Предельный цикл

Поведение в нелинейной системе

Стабильный предельный цикл (выделен жирным шрифтом) и две другие траектории, входящие в него.

Стабильный предельный цикл (выделен жирным шрифтом) для генератора Ван дер Поля.

В математике , при изучении динамических систем с двумерным фазовым пространством , предельный цикл — это замкнутая траектория в фазовом пространстве, обладающая свойством, что по крайней мере еще одна траектория входит в нее по спирали либо по мере приближения времени к бесконечности, либо по мере приближения времени к отрицательной бесконечности. Такое поведение наблюдается в некоторых нелинейных системах . Предельные циклы использовались для моделирования поведения многих реальных колебательных систем. Начало изучению предельных циклов положил Анри Пуанкаре (1854–1912).

Определение

Рассмотрим двумерную динамическую систему вида

$${\displaystyle x'(t)=V(x(t))}$$

$${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$$

значениязамкнутойпериодической—изображениеорбитациклциклпредельным множеством ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle t_{0}>0}$ ${\displaystyle x(t+t_{0})=x(t)}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Характеристики

По теореме Жордана о кривой каждая замкнутая траектория делит плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю часть кривой.

Учитывая предельный цикл и траекторию внутри него, которая приближается к предельному циклу при приближении времени , тогда существует окрестность вокруг предельного цикла такая, что все траектории внутри него, начинающиеся в окрестности, приближаются к предельному циклу при приближении времени . Соответствующее утверждение справедливо для траектории внутри, приближающейся к предельному циклу за время, приближающееся к , а также для траекторий во внешности, приближающихся к предельному циклу. ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Устойчивые, неустойчивые и полустабильные предельные циклы.

В случае, когда все соседние траектории приближаются к предельному циклу при стремлении времени к бесконечности, его называют устойчивым или притягивающим предельным циклом (ω-предельным циклом). Если вместо этого все соседние траектории приближаются к нему по мере того, как время приближается к отрицательной бесконечности, то это неустойчивый предельный цикл (α-предельный цикл). Если существует соседняя траектория, которая входит в предельный цикл по мере того, как время приближается к бесконечности, и другая, которая входит в него по спирали, когда время приближается к отрицательной бесконечности, то это полустабильный предельный цикл. Существуют также предельные циклы, которые не являются ни устойчивыми, неустойчивыми, ни полустабильными: например, соседняя траектория может приближаться к предельному циклу снаружи, но внутрь предельного цикла приближается семейство других циклов (которые не быть предельные циклы).

Устойчивые предельные циклы являются примерами аттракторов . Они подразумевают автоколебания : замкнутая траектория описывает идеальное периодическое поведение системы, и любое небольшое отклонение от этой замкнутой траектории заставляет систему возвращаться к ней, заставляя систему придерживаться предельного цикла.

Нахождение предельных циклов

Каждая замкнутая траектория содержит внутри себя точку покоя системы, т. е. точку, где . Теорема Бендиксона –Дюлака и теорема Пуанкаре–Бендиксона предсказывают соответственно отсутствие или существование предельных циклов двумерных нелинейных динамических систем. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V'(p)=0}$

Открытые проблемы

Нахождение предельных циклов вообще является очень сложной задачей. Число предельных циклов полиномиального дифференциального уравнения на плоскости является основным предметом второй части шестнадцатой проблемы Гильберта . Неизвестно, например, существует ли на плоскости какая-либо система, обе компоненты которой являются квадратичными многочленами от двух переменных, такая, что система имеет более 4 предельных циклов. ${\displaystyle x'=V(x)}$ ${\displaystyle V}$

Приложения

Примеры предельных циклов, ответвляющихся от неподвижных точек вблизи бифуркации Хопфа . Траектории показаны красным, стабильные структуры — темно-синим, нестабильные структуры — голубым. Выбор параметра определяет возникновение и устойчивость предельных циклов.

Предельные циклы важны во многих научных приложениях, где моделируются системы с автоколебаниями. Вот некоторые примеры:

• Аэродинамические колебания предельного цикла ^[1]
• Модель Ходжкина -Хаксли для потенциалов действия в нейронах .
• Сельковская модель гликолиза . ^[2]
• Ежедневные колебания экспрессии генов, уровня гормонов и температуры тела животных, которые являются частью циркадного ритма , ^{[3] [4]} хотя это противоречит более поздним данным. ^[5]
• Миграция раковых клеток в ограниченной микросреде следует колебаниям предельного цикла . ^[6]
• Некоторые нелинейные электрические цепи демонстрируют колебания предельного цикла, ^[7] , которые послужили вдохновением для создания оригинальной модели Ван дер Поля .
• Контроль дыхания и кроветворения, как это проявляется в уравнениях Макки-Гласса . ^[8]

Смотрите также

• Аттрактор
• Гиперболический набор
• Периодическая точка
• Автоколебания
• Стабильный коллектор

Рекомендации

1. Томас, Джеффри П.; Доуэлл, Эрл Х.; Холл, Кеннет К. (2002), «Нелинейное невязкое аэродинамическое воздействие на трансзвуковую дивергенцию, флаттер и колебания предельного цикла» (PDF) , журнал AIAA , 40 (4), Американский институт аэронавтики и астронавтики: 638, бибкод : 2002AIAAJ ..40..638T, doi :10.2514/2.1720 , получено 9 декабря 2019 г.
2. Сельков, Э.Э. (1968). «Автоколебания при гликолизе 1. Простая кинетическая модель». Европейский журнал биохимии . 4 (1): 79–86. дои : 10.1111/j.1432-1033.1968.tb00175.x . ISSN  1432-1033. ПМИД  4230812.
3. Лелуп, Жан-Кристоф; Гонзе, Дидье; Гольдбетер, Альберт (1 декабря 1999 г.). «Модели предельного цикла циркадных ритмов, основанные на регуляции транскрипции у дрозофилы и нейроспоры». Журнал биологических ритмов . 14 (6): 433–448. дои : 10.1177/074873099129000948. ISSN  0748-7304. PMID  10643740. S2CID  15074869.
4. Рённеберг, Тилль; Чуа, Элейн Джейн; Бернардо, Рик; Мендоса, Эдуардо (9 сентября 2008 г.). «Моделирование биологических ритмов». Современная биология . 18 (17): Р826–Р835. дои : 10.1016/j.cub.2008.07.017 . ISSN  0960-9822. PMID  18786388. S2CID  2798371.
5. Мейер, Дж. Х.; Мишель, С; Вандерлист, штат ХТ; Ролинг, Дж. Х. (декабрь 2010 г.). «Дневная и сезонная адаптация циркадных часов требует пластичности нейронной сети СХЯ». Европейский журнал неврологии . 32 (12): 2143–51. дои : 10.1111/j.1460-9568.2010.07522.x. PMID  21143668. S2CID  12754517.
6. Брюкнер, Дэвид Б.; Финк, Александра; Шрайбер, Кристоф; Ретгерманн, Питер Дж. Ф.; Рэдлер, Иоахим; Бродерс, Чейз П. (2019). «Стохастическая нелинейная динамика ограниченной миграции клеток в двухгосударственных системах». Физика природы . 15 (6): 595–601. Бибкод : 2019NatPh..15..595B. дои : 10.1038/s41567-019-0445-4. ISSN  1745-2481. S2CID  126819906.
7. Жину, Жан-Марк; Летелье, Кристоф (30 апреля 2012 г.). «Ван дер Поль и история релаксационных колебаний: к возникновению концепции». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 22 (2): 023120.arXiv : 1408.4890 . Бибкод : 2012Хаос..22b3120G. дои : 10.1063/1.3670008. ISSN  1054-1500. PMID  22757527. S2CID  293369.
8. Макки, М.; Гласс, Л. (15 июля 1977 г.). «Колебания и хаос в физиологических системах управления». Наука . 197 (4300): 287–289. Бибкод : 1977Sci...197..287M. дои : 10.1126/science.267326. ISSN  0036-8075. ПМИД  267326.

дальнейшее чтение

• Стивен Х. Строгац (2014). Нелинейная динамика и хаос: с приложениями к физике, биологии, химии и технике . Авалон. ISBN 9780813349114.
• М. Видьясагар (2002). Нелинейный системный анализ (Второе изд.). СИАМ. ISBN 9780898715262.
• Филип Хартман, «Обыкновенное дифференциальное уравнение», Общество промышленной и прикладной математики, 2002.
• Витольд Гуревич, «Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям», Дувр, 2002 г.
• Соломон Лефшец, «Дифференциальные уравнения: геометрическая теория», Дувр, 2005 г.
• Лоуренс Перко, «Дифференциальные уравнения и динамические системы», Springer-Verlag, 2006.
• Артур Мэттук, Предельные циклы: критерии существования и несуществования, Открытые курсы MIT http://videolectures.net/mit1803s06_mattuck_lec32/#

Внешние ссылки

• «предельный цикл». Planetmath.org . Проверено 06 июля 2019 г.