В теории диатонических множеств правильность Ротенберга является важной концепцией, отсутствием противоречий и двусмысленности в общей теории музыкальных гамм , которая была введена Дэвидом Ротенбергом в основополагающей серии статей в 1978 году. Эта концепция была независимо открыта в более узком контексте Джеральдом Бальзано, который назвал ее когерентностью .
«Ротенберг называет гамму «строго правильной», если она обладает общим порядком, «правильной», если она допускает двусмысленности, но не противоречия, и «неправильной», если она допускает противоречия». [1] Гамма строго правильная, если все двухступенные интервалы больше любого одноступенчатого интервала, все трехступенные интервалы больше любого двухступенчатого интервала и т. д. Например, в диатонической гамме одноступенные интервалы — это полутон (1) и тон (2), двухступенные интервалы — это малая (3) и большая (4) терция, трехступенные интервалы — это кварта (5) и тритон (6), четырехступенные интервалы — это квинта (7) и тритон (6), пятиступенные интервалы — это малая (8) и большая (9) секста, а шестиступенные интервалы — это малая (t) и большая (e) септима. Таким образом, это не совсем правильно, потому что интервалы из трех шагов и интервалы из четырех шагов имеют одинаковый размер интервала (тритон), что приводит к неоднозначности («два [определенных] интервала, которые звучат одинаково, отображаются в разные коды [общие интервалы]» [2] ). Такая гамма просто называется «правильной».
Например, мажорная пентатоника является строго правильной:
Правильные, но не строго пентатонические гаммы: [2]
Единственная строго правильная пентатоническая гамма:
Правильными, но не строгими гептатоническими шкалами являются: [2]
Правильность также можно рассматривать как гаммы, стабильность которых = 1, при этом стабильность определяется как «отношение числа недвусмысленных ненаправленных интервалов... к общему числу ненаправленных интервалов», в этом случае диатоническая гамма имеет стабильность 20 ⁄ 21 . [2]
Двенадцатиступенная равнотемперированная гамма является строго правильной, как и любая равномерно темперированная гамма, поскольку она имеет только один размер интервала для каждого числа ступеней. Большинство темперированных гамм также являются правильными. В качестве другого примера, отональный гармонический фрагмент 5 ⁄ 4 , 6 ⁄ 4 , 7 ⁄ 4 , 8 ⁄ 4 является строго правильной, с интервалами в один шаг, варьирующимися по размеру от 8 ⁄ 7 до 5 ⁄ 4 , интервалами в два шага, варьирующимися от 4 ⁄ 3 до 3 ⁄ 2 , интервалами в три шага от 8 ⁄ 5 до 7 ⁄ 4 .
Ротенберг выдвигает гипотезу, что правильные гаммы обеспечивают точку или систему отсчета, которая помогает восприятию («стабильный гештальт »), а противоречия неправильных шкал требуют гула или остинато, чтобы обеспечить точку отсчета. [3]
Примером неправильной шкалы является японская шкала Хирадзёши .
Его шаги в полутонах - 2, 1, 4, 1, 4. Интервалы одного тона варьируются от полутона от G до A ♭ до большой терции от A ♭ до C. Интервалы двух тонов варьируются от малой терции от C до E ♭ и тритона от A ♭ до D. Там малая терция как двухтональный интервал меньше большой терции, которая встречается как интервал одного тона, создавая противоречие («противоречие возникает... когда порядок двух конкретных интервалов противоположен порядку соответствующих им общих интервалов». [2] ).
Ротенберг определил правильность в очень общем контексте; однако для почти всех целей достаточно рассмотреть то, что в музыкальных контекстах часто называют периодической шкалой , хотя на самом деле они соответствуют тому, что математики называют квазипериодической функцией . Это гаммы, которые повторяются с определенным фиксированным интервалом выше каждой ноты в определенном конечном наборе нот. Фиксированный интервал обычно составляет октаву , и поэтому гамма состоит из всех нот, принадлежащих конечному числу классов высоты тона . Если β i обозначает элемент гаммы для каждого целого числа i, то β i + ℘ = β i + Ω , где Ω обычно является октавой из 1200 центов, хотя это может быть любое фиксированное количество центов; а ℘ — это количество элементов гаммы в периоде Ω, которое иногда называют размером гаммы.
Для любого i можно рассмотреть множество всех разностей по i шагов между элементами шкалы class( i ) = { β n + i − β n }. Мы можем обычным образом расширить упорядочение элементов множества на сами множества, сказав A < B тогда и только тогда, когда для каждого a ∈ A и b ∈ B имеем a < b . Тогда гамма строго правильная , если i < j влечет class( i ) < class( j ). Она правильная , если i ≤ j влечет class( i ) ≤ class( j ). Строгая правильность влечет правильность, но правильная гамма не обязательно должна быть строго правильной; примером является диатоническая гамма в равномерной темперации , где интервал тритона принадлежит как классу кварты (как увеличенная кварта ), так и классу квинты (как уменьшенная квинта ). Строгая правильность — это то же самое, что и связность в смысле Бальзано.
Класс интервала class (i) modulo Ω зависит только от i modulo ℘, поэтому мы также можем определить версию класса Class( i ) для классов высоты тона modulo Ω , которые называются общими интервалами . Конкретные классы высоты тона, принадлежащие Class(i), тогда называются конкретными интервалами . Класс унисона , Class(0), состоит исключительно из кратных Ω и обычно исключается из рассмотрения, так что число общих интервалов равно ℘ − 1. Следовательно, общие интервалы нумеруются от 1 до ℘ − 1, и шкала является правильной, если для любых двух общих интервалов i < j влечет class( i ) < class( j ). Если мы представим элементы Class( i ) интервалами, уменьшенными до интервалов между унисоном и Ω, мы можем упорядочить их как обычно, и таким образом определить правильность, заявив, что i < j для общих классов влечет Class( i ) < Class( j ). Эта процедура, хотя и гораздо более запутанная, чем первоначально сформулированное определение, представляет собой обычный подход к данному вопросу в теории диатонических множеств .
Рассмотрим диатоническую (мажорную) гамму в общей 12-тоновой равномерной темперации, которая следует схеме (в полутонах) 2-2-1-2-2-2-1. Ни один интервал в этой гамме, охватывающий любое заданное количество ступеней гаммы, не является более узким (состоящим из меньшего количества полутонов), чем интервал, охватывающий меньшее количество ступеней гаммы. Например, в этой гамме нельзя найти кварту, которая была бы меньше терции: самые маленькие кварты имеют ширину в пять полутонов, а самые большие терции — четыре полутона. Поэтому диатоническая гамма является правильной. Однако существует интервал, который содержит то же количество полутонов, что и интервал, охватывающий меньшее количество ступеней гаммы: увеличенная кварта (FGAB) и уменьшенная квинта (BCDEF) имеют ширину в шесть полутонов. Поэтому диатоническая гамма является правильной, но не строго правильной.
С другой стороны, рассмотрим загадочную гамму , которая следует схеме 1-3-2-2-2-1-1. В этой гамме можно найти интервалы, которые уже, чем другие интервалы в гамме, охватывающей меньшее количество ступеней: например, кварта, построенная на 6-й ступени гаммы, имеет ширину в три полутона, в то время как третья, построенная на 2-й ступени гаммы, имеет ширину в пять полутонов. Поэтому загадочная гамма не является правильной.
Бальзано ввел идею попытки охарактеризовать диатоническую гамму с точки зрения правильности. Не существует строго правильных семинотных гамм в 12 равномерно темперированных строях ; однако есть пять правильных гамм, одна из которых — диатоническая. Здесь транспозиция и лады не учитываются отдельно, так что диатоническая гамма охватывает как мажорную диатоническую гамму , так и натуральную минорную гамму, начинающуюся с любой высоты тона. Каждая из этих гамм, если она написана правильно, имеет версию в любой настройке мезонина , и когда квинта ниже 700 центов , все они становятся строго правильными. В частности, пять из семи строго правильных семинотных гамм в 19 равномерно темперированных строях являются одними из этих гамм. Пять гамм таковы:
В любой системе мезонин с квинтами ниже 700 центов также имеется следующий строго правильный строй: CD ♭ EF ♭ GA ♭ B ♭ (что является фригийской доминантой ♭ 4-й ступени).
Диатонический, восходящий минор, гармонический минор, гармонический мажор и эта последняя безымянная гамма все содержат полные круги из трех больших и четырех малых терций, расположенных по-разному. Локрийская мажорная гамма имеет круг из четырех больших и двух малых терций, вместе с уменьшенной терцией , которая в септальной мидтоновой темперации приближается к септальной большой секунде в соотношении 8 ⁄ 7 . Другие гаммы являются всеми гаммами с полным кругом из трех больших и четырех малых терций, что, поскольку ( 5 ⁄ 4 ) 3 ( 6 ⁄ 5 ) 4 = 81 ⁄ 20 , темперировано до двух октав в мидтоновой темперации, указывает на мидтоновую.
Первые три гаммы имеют основополагающее значение для обычной музыкальной практики, а также часто используется гармоническая мажорная гамма, и то, что диатоническая гамма не выделена отдельно, возможно, менее интересно [ по мнению кого? ], чем то, что все основные гаммы диатонической практики таковыми являются.