В теории множеств , разделе математики , урэлемент или ур-элемент (от немецкого префикса ur- , «изначальный») — это объект, который не является множеством ( не имеет элементов), но может быть элементом множества . Его также называют атомом или индивидуумом . Ур-элементы также не идентичны пустому множеству.
Существует несколько различных, но по сути эквивалентных способов рассмотрения урэлементов в теории первого порядка .
Один из способов — работать в теории первого порядка с двумя сортами, множествами и урэлементами, где a ∈ b определяется только тогда, когда b — множество. В этом случае, если U — урэлемент, нет смысла говорить , хотя это совершенно законно.
Другой способ — работать в односортной теории с унарным отношением, используемым для различения множеств и урэлементов. Поскольку непустые множества содержат элементы, а урэлементы — нет, унарное отношение необходимо только для различения пустого множества и урэлементов. Обратите внимание, что в этом случае аксиома экстенсиональности должна быть сформулирована так, чтобы применяться только к объектам, которые не являются урэлементами.
Эта ситуация аналогична трактовкам теорий множеств и классов . Действительно, урелементы в некотором смысле двойственны собственным классам : урелементы не могут иметь членов, тогда как собственные классы не могут быть членами. Иными словами, урелементы являются минимальными объектами, тогда как собственные классы являются максимальными объектами по отношению членства (которое, конечно, не является отношением порядка, поэтому эту аналогию не следует понимать буквально).
Теория множеств Цермело 1908 года включала праэлементы, и, следовательно, является версией, которая теперь называется ZFA или ZFCA (т. е. ZFA с аксиомой выбора ). [1] Вскоре было осознано, что в контексте этой и тесно связанных аксиоматических теорий множеств праэлементы не нужны, поскольку их можно легко смоделировать в теории множеств без праэлементов. [2] Таким образом, стандартные изложения канонических аксиоматических теорий множеств ZF и ZFC не упоминают праэлементы (для исключения см. Suppes [3] ). Аксиоматизации теории множеств, которые действительно ссылаются на праэлементы, включают теорию множеств Крипке–Платека с праэлементами и вариант теории множеств Фон Неймана–Бернейса–Гёделя, описанный Мендельсоном. [4] В теории типов объект типа 0 можно назвать праэлементом; отсюда и название «атом».
Добавление праэлементов в систему New Foundations (NF) для получения NFU имеет удивительные последствия. В частности, Дженсен доказал [5] непротиворечивость NFU относительно арифметики Пеано ; между тем, непротиворечивость NF относительно чего-либо остается открытой проблемой, ожидающей проверки доказательства Холмса ее непротиворечивости относительно ZF. Более того, NFU остается относительно непротиворечивым , когда дополнен аксиомой бесконечности и аксиомой выбора . Между тем, отрицание аксиомы выбора, как ни странно, является теоремой NF. Холмс (1998) принимает эти факты как доказательство того, что NFU является более успешным основанием для математики, чем NF. Холмс далее утверждает, что теория множеств более естественна с праэлементами, чем без них, поскольку мы можем взять в качестве праэлементов объекты любой теории или физической вселенной . [6] В теории финитных множеств праэлементы сопоставляются с компонентами низшего уровня целевого явления, такими как атомные составляющие физического объекта или члены организации.
Альтернативный подход к урелементам заключается в том, чтобы рассматривать их как особый тип множеств, а не как тип объектов, отличный от множеств. Атомы Куайна (названные в честь Уилларда Ван Ормана Куайна ) — это множества, которые содержат только себя, то есть множества, которые удовлетворяют формуле x = { x }. [7]
Атомы Куайна не могут существовать в системах теории множеств, которые включают аксиому регулярности , но они могут существовать в не вполне обоснованной теории множеств . Теория множеств ZF с удаленной аксиомой регулярности не может доказать, что существуют какие-либо не вполне обоснованные множества (если только она не является противоречивой, в этом случае она докажет любое произвольное утверждение ), но она совместима с существованием атомов Куайна. Аксиома антиоснования Ацеля подразумевает, что существует уникальный атом Куайна. Другие не вполне обоснованные теории могут допускать множество различных атомов Куайна; на противоположном конце спектра лежит аксиома суперуниверсальности Боффы , которая подразумевает, что различные атомы Куайна образуют надлежащий класс . [8]
Атомы Куайна также появляются в «Новых основаниях» Куайна , что допускает существование более одного такого набора. [9]
Атомы Куайна — единственные множества, которые Питер Ацель назвал рефлексивными множествами [ 8 ], хотя другие авторы, например Джон Барвайз и Лоуренс Мосс, используют последний термин для обозначения более широкого класса множеств со свойством x ∈ x [10] .
