,2}, {5,3,2}, {3,5,2}, {p,2,2}, и их двойственные хосо-4-топы (2 вершины): {2,3,3}, {2,4,3}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,5,3}, {2,2, p }. 4-многогранники вида {2, p ,2} такие же, как {2,2, p }. Существуют также случаи { p ,2, q }, которые имеют двугранные ячейки и осоэдральные вершинные фигуры.

Звезды

Существует десять правильных звездчатых 4-мерных многогранников , которые называются 4-мерными многогранниками Шлефли–Гесса . Их вершины основаны на выпуклых 120-ячейниковых {5,3,3} и 600-ячейниковых {3,3,5} .

Людвиг Шлефли нашел четыре из них и пропустил последние шесть, потому что он не допускал форм, не удовлетворяющих эйлеровой характеристике, в ячейках или фигурах вершин (для торов с нулевыми отверстиями: F+V−E=2). Эдмунд Гесс (1843–1903) завершил полный список из десяти в своей немецкой книге « Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder» (1883)[1].

Существует 4 уникальных расположения ребер и 7 уникальных расположений граней из этих 10 правильных звездчатых 4-мерных многогранников, показанных в виде ортогональных проекций :

Существует 4 неудачных потенциальных правильных звездчатых 4-многогранников: {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}. Их ячейки и вершинные фигуры существуют, но они не покрывают гиперсферу с конечным числом повторений.

Перекошенные 4-мерные многогранники

В дополнение к 16 плоским 4-мерным многогранникам, представленным выше, существует 18 конечных косых многогранников. ^[12] Один из них получается как Петриаль тессеракта, а остальные 17 могут быть образованы путем применения операции каппа к плоским многогранникам и Петриалю тессеракта.

Ранги 5 и выше

5-многогранникам можно присвоить символ , где — тип 4-грани, — тип ячейки, — тип грани, — фигура грани, — реберная фигура, — вершинная фигура. ${\displaystyle \{p,q,r,s\}}$ ${\displaystyle \{p,q,r\}}$ ${\displaystyle \{p,q\}}$ ${\displaystyle \{p\}}$ ${\displaystyle \{s\}}$ ${\displaystyle \{r,s\}}$ ${\displaystyle \{q,r,s\}}$

Вершинная фигура (5-мерного многогранника) представляет собой 4-мерный многогранник, рассматриваемый по расположению соседних вершин относительно каждой вершины.

Реберная фигура (5-мерного многогранника) представляет собой многогранник, определяемый расположением граней вокруг каждого ребра.

Фигура грани (5-мерного многогранника) представляет собой многоугольник, определяемый расположением ячеек вокруг каждой грани.

Правильный 5-мерный многогранник существует только тогда, когда и являются правильными 4-мерными многогранниками. ${\displaystyle \{p,q,r,s\}}$ ${\displaystyle \{p,q,r\}}$ ${\displaystyle \{q,r,s\}}$

Пространство, в которое он вписывается, основано на выражении:

${\displaystyle {\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{q}}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{p}}\right)}}+{\frac {\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{r}}\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{s}}\right)}}}$

${\displaystyle <1}$ : Сферическая 4-мерная мозаика или 5-мерный многогранник

${\displaystyle =1}$ : Евклидова 4-мерная мозаика

${\displaystyle >1}$ : гиперболическая 4-мерная мозаика

Перечисление этих ограничений дает 3 выпуклых многогранника, ни одного звездного многогранника, 3 мозаики евклидова 4-пространства и 5 мозаик паракомпактного гиперболического 4-пространства. Единственными невыпуклыми правильными многогранниками для рангов 5 и выше являются перекосы.

Выпуклый

В размерностях 5 и выше существует только три вида выпуклых правильных многогранников. ^[13]

Существуют также неправильные случаи, когда некоторые числа в символе Шлефли равны 2. Например, {p,q,r,...2} является неправильным правильным сферическим многогранником, когда {p,q,r...} является правильным сферическим многогранником, а {2,...p,q,r} является неправильным правильным сферическим многогранником, когда {...p,q,r} является правильным сферическим многогранником. Такие многогранники также могут использоваться в качестве граней, давая такие формы, как {p,q,...2...y,z}.

5 измерений

6 измерений

7 измерений

8 измерений

9 измерений

10 измерений

Звездчатые многогранники

Не существует правильных звездчатых многогранников ранга 5 или выше, за исключением вырожденных многогранников, созданных звездчатым произведением звездчатых многогранников более низкого ранга, например, гозотопов и дитопов.

Правильные проективные многогранники

Проективный регулярный ( n +1) -политоп существует, когда исходная регулярная n -сферическая мозаика, {p,q,...}, является центрально-симметричной . Такой политоп называется hemi-{p,q,...} и содержит вдвое меньше элементов. Коксетер дает символ {p,q,...}/2, в то время как МакМаллен пишет {p,q,...} _h/2 , где h — число Коксетера . ^[14]

Правильные многоугольники с четными сторонами имеют полу- 2n -угольные проективные многоугольники, {2p}/2.

Существует 4 правильных проективных многогранника, соответствующих 4 из 5 Платоновых тел .

Полукуб и полуоктаэдр обобщаются как полукубы и полуортоплексы любого ранга .

Правильные проективные многогранники

Правильные проективные 4-мерные многогранники

5 из 6 выпуклых правильных 4-многогранников являются центрально-симметричными порождающими проективными 4-многогранниками. 3 особых случая — это полу-24-ячейник, полу-600-ячейник и полу-120-ячейник.

Правильные проективные 5-мерные многогранники

Только 2 из 3 правильных сферических многогранников центрально симметричны для рангов 5 и выше. Соответствующие правильные проективные многогранники являются полуверсиями правильного гиперкуба и ортоплекса. Они приведены ниже в таблице для ранга 5, например:

Апейротопы

Апейротоп или бесконечный многогранник — это многогранник , имеющий бесконечное число граней . N - апейротоп — это бесконечный n -политоп: 2-апейротоп или апейрогон — это бесконечный многоугольник, 3-апейротоп или апейроэдр — это бесконечный многогранник и т. д .

Существует два основных геометрических класса апейротопов: ^[15]

• Регулярные соты в n измерениях, которые полностью заполняют n -мерное пространство.
• Регулярные косые апейротопы , составляющие n -мерное многообразие в высшем пространстве.

2-апейротопы (апейрогоны)

Прямой апейрогон — это правильное разбиение прямой, разделяющее ее на бесконечное число равных сегментов. Он имеет бесконечное число вершин и ребер. Его символ Шлефли — {∞}, а диаграмма Коксетера.

......

Он существует как предел p -угольника при p , стремящемся к бесконечности, следующим образом:

Апейрогоны на гиперболической плоскости , в частности правильный апейрогон {∞}, могут иметь кривизну, как и конечные многоугольники евклидовой плоскости, с вершинами, описанными орициклами или гиперциклами, а не окружностями .

Правильные апейрогоны, масштабируемые так, чтобы сходиться на бесконечности, имеют символ {∞} и существуют на орициклах, тогда как в более общем случае они могут существовать на гиперциклах.

Выше показаны два правильных гиперболических апейрогона в модели диска Пуанкаре , правый показывает перпендикулярные линии отражения расходящихся фундаментальных доменов , разделенных длиной λ.

Косые апейрогоны

Косой апейрогон в двух измерениях образует зигзагообразную линию на плоскости. Если зигзаг ровный и симметричный, то апейрогон правильный.

Косые апейрогоны могут быть построены в любом количестве измерений. В трех измерениях правильный косой апейрогон вычерчивает винтовую спираль и может быть как левым, так и правым.

3-апейротопы (апейроэдры)

Евклидовы мозаики

Существует три правильных мозаики плоскости.

Существует две неправильные правильные мозаики: {∞,2} — апейрогональный диэдр , образованный двумя апейрогонами , каждый из которых заполняет половину плоскости; и, во-вторых, его двойственная мозаика {2,∞} — апейрогональный осоэдр , рассматриваемый как бесконечное множество параллельных линий.

Евклидовы звездные мозаики

Не существует правильных плоских мозаик звездчатых многоугольников . Существует много нумераций, которые помещаются на плоскости (1/ p + 1/ q = 1/2), например {8/3,8}, {10/3,5}, {5/2,10}, {12/5,12} и т. д., но ни одна из них не повторяется периодически.

Гиперболические мозаики

Замощения гиперболического 2-пространства являются гиперболическими мозаиками . Существует бесконечно много правильных мозаик в H ² . Как указано выше, каждая положительная целая пара { p , q } такая, что 1/ p  + 1/ q < 1/2 дает гиперболическую мозаику. Фактически, для общего треугольника Шварца ( p ,  q ,  r ) то же самое справедливо для 1/ p  + 1/ q  + 1/ r < 1.

Существует несколько различных способов отображения гиперболической плоскости, включая модель диска Пуанкаре , которая отображает плоскость в окружность, как показано ниже. Следует признать, что все полигональные грани в мозаиках ниже имеют одинаковый размер и кажутся меньше только вблизи краев из-за примененной проекции, что очень похоже на эффект объектива «рыбий глаз» камеры .

Существует бесконечно много плоских правильных 3-апейротопов (апейроэдров) как правильных мозаик гиперболической плоскости вида {p,q}, где p+q<pq/2.

• {3,7}, {3,8}, {3,9} ... {3,∞}
• {4,5}, {4,6}, {4,7} ... {4,∞}
• {5,4}, {5,5}, {5,6} ... {5,∞}
• {6,4}, {6,5}, {6,6} ... {6,∞}
• {7,3}, {7,4}, {7,5} ... {7,∞}
• {8,3}, {8,4}, {8,5} ... {8,∞}
• {9,3}, {9,4}, {9,5} ... {9,∞}
• ...
• {∞,3}, {∞,4}, {∞,5} ... {∞,∞}

Выборка:

Укладки {p, ∞} имеют идеальные вершины на краю модели диска Пуанкаре. Их дуалы {∞, p} имеют идеальные апейрогональные грани, что означает, что они вписаны в орициклы . Можно пойти дальше (как это сделано в таблице выше) и найти укладки с ультраидеальными вершинами вне диска Пуанкаре, которые являются дуальными плиткам, вписанным в гиперциклы ; в том, что обозначено {p, iπ/λ} выше, бесконечно много плиток все еще помещаются вокруг каждой ультраидеальной вершины. ^[16] (Параллельные линии в расширенном гиперболическом пространстве встречаются в идеальной точке; ультрапараллельные линии встречаются в ультраидеальной точке.) ^[17]

Гиперболические звездные мозаики

Существует 2 бесконечных вида гиперболических мозаик, грани или вершинные фигуры которых являются звездчатыми многоугольниками: { m /2, m } и их двойственные { m , m /2} с m = 7, 9, 11, .... ^[18] Мозаики { m /2, m } являются звездчатыми формами мозаик { m , 3}, тогда как двойственные мозаики { m , m /2} являются огранками мозаик {3, m } и увеличениями ^[ii] мозаик { m , 3}.

Модели { m /2, m } и { m , m /2} продолжаются для нечетных m < 7 как многогранники : когда m = 5, мы получаем малый звездчатый додекаэдр и большой додекаэдр , ^[18] а когда m = 3, случай вырождается в тетраэдр . Два других многогранника Кеплера–Пуансо ( большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр ) не имеют аналогов правильных гиперболических мозаик. Если m четное, в зависимости от того, как мы выбираем определение { m /2}, мы можем получить либо вырожденные двойные покрытия других мозаик, либо составные мозаики.

Косые апейроэдры в евклидовом 3-мерном пространстве

В евклидовом трехмерном пространстве имеются три правильных косых апейроэдра с плоскими гранями. ^{[19] [20] [21]} Они имеют одинаковое расположение вершин и ребер , как и три выпуклые однородные соты .

• 6 квадратов вокруг каждой вершины: {4,6|4}
• 4 шестиугольника вокруг каждой вершины: {6,4|4}
• 6 шестиугольников вокруг каждой вершины: {6,6|3}

12 «чистых» апейроэдров в евклидовом 3-пространстве, основанных на структуре кубических сот , {4,3,4}. ^[22] Двойственный оператор π Петри заменяет грани многоугольниками Петри ; δ — двойственный оператор, меняющий местами вершины и грани; φ _k — оператор огранки k- го порядка; η — оператор деления пополам, а σ — оператор перекашивания пополам.

С учетом косых граней в евклидовом трехмерном пространстве существует 24 правильных апейроэдра. ^[23] К ним относятся 12 апейроэдров, созданных путем смешивания с евклидовыми апейроэдрами, и 12 чистых апейроэдров, включая 3 вышеприведенных, которые не могут быть выражены как нетривиальное смешивание.

Эти чистые апейроэдры:

• {4,6|4} , слизистая оболочка
• {∞,6} _4,4 , Петриал слизистой оболочки
• {6,6|3} , мутетраэдр
• {∞,6} _6,3 , Петриал мутетраэдра
• {6,4|4} , муоктаэдр
• {∞,4} _6,4 , Петриал муоктаэдра
• {6,6} ₄ , деление пополам мукуба
• {4,6} ₆ , Петриал {6,6} ₄
• {∞,4} _·,*3 , перекос мюоктаэдра
• {6,4} ₆ , Петриал {∞,4} _·,*3
• {∞,3} ^{( а )}
• {∞,3} ^{( б )}

Косые апейроэдры в гиперболическом 3-мерном пространстве

Существует 31 правильный косой апейроэдр с выпуклыми гранями в гиперболическом 3-мерном пространстве с компактной или паракомпактной симметрией: ^[24]

• 14 компактны: {8,10|3}, {10,8|3}, {10,4|3}, {4,10|3}, {6,4|5}, {4,6|5}, {10,6|3}, {6,10|3}, {8,8|3}, {6,6|4}, {10,10|3},{6,6|5}, {8,6|3} и {6,8|3}.
• 17 являются паракомпактными: {12,10|3}, {10,12|3}, {12,4|3}, {4,12|3}, {6,4|6}, {4,6|6}, {8,4|4}, {4,8|4}, {12,6|3}, {6,12|3}, {12,12|3}, {6,6|6}, {8,6|4}, {6,8|4}, {12,8|3}, {8,12|3} и {8,8|4}.

4-апейротопы

Замощения евклидова трехмерного пространства

Краевой каркас из кубических сот, {4,3,4}

Существует только одна невырожденная регулярная мозаика 3-мерного пространства ( соты ), {4, 3, 4}: ^[25]

Неправильные мозаики евклидова трехмерного пространства

Правильные соты {2,4,4}, проецирующиеся в сферу.

Существует шесть неправильных правильных мозаик, пар, основанных на трех правильных евклидовых мозаиках. Их ячейки и вершинные фигуры — все правильные осоэдры {2,n}, диэдры , {n,2} и евклидовы мозаики. Эти неправильные правильные мозаики конструктивно связаны с призматическими однородными сотами операциями усечения. Они являются многомерными аналогами апейрогональной мозаики порядка 2 и апейрогонального осоэдра .

Замощения гиперболического 3-мерного пространства

Существует 15 плоских правильных сот гиперболического 3-пространства:

• 4 компактны: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4} и {5,3,5}
• в то время как 11 являются паракомпактными: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} и {6,3,6}.

Замощения гиперболического 3-пространства можно назвать гиперболическими сотами ^{. В H 3} имеется 15 гиперболических сот , 4 компактных и 11 паракомпактных.

Существует также 11 паракомпактных сот H ³ (с бесконечными (евклидовыми) ячейками и/или вершинными фигурами): {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} и {6,3,6}.

Некомпактные решения существуют как лоренцевы группы Коксетера и могут быть визуализированы с открытыми областями в гиперболическом пространстве (фундаментальный тетраэдр с ультраидеальными вершинами). Все соты с гиперболическими ячейками или вершинными фигурами и не имеющие 2 в своем символе Шлефли, являются некомпактными.

^{В H 3} нет правильных гиперболических звездчатых сот : все формы с правильным звездчатым многогранником в качестве ячейки, вершинной фигуры или того и другого в конечном итоге оказываются сферическими.

Идеальные вершины теперь появляются, когда вершинная фигура является евклидовой мозаикой, становясь вписываемой в орисферу, а не в сферу. Они двойственны идеальным ячейкам (евклидовым мозаикам, а не конечным многогранникам). По мере того, как последнее число в символе Шлефли увеличивается дальше, вершинная фигура становится гиперболической, а вершины становятся ультраидеальными (поэтому ребра не встречаются в гиперболическом пространстве). В сотах {p, q, ∞} ребра пересекают шар Пуанкаре только в одной идеальной точке; остальная часть ребра стала ультраидеальной. Дальнейшее продолжение привело бы к ребрам, которые являются полностью ультраидеальными, как для сот, так и для фундаментального симплекса (хотя все еще бесконечно много {p, q} встретились бы на таких ребрах). В общем случае, когда последнее число символа Шлефли становится равным ∞, грани коразмерности два пересекают гипершар Пуанкаре только в одной идеальной точке. ^[16]

5-апейротопы

Замощения евклидова 4-мерного пространства

Существует три вида бесконечных регулярных мозаик ( сот ), которые могут замостить евклидово четырехмерное пространство:

Существуют также два неправильных случая {4,3,4,2} и {2,4,3,4}.

Существует три плоских правильных сот евклидова 4-мерного пространства: ^[25]

• {4,3,3,4}, {3,3,4,3} и {3,4,3,3}.

Существует семь плоских правильных выпуклых сот гиперболического 4-пространства: ^[18]

• 5 компактны: {3,3,3,5}, {5,3,3,3}, {4,3,3,5}, {5,3,3,4}, {5,3,3,5}
• 2 являются паракомпактными: {3,4,3,4} и {4,3,4,3}.

Существует четыре плоских правильных звездчатых соты гиперболического 4-пространства: ^[18]

• {5/2,5,3,3}, {3,3,5,5/2}, {3,5,5/2,5} и {5,5/2,5,3}.

Замощения гиперболического 4-мерного пространства

^{В пространстве H4} имеется семь выпуклых правильных сот и четыре звездных соты . ^[26] Пять выпуклых сот компактны, а две — паракомпактны.

Пять компактных правильных сот в H ⁴ :

Две паракомпактные регулярные соты H ⁴ — это: {3,4,3,4}, {4,3,4,3}.

Некомпактные решения существуют как лоренцевы группы Коксетера и могут быть визуализированы с открытыми областями в гиперболическом пространстве (фундаментальная 5-ячейка, имеющая некоторые части, недоступные за бесконечностью). Все соты, которые не показаны в наборе таблиц ниже и не имеют 2 в своем символе Шлефли, являются некомпактными.

Звездные мозаики гиперболического 4-мерного пространства

^{В пространстве H4} имеется четыре правильные звездные соты , все компактные:

6-апейротопы

Существует только одна плоская правильная сота евклидова 5-мерного пространства: (ранее перечисленная выше как мозаика) ^[25]

• {4,3,3,3,4}

Существует пять плоских правильных сот гиперболического 5-мерного пространства, все паракомпактные: (ранее перечисленные выше как мозаики) ^[18]

• {3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,4,3,3,4} и {4,3,3,4,3}

Замощения евклидова 5-мерного пространства

Гиперкубические соты — единственное семейство обычных сот, которые могут представлять собой мозаику из пяти и более измерений, образованных гранями гиперкуба , по четыре вокруг каждого ребра .

В E ⁵ также есть несобственные случаи {4,3,3,4,2}, {2,4,3,3,4}, {3,3,4,3,2}, {2,3,3,4,3}, {3,4,3,3,2} и {2,3,4,3,3}. В E ⁿ {4,3 ⁿ⁻³ ,4,2} и {2,4,3 ⁿ⁻³ ,4} всегда являются несобственными евклидовыми мозаиками.

Замощения гиперболического 5-мерного пространства

^{В H 5} имеется 5 правильных сот , все паракомпактные, которые включают бесконечные (евклидовы) грани или вершинные фигуры: {3,4,3,3,3}, {3,3,4,3,3}, {3,3,3,4,3}, {3,4,3,3,4} и {4,3,3,4,3}.

Не существует компактных регулярных замощений гиперболического пространства размерности 5 или выше и не существует паракомпактных регулярных замощений в гиперболическом пространстве размерности 6 или выше.

Поскольку не существует правильных звездчатых n -многогранников для n ≥ 5, которые могли бы быть потенциальными ячейками или вершинными фигурами, в H ⁿ  больше нет гиперболических звездчатых сот для n  ≥ 5.

Апейротопы ранга 7 и более

Замощения гиперболического 6-мерного пространства и выше

Не существует регулярных компактных или паракомпактных мозаик гиперболического пространства размерности 6 или выше. Однако любой символ Шлефли вида {p,q,r,s,...}, не описанный выше (p,q,r,s,... натуральные числа больше 2 или бесконечности), будет образовывать некомпактную мозаику гиперболического n -пространства. ^[16]

Абстрактные многогранники

Абстрактные многогранники возникли из попытки изучать многогранники отдельно от геометрического пространства, в которое они встроены. Они включают в себя мозаики сферического, евклидова и гиперболического пространства, а также других многообразий . Существует бесконечно много каждого ранга больше 1. См. этот атлас для примера. Некоторые примечательные примеры абстрактных правильных многогранников, которые не появляются в других местах этого списка, — это 11-ячеечный , {3,5,3}, и 57-ячеечный , {5,3,5}, которые имеют правильные проективные многогранники в качестве ячеек и вершинных фигур.

Элементами абстрактного многогранника являются его тело (максимальный элемент), его грани, ребра, вершины и нулевой многогранник или пустое множество. Эти абстрактные элементы могут быть отображены в обычное пространство или реализованы как геометрические фигуры. Некоторые абстрактные многогранники имеют хорошо сформированные или точные реализации, другие — нет. Флаг — это связный набор элементов каждого ранга — для многогранника, который является телом, гранью, ребром грани, вершиной ребра и нулевым многогранником. Абстрактный многогранник называется правильным, если его комбинаторные симметрии транзитивны на его флагах — то есть любой флаг может быть отображен на любой другой при симметрии многогранника. Абстрактные правильные многогранники остаются активной областью исследований.

Пять таких правильных абстрактных многогранников, которые не могут быть реализованы точно и симметрично, были идентифицированы HSM Coxeter в его книге Regular Polytopes (1977) и снова JM Wills в его статье "The combinatorially regular polyhedras of index 2" (1987). ^[27] Все они топологически эквивалентны торам . Их построение, путем размещения n граней вокруг каждой вершины, может быть повторено бесконечно как мозаики гиперболической плоскости . На диаграммах ниже изображения гиперболических мозаик имеют цвета, соответствующие цветам изображений многогранников.

Они встречаются в виде дуальных пар следующим образом:

• Медиальный ромбический триаконтаэдр и додекадодекаэдр являются двойственными друг другу.
• Медиальный триамбический икосаэдр и дитригональный додекадодекаэдр являются двойственными друг другу.
• Выкопанный додекаэдр является самодвойственным.

Смотрите также

• Список соединений правильных многогранников
• Полигон
• Многогранник
• Платоновы тела
• Тела Кеплера–Пуансо
• 4-многогранник
• Правильный 4-многогранник (16 правильных 4-многогранников, 4 выпуклых и 10 звездочек (Шлефли – Гесса))
• Тесселяция
• Мозаики правильных многоугольников
• Выпуклые однородные соты
• Регулярная карта (теория графов)

Примечания

1. (до тождества и идемпотентности)
2. В классификации, предложенной Конвеем и принятой Кокстером , ^[a] звездчатость относится к расширению ребер, а увеличение — к расширению граней; термин «увеличение» применяется для обозначения расширения ячеек (полихоры), хотя он, по-видимому, используется реже. ^[b]

Подзаметки

1. Coxeter, HMS (1975). Правильные комплексные многогранники (1-е изд.). Cambridge University Press. стр. 46–7. ISBN  9780521201254.
2. См.: Inchbald, Guy (9 сентября 2024 г.). «Stellating and Facetting – A Brief History». Страница Guy’s Polyhedra . Архивировано из оригинала 20 мая 2024 г.

Ссылки

1. McMullen, Peter (2004), «Правильные многогранники полного ранга», Discrete & Computational Geometry , 32 : 1–35, doi :10.1007/s00454-004-0848-5, S2CID  46707382
2. Коксетер (1973), стр. 129.
3. МакМаллен и Шульте (2002), стр. 30.
4. Джонсон, NW (2018). "Глава 11: Конечные группы симметрии". Геометрии и преобразования . Издательство Кембриджского университета. 11.1 Многогранники и соты, стр. 224. ISBN 978-1-107-10340-5.
5. Коксетер (1973), стр. 120.
6. Коксетер (1973), стр. 124.
7. Коксетер, Правильные комплексные многогранники , стр. 9
8. Дункан, Хью (28 сентября 2017 г.). «Между квадратным камнем и твёрдым пятиугольником: дробные многоугольники». chalkdust .
9. МакМаллен и Шульте 2002.
10. Коксетер (1973), стр. 66–67.
11. Аннотации (PDF) . Выпуклые и абстрактные многогранники (19–21 мая 2005 г.) и День многогранников в Калгари (22 мая 2005 г.).
12. МакМаллен (2004).
13. Коксетер (1973), Таблица I: Правильные многогранники, (iii) Три правильных многогранника в n измерениях (n>=5), стр. 294–295.
14. МакМаллен и Шульте (2002), «6C проективные правильные многогранники», стр. 162–165.
15. Грюнбаум, Б. (1977). «Правильные многогранники — старые и новые». Математические уравнения . 16 (1–2): 1–20. дои : 10.1007/BF01836414. S2CID  125049930.
16. Ройс Нельсон и Генри Сегерман, Визуализация гиперболических сот
17. Ирвинг Адлер, Новый взгляд на геометрию (издание Дувра 2012 г.), стр. 233
18. Coxeter (1999), «Глава 10».
19. Коксетер, Х. С. М. (1938). «Правильные косые многогранники в трех и четырех измерениях». Proc. London Math. Soc . 2. 43 : 33–62. doi :10.1112/plms/s2-43.1.33.
20. Коксетер, HSM (1985). «Правильные и полуправильные многогранники II». Mathematische Zeitschrift . 188 (4): 559–591. дои : 10.1007/BF01161657. S2CID  120429557.
21. Конвей, Джон Х.; Берджил, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (2008). "Глава 23: Объекты с первичной симметрией, бесконечные платоновы многогранники". Симметрии вещей . Тейлор и Фрэнсис. стр. 333–335. ISBN 978-1-568-81220-5.
22. МакМаллен и Шульте (2002), стр. 224.
23. МакМаллен и Шульте (2002), Раздел 7E.
24. Гарнер, CWL (1967). «Правильные косые многогранники в гиперболическом трехмерном пространстве». Can. J. Math . 19 : 1179–1186. doi : 10.4153/CJM-1967-106-9 . S2CID  124086497.Примечание: в его статье говорится, что их 32, но одно из них самодвойственно, что оставляет 31.
25. Coxeter (1973), Таблица II: Регулярные соты, стр. 296.
26. Коксетер (1999), «Глава 10», Таблица IV, стр. 213.
27. Дэвид А. Рихтер. "Правильные многогранники (индекса два)". Архивировано из оригинала 2016-03-04 . Получено 2015-03-13 .

Цитаты

• Коксетер, Х. С. М. (1999), «Глава 10: Регулярные соты в гиперболическом пространстве», Красота геометрии: Двенадцать эссе , Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., стр. 199–214, ISBN 0-486-40919-8, LCCN  99035678, MR  1717154. См., в частности, Сводные таблицы II, III, IV, V, стр. 212–213.
  • Первоначально опубликовано в Coxeter, HSM (1956), "Регулярные соты в гиперболическом пространстве" (PDF) , Труды Международного конгресса математиков, 1954, Амстердам , т. III, Амстердам: North-Holland Publishing Co., стр. 155–169, MR  0087114, архивировано из оригинала (PDF) 2015-04-02.
• Коксетер, HSM (1973) [1948]. Правильные многогранники (третье изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-61480-8. MR  0370327. OCLC  798003.См., в частности, Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296.
• Джонсон, Норман В. (2012), «Регулярные инверсные многогранники» (PDF) , Международная конференция по математике расстояний и ее приложениям (2–5 июля 2012 г., Варна, Болгария) , стр. 85–95, статья 27
• МакМаллен, Питер ; Шульте, Эгон (2002), Абстрактные правильные многогранники , Энциклопедия математики и ее приложений, т. 92, Кембридж: Cambridge University Press, doi : 10.1017/CBO9780511546686, ISBN 0-521-81496-0, MR  1965665, S2CID  115688843
• МакМаллен, Питер (2018), «Новые регулярные соединения 4-многогранников», Новые тенденции в интуитивной геометрии , Математические исследования общества Бойяи, т. 27, стр. 307–320, doi :10.1007/978-3-662-57413-3_12, ISBN 978-3-662-57412-6.
• Нельсон, Ройс; Сегерман, Генри (2015). «Визуализация гиперболических сот». arXiv : 1511.02851 [math.HO].hyperbolichoneycombs.org/
• Соммервилл, DMY (1958), Введение в геометрию n измерений , Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., MR  0100239. Переиздание издания 1930 г., опубликованное EP Dutton. См. в частности главу X: Правильные многогранники.

Внешние ссылки

• Платоновы тела
• Многогранники Кеплера-Пуансо
• Правильные 4d-многогранники
• Многомерный глоссарий (см. Hexacosichoron и Hecatonicosachoron)
• Просмотрщик многогранников
• Многогранники и оптимальная упаковка p точек в n-мерных сферах
• Атлас малых правильных многогранников
• Правильные многогранники во времени I. Хабард, многогранники, карты и их симметрии
• Правильные звездные многогранники, Нан Ма