В математике квазиполе — это алгебраическая структура , где и — бинарные операции над , очень похожая на деление , но с некоторыми более слабыми условиями. Все деления, а значит, и все поля , являются квазиполями.
Квазиполе — это структура, где и — бинарные операции над , удовлетворяющие следующим аксиомам:
Строго говоря, это определение левого квазиполя. Правое квазиполе определяется аналогично, но вместо этого удовлетворяет правой дистрибутивности. Квазиполе, удовлетворяющее обоим законам дистрибутивности, называется полуполем , в том смысле, в котором этот термин используется в проективной геометрии .
Хотя это и не предполагается, можно доказать, что аксиомы подразумевают, что аддитивная группа является абелевой . Таким образом, когда речь идет об абелевом квазиполе , подразумевается, что оно является абелевым.
Ядром квазиполя является множество всех элементов, таких что:
Ограничивая бинарные операции и , можно показать, что является кольцом с делением .
Теперь можно создать векторное пространство размером более , используя следующее скалярное умножение:
Так как конечное тело является конечным полем по теореме Веддерберна , порядок ядра конечного квазиполя является степенью простого числа . Конструкция векторного пространства подразумевает, что порядок любого конечного квазиполя также должен быть степенью простого числа.
Все тела, а значит, и все поля, являются квазиполями.
(Правое) ближнее поле , являющееся (правым) квазиполем, называется «плоским ближним полем».
Наименьшие квазиполя абелевы и единственные. Это конечные поля порядков до восьмого включительно. Наименьшие квазиполя, не являющиеся телами, это четыре неабелевых квазиполя девятого порядка; они представлены в работах Hall (1959) и Weibel (2007).
Для данного квазиполя мы определяем тернарное отображение следующим образом:
Затем можно проверить, что удовлетворяет аксиомам плоского тернарного кольца . Связано с его соответствующей проективной плоскостью . Проективные плоскости, построенные таким образом, характеризуются следующим образом; подробности этой связи приведены в Hall (1959). Проективная плоскость является плоскостью переноса относительно линии на бесконечности тогда и только тогда, когда любое (или все) из ее связанных плоских тернарных колец являются правыми квазиполями. Она называется плоскостью сдвига , если любое (или все) из ее тернарных колец являются левыми квазиполями.
Плоскость не определяет кольцо однозначно; все 4 неабелевых квазиполя порядка 9 являются тернарными кольцами для единственной недезарговой плоскости трансляции порядка 9. Они отличаются фундаментальным четырехугольником , используемым для построения плоскости (см. Weibel 2007).
Квазиполя в литературе до 1975 года назывались «системами Веблена–Веддерберна», поскольку они были впервые изучены в статье 1907 года (Veblen-Wedderburn 1907) О. Веблена и Дж. Веддерберна . Обзоры квазиполей и их приложений к проективным плоскостям можно найти в работах Холла (1959) и Вайбеля (2007).
