stringtranslate.com

Предел (математика)

В математике предел — это значение, к которому приближается функция (или последовательность ), когда входные данные (или индекс) приближаются к некоторому значению . [1] Пределы необходимы для исчисления и математического анализа и используются для определения непрерывности , производных и интегралов .

В формулах предел функции обычно записывают как

и читается как «предел f от x , когда x приближается к c, равен L ». Это означает, что значение функции f можно сделать сколь угодно близким к L , выбрав x достаточно близко к c . Альтернативно, тот факт, что функция f приближается к пределу L , когда x приближается к c , иногда обозначается стрелкой вправо (→ или ), как в

который читается как « стремится к тому, что стремится ».

Понятие предела последовательности далее обобщается до понятия предела топологической сети и тесно связано с пределом и прямым пределом в теории категорий .

Нижний предел и верхний предел обеспечивают обобщение концепции предела, которое особенно актуально, когда предел в какой-то точке может не существовать.

История

Грегуар де Сен-Венсан дал первое определение предела (конца) геометрической серии в своей работе Opus Geometricum (1647): «Конечная точка прогрессии — это конец ряда, которого не может достичь ни одна прогрессия, даже если она продолжается в бесконечности, но к которому она может приблизиться ближе, чем к данному отрезку». [2]

Современное определение предела восходит к Бернару Больцано , который в 1817 году разработал основы метода эпсилон-дельта для определения непрерывных функций. Однако его работа оставалась неизвестной другим математикам вплоть до тридцати лет после его смерти. [3]

Огюстен-Луи Коши в 1821 году [4] , а затем Карл Вейерштрасс формализовал определение предела функции, которое стало известно как (ε, δ)-определение предела .

Современное обозначение размещения стрелки ниже предельного символа принадлежит Г.Х. Харди , который ввел его в своей книге «Курс чистой математики» в 1908 году. [5]

Виды лимитов

В последовательностях

Вещественные числа

Выражение 0,999... следует интерпретировать как предел последовательности 0,9, 0,99, 0,999,... и так далее. Можно строго показать, что эта последовательность имеет предел 1, и поэтому это выражение осмысленно интерпретируется как имеющее значение 1. [6]

Формально предположим, что a 1 , a 2 , … — это последовательность действительных чисел . Когда предел последовательности существует, действительное число L является пределом этой последовательности тогда и только тогда, когда для каждого действительного числа ε > 0 существует натуральное число N такое, что для всех n > N мы имеем | а п - L | < е . [7] Общие обозначения

«Предел n при стремлении n к бесконечности равен L » или «Предел n при стремлении к бесконечности равен L » .

Формальное определение интуитивно означает, что в конечном итоге все элементы последовательности сколь угодно близки к пределу, поскольку абсолютное значение | а п - L | расстояние между n и L. _

Не каждая последовательность имеет предел. Последовательность с пределом называется сходящейся ; в противном случае его называют расходящимся . Можно показать, что сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Предел последовательности и предел функции тесно связаны. С одной стороны , предел при стремлении n к бесконечности последовательности { an } — это просто предел на бесконечности функции a ( n ) , определённой для натуральных чисел { n } . С другой стороны, если X является областью определения функции f ( x ) и если предел f ( x n ) при стремлении n к бесконечности равен L для любой произвольной последовательности точек { x n } в Xx 0 , которая сходится до x 0 , то предел функции f ( x ) при приближении x к x 0 равен L . [8] Одной из таких последовательностей может быть { x 0 + 1/ n } .

Бесконечность как предел

Существует также понятие предела, «стремящегося к бесконечности», а не к конечному значению . Говорят, что последовательность «стремится к бесконечности», если для каждого действительного числа , известного как граница, существует такое целое число , что для каждого

Последовательность может расходиться, но не стремиться к бесконечности. Такие последовательности называются колебательными . Примером колебательной последовательности является .

Существует соответствующее понятие стремления к отрицательной бесконечности, определяемое путем замены неравенства в приведенном выше определении на с

Последовательность с называется неограниченной , и это определение одинаково справедливо для последовательностей в комплексных числах или в любом метрическом пространстве . Последовательности, не стремящиеся к бесконечности, называются ограниченными . Последовательности, не стремящиеся к положительной бесконечности, называются ограниченными сверху , а последовательности, не стремящиеся к отрицательной бесконечности, — ограниченными снизу .

Метрическое пространство

Обсуждение последовательностей выше относится к последовательностям действительных чисел. Понятие пределов может быть определено для последовательностей, оцениваемых в более абстрактных пространствах, таких как метрические пространства . Если - метрическое пространство с функцией расстояния и - последовательность в , то пределом (если он существует) последовательности является такой элемент, что при данном существует такое, что для каждого мы имеем

Пример: ℝ н

Важным примером является пространство -мерных действительных векторов с элементами , каждый из которых является действительным. Примером подходящей функции расстояния является евклидово расстояние , определяемое формулой

Топологическое пространство

В некотором смысле наиболее абстрактным пространством, в котором могут быть определены пределы, являются топологические пространства . Если - топологическое пространство с топологией и - последовательность в , то пределом (если он существует) последовательности является точка такая, что для данной (открытой) окрестности существует такое , что для каждого ,

хаусдорфовым пространством

Функциональное пространство

В этом разделе рассматривается идея пределов последовательностей функций, которую не следует путать с идеей пределов функций, обсуждаемой ниже.

Область функционального анализа частично стремится выявить полезные понятия сходимости в функциональных пространствах. Например, рассмотрим пространство функций от общего набора до . Учитывая последовательность функций , каждая из которых является функцией , предположим, что существует функция такая, что для каждой

Тогда говорят, что последовательность сходится поточечно к . Однако такие последовательности могут демонстрировать неожиданное поведение. Например, можно построить последовательность непрерывных функций, имеющую разрывный поточечный предел.

Другое понятие сходимости — равномерная сходимость . Равномерное расстояние между двумя функциями — это максимальная разница между двумя функциями при изменении аргумента. То есть,

сходитсяравномерный предел

В функциональных пространствах можно определить множество различных понятий сходимости. Иногда это зависит от регулярности пространства. Яркими примерами функциональных пространств с некоторым понятием сходимости являются пространства Lp и пространство Соболева .

В функциях

Функция f ( x ) , для которой предел на бесконечности равен L. Для любого произвольного расстояния ε должно существовать значение S такое, что функция остается в пределах L ± ε для всех x > S.

Предположим , fвещественная функция , а cдействительное число . Интуитивно говоря, выражение

означает, что f ( x ) можно сделать настолько близким к L , насколько это необходимо, сделав x достаточно близким к c . [9] В этом случае приведенное выше уравнение можно прочитать как «предел f для x , когда x приближается к c , равен L ».

Формально определение «предела приближения » дается следующим образом. Пределом является действительное число , так что для произвольного действительного числа (называемого «ошибкой») существует такое , что для любого удовлетворяющего значения оно выполняется . Это известно как (ε, δ)-определение предела .

Неравенство используется для исключения из множества рассматриваемых точек, но некоторые авторы не включают это в свое определение пределов, заменяя просто . Эта замена эквивалентна дополнительному требованию непрерывности при .

Можно доказать, что существует эквивалентное определение, которое демонстрирует связь между пределами последовательностей и пределами функций. [10] Эквивалентное определение дается следующим образом. Сначала заметим, что для каждой последовательности в области , существует связанная последовательность , образ последовательности под . Пределом является действительное число , так что для всех последовательностей соответствующая последовательность .

Односторонний лимит

Можно определить понятие «левого» предела («снизу») и понятие «правого» предела («сверху»). Они не обязательно должны соглашаться. Примером может служить положительная индикаторная функция , , определенная так, что if , и if . В функция имеет «левый предел» 0, «правый предел» 1, и ее предел не существует. Символически это можно выразить как, в данном примере, и , и из этого можно сделать вывод, что его не существует, потому что .

Бесконечность в пределах функций

Понятие «стремление к бесконечности» можно определить в области ,

В этом выражении бесконечность считается подписанной: или или . «Предел f при стремлении x к положительной бесконечности» определяется следующим образом. Это такое действительное число, что для любого вещественного числа существует такое, что если , . Эквивалентно, для любой последовательности мы имеем .

Также можно определить понятие «стремление к бесконечности» в значении ,

Определение дается следующим образом. Учитывая любое действительное число , существует так что для абсолютное значение функции . Эквивалентно, для любой последовательности последовательность .

Нестандартный анализ

В нестандартном анализе (который включает гиперреальное расширение системы счисления) предел последовательности может быть выражен как стандартная часть значения естественного расширения последовательности с бесконечным сверхъестественным индексом n=H . Таким образом,

Здесь стандартная функция части «st» округляет каждое конечное гипердействительное число до ближайшего действительного числа (разница между ними бесконечно мала ). Это формализует естественную интуицию о том, что для «очень больших» значений индекса члены последовательности «очень близки» к предельному значению последовательности. И наоборот, стандартная часть гиперреальности, представленная в сверхстепенной конструкции последовательностью Коши , является просто пределом этой последовательности:

В этом смысле взятие предела и взятие стандартной части являются эквивалентными процедурами.

Предельные наборы

Предельный набор последовательности

Пусть – последовательность в топологическом пространстве . Для конкретности его можно рассматривать как , но определения справедливы в более общем плане. Предельное множество — это множество точек, такое, что если существует сходящаяся подпоследовательность с , то оно принадлежит предельному множеству. В этом контексте такую ​​точку иногда называют предельной точкой.

Это понятие используется для характеристики «долговременного поведения» колебательных последовательностей. Например, рассмотрим последовательность . Начиная с n=1, первые несколько членов этой последовательности равны . Можно проверить, что оно колебательное, поэтому не имеет предела, но имеет предельные точки .

Предельный набор траектории

Это понятие используется в динамических системах для изучения пределов траекторий. При определении траектории как функции точка рассматривается как «положение» траектории во «времени» . Предельное множество траектории определяется следующим образом. Каждой последовательности возрастающих времен соответствует последовательность позиций . Если – предельное множество последовательности для любой последовательности возрастающих времен, то – предельное множество траектории.

Технически это набор -limit. Соответствующее предельное множество для последовательностей уменьшающегося времени называется -предельным множеством.

Наглядным примером является траектория круга: . Это не имеет уникального предела, но для каждого точка является предельной точкой, заданной последовательностью времен . Но предельные точки не обязательно должны достигаться на траектории. Траектория также имеет единичный круг в качестве предельного набора.

Использование

Пределы используются для определения ряда важных понятий анализа.

Ряд

Особым выражением интереса, которое формализуется как предел последовательности, являются суммы бесконечных рядов. Это «бесконечные суммы» действительных чисел, обычно записываемые как

[10]

Классическим примером является Базельская проблема , где . Затем

Однако, хотя для последовательностей существует по сути единственное понятие сходимости, для рядов существуют разные понятия сходимости. Это связано с тем, что выражение не различает различные порядки последовательности , а свойства сходимости последовательности частичных сумм могут зависеть от порядка последовательности.

Ряд, сходящийся при всех порядках, называется безусловно сходящимся . Можно доказать, что это эквивалентно абсолютной сходимости . Это определяется следующим образом. Ряд абсолютно сходится, если он корректно определен. Более того, все возможные порядки дают одно и то же значение.

В противном случае ряд условно сходится . Неожиданным результатом для условно сходящихся рядов является теорема о рядах Римана : в зависимости от порядка частичные суммы могут сходиться к любому действительному числу, а также к .

Силовая серия

Полезное применение теории сумм рядов - для степенных рядов. Это суммы рядов вида

радиус сходимости

Непрерывность функции в точке

Определение непрерывности в точке дается через пределы.

Приведенное выше определение предела верно, даже если . Действительно, функцию f даже не обязательно определять в точке c . Однако если определена и равна , то функция называется непрерывной в точке .

Эквивалентно, функция непрерывна при if as или, в терминах последовательностей, всякий раз , когда , then .

Ниже приведен пример ограничения, для которого значение at не определено .

Рассмотрим функцию

тогда f (1) не определен (см. Неопределенная форма ), однако, когда x приближается к 1, f ( x ) соответственно приближается к 2: [11]

Таким образом, f ( x ) можно сделать сколь угодно близким к пределу 2 — просто сделав x достаточно близким к 1 .

Другими словами,

Это также можно вычислить алгебраически, как и для всех действительных чисел x ≠ 1 .

Теперь, поскольку x + 1 непрерывен по x в точке 1, мы можем подставить 1 вместо x , что приведет к уравнению

Помимо пределов на конечных значениях, функции также могут иметь пределы на бесконечности. Например, рассмотрим функцию

Когда x становится чрезвычайно большим, значение f ( x ) приближается к 2 , и значение f ( x ) можно сделать настолько близким к 2 , насколько пожелаете, — сделав x достаточно большим. Итак, в этом случае предел f ( x ) , когда x приближается к бесконечности, равен 2 или, в математической записи,

Непрерывные функции

Важным классом функций при рассмотрении пределов являются непрерывные функции . Это именно те функции, которые сохраняют пределы в том смысле, что если функция непрерывна, то всякий раз, когда она находится в области , предел существует и, кроме того, равен .

В наиболее общей ситуации топологических пространств краткое доказательство приведено ниже:

Пусть – непрерывная функция между топологическими пространствами и . По определению, для каждого открытого множества в прообраз открыт в .

Теперь предположим, что это последовательность с пределом в . Тогда – последовательность в , и – некоторая точка.

Выберите район . Тогда - открытое множество (по непрерывности ), которое, в частности, содержит и, следовательно, является окрестностью . По сходимости к существует такое, что для имеем .

Тогда применение к обеим сторонам дает то же самое для каждого из нас . Первоначально это была произвольная окрестность , т. е . . На этом доказательство завершается.

В реальном анализе, для более конкретного случая действительнозначных функций, определенных на подмножестве , то есть , непрерывная функция также может быть определена как функция, которая непрерывна в каждой точке своей области определения.

Предельные точки

В топологии пределы используются для определения предельных точек подмножества топологического пространства, которые, в свою очередь, дают полезную характеристику замкнутых множеств .

В топологическом пространстве рассмотрим подмножество . Точка называется предельной, если существует последовательность, в которой .

Причина, по которой определяется значение in, а не just, иллюстрируется следующим примером. Возьмите и . Тогда , и, следовательно, является пределом постоянной последовательности . Но это не предельная точка .

Замкнутое множество, которое определяется как дополнение к открытому множеству, эквивалентно любому множеству, которое содержит все свои предельные точки.

Производная

Производная формально определяется как предел. В рамках реального анализа производная сначала определяется для вещественных функций , определенных на подмножестве . Производная at определяется следующим образом. Если предел

Эквивалентно, это предел на момент

Если производная существует, ее обычно обозначают .

Характеристики

Последовательности действительных чисел

Для последовательностей действительных чисел можно доказать ряд свойств. [10] Предположим, что и — две последовательности, сходящиеся к и соответственно.

Последовательности Коши

Свойство сходящихся последовательностей действительных чисел состоит в том, что они являются последовательностями Коши . [10] Определение последовательности Коши заключается в том, что для каждого действительного числа существует такое, что всякий раз, когда ,

Неформально, для любой сколь угодно малой ошибки можно найти интервал такого диаметра, что в конечном итоге последовательность окажется внутри этого интервала.

Последовательности Коши тесно связаны с сходящимися последовательностями. Фактически для последовательностей действительных чисел они эквивалентны: любая последовательность Коши сходится.

В общих метрических пространствах по-прежнему считается, что сходящиеся последовательности также являются Коши. Но обратное неверно: не каждая последовательность Коши сходится в общем метрическом пространстве. Классический контрпример – рациональные числа , , с обычным расстоянием. Последовательность десятичных приближений к , усеченная на -м десятичном знаке, является последовательностью Коши, но не сходится в .

Метрическое пространство, в котором каждая последовательность Коши также сходится, то есть последовательности Коши эквивалентны сходящимся последовательностям, называется полным метрическим пространством .

Одна из причин, по которой с последовательностями Коши «легче работать», чем со сходящимися последовательностями, заключается в том, что они являются свойством только последовательности, в то время как сходящиеся последовательности требуют не только последовательности , но и предела последовательности .

Порядок схождения

Помимо того, сходится ли последовательность к пределу или нет , можно описать, насколько быстро последовательность сходится к пределу. Один из способов количественной оценки этого — использование порядка сходимости последовательности.

Формальное определение порядка сходимости можно сформулировать следующим образом. Предположим , это последовательность действительных чисел, сходящаяся с пределом . Более того, для всех . Если положительные константы и существуют такие, что

порядком сходимости

Порядок сходимости используется, например, в области численного анализа , при анализе ошибок.

Вычислимость

Ограничения может быть трудно вычислить. Существуют предельные выражения, модуль сходимости которых неразрешим . В теории рекурсии предельная лемма доказывает, что с помощью пределов можно кодировать неразрешимые проблемы. [12]

Есть несколько теорем или тестов, которые показывают, существует ли предел. Они известны как тесты сходимости . Примеры включают тест соотношения и теорему о сжатии . Однако они могут не сказать, как вычислить предел.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: ранние трансценденталисты (6-е изд.). Брукс/Коул . ISBN 978-0-495-01166-8.
  2. ^ Ван Лой, Герман (1984). «Хронология и исторический анализ математических рукописей Грегориуса Санкто Винченцио (1584–1667)». История Математики . 11 (1): 57–75. дои : 10.1016/0315-0860(84)90005-3 .
  3. ^ Фельшер, Уолтер (2000), «Больцано, Коши, Эпсилон, Дельта», American Mathematical Monthly , 107 (9): 844–862, doi : 10.2307/2695743, JSTOR  2695743
  4. ^ Ларсон, Рон ; Эдвардс, Брюс Х. (2010). Исчисление одной переменной (Девятое изд.). Брукс/Коул , Cengage Learning . ISBN 978-0-547-20998-2.
  5. Миллер, Джефф (1 декабря 2004 г.), «Самое раннее использование символов исчисления», заархивировано из оригинала 1 мая 2015 г. , получено 18 декабря 2008 г.
  6. ^ Стиллвелл, Джон (1994), Элементы алгебры: геометрия, числа, уравнения , Спрингер, стр. 42, ISBN 978-1441928399
  7. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Предел». mathworld.wolfram.com . Архивировано из оригинала 20 июня 2020 г. Проверено 18 августа 2020 г.
  8. ^ Апостол (1974, стр. 75–76)
  9. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Определение Эпсилон-Дельта». mathworld.wolfram.com . Архивировано из оригинала 25 июня 2020 г. Проверено 18 августа 2020 г.
  10. ^ abcd Чуа, Декстер. «Анализ I (на основе курса Тимоти Гауэрса)». Заметки из Математического Tripos .
  11. ^ «Предел | Определение, пример и факты» . Британская энциклопедия . Архивировано из оригинала 9 мая 2021 г. Проверено 18 августа 2020 г.
  12. ^ Соаре, Роберт И. (2014). Рекурсивно перечислимые множества и степени: исследование вычислимых функций и вычислимо порожденных множеств. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-66681-3. ОСЛК  1154894968.

Рекомендации

Внешние ссылки