Среднее время пребывания (или иногда среднее время ожидания ) объекта в системе — это количество времени, которое объект, как ожидается, проведет в системе, прежде чем навсегда покинуть систему.
Представьте, что вы стоите в очереди за билетом в кассе. Если вы через одну минуту понаблюдаете за количеством клиентов, следующих за вами, это можно рассматривать как (грубую) оценку количества клиентов, входящих в систему (здесь, очередь ожидания) в единицу времени (здесь, минута). Если вы затем разделите количество клиентов перед вами на этот «поток» клиентов, вы только что оценили ожидаемое время ожидания; то есть время, которое вам понадобится, чтобы добраться до стойки, и это действительно приблизительная оценка.
Чтобы немного формализовать это, рассмотрим очередь ожидания как систему S, в которую существует поток частиц (клиентов) и где процесс «купить билет» означает, что частица покидает систему. Время ожидания, которое мы рассмотрели выше, обычно называют временем прохождения, а примененную нами теорему иногда называют теоремой Литтла, которую можно сформулировать следующим образом: ожидаемое число частиц в установившемся состоянии в системе S равно потоку частиц. в S раз среднее время прохождения. Подобные теоремы были обнаружены и в других областях, а в физиологии они ранее были известны как одно из уравнений Стюарта-Гамильтона (например, использовавшееся для оценки объема крови в органах).
Этот принцип (или теорему) можно обобщить. Итак, рассмотрим систему S в виде замкнутой области конечного объема в евклидовом пространстве . И давайте далее рассмотрим ситуацию, когда существует поток «эквивалентных» частиц в S (количество частиц в единицу времени), где каждая частица сохраняет свою идентичность, находясь в S, и в конечном итоге — через конечное время — покидает систему необратимо ( т.е. для этих частиц система «открытая»). Фигура
изображает историю движения мысли одной такой частицы, которая, таким образом, входит и выходит из подсистемы три раза, каждый из которых приводит к транзитному времени, а именно времени, проведенному в подсистеме между входом и выходом. Сумма этих времен прохождения и есть время пребывания s для этой конкретной частицы. Если рассматривать движения частиц как реализации одного и того же случайного процесса, то имеет смысл говорить о среднем значении этого времени пребывания. То есть среднее время пребывания подсистемы — это общее время, которое частица, как ожидается, проведет в подсистеме s, прежде чем навсегда покинет систему S.
Чтобы увидеть практическое значение этой величины, давайте примем в качестве закона физики, что, если поток частиц в S постоянен и все другие соответствующие факторы сохраняются постоянными, S в конечном итоге достигнет устойчивого состояния (т. е. количество и распределение частиц постоянна всюду в S). Затем можно продемонстрировать, что установившееся число частиц в подсистеме s равно потоку частиц в систему S, умноженному на среднее время пребывания подсистемы. Таким образом, это более общая форма того, что выше было названо теоремой Литтла, и ее можно было бы назвать эквивалентностью массы и времени :
который иногда называют принципом занятости (то, что здесь называется средним временем пребывания, затем называется занятостью; возможно, это не такой уж удачный термин, поскольку он предполагает наличие определенного числа «мест» в системе S). Эта массово-временная эквивалентность нашла применение, скажем, в медицине для изучения метаболизма отдельных органов.
Опять же, мы имеем здесь дело с обобщением того, что в теории массового обслуживания иногда называют теоремой Литтла, которая, и это важно, применима только ко всей системе S (а не к произвольной подсистеме, как в массово-временной эквивалентности); среднее время пребывания в теореме Литтла можно интерпретировать как среднее время прохождения.
Как должно быть очевидно из обсуждения рисунка выше, существует фундаментальное различие между значением двух величин: времени пребывания и времени прохождения: общность эквивалентности массы и времени во многом обусловлена особым смыслом понятия время пребывания. Если рассматривать всю систему (как в законе Литтла ), верно ли, что время пребывания всегда равно времени транзита?