критерий Келли

Формула расчета размера ставки для долгосрочного роста

Пример оптимальной дробной ставки Келли по сравнению с ожидаемой доходностью других дробных ставок.

В теории вероятностей критерий Келли (или стратегия Келли , или ставка Келли ) — это формула для определения размера последовательности ставок путем максимизации долгосрочного ожидаемого значения логарифма богатства, что эквивалентно максимизации долгосрочного ожидаемого геометрического темпа роста . Джон Ларри Келли-младший , исследователь из Bell Labs , описал критерий в 1956 году. ^[1]

Практическое использование формулы было продемонстрировано для азартных игр , ^{[2] [3],} и та же идея была использована для объяснения диверсификации в управлении инвестициями . ^[4] В 2000-х годах анализ в стиле Келли стал частью основной теории инвестиций ^[5], и было сделано заявление, что известные успешные инвесторы, включая Уоррена Баффета ^[6] и Билла Гросса ^[7], используют методы Келли. ^[8] См. также межвременной выбор портфеля . Это также стандартная замена статистической мощности в статистических тестах, действительных в любое время, и доверительных интервалах, основанных на электронных значениях и электронных процессах .

Критерий Келли для бинарных ставок доходности

В системе, где доходность инвестиций или ставок является двоичной, то есть заинтересованная сторона либо выигрывает, либо проигрывает фиксированный процент от своей ставки, ожидаемый коэффициент темпа роста дает весьма конкретное решение для оптимального процента ставок.

Формула азартных игр

Если проигрыш ставки подразумевает проигрыш всей ставки, ставка Келли выглядит следующим образом:

${\displaystyle f^{*}=p-{\frac {q}{b}}=p-{\frac {1-p}{b}}}$

где:

• ${\displaystyle f^{*}}$часть текущего банкролла, которую нужно поставить.
• ${\displaystyle p}$вероятность выигрыша.
• ${\displaystyle q=1-p}$вероятность проигрыша.
• ${\displaystyle b}$это доля ставки, выигранная при выигрыше. Например, если вы ставите $10 на коэффициент 2 к 1 (при выигрыше вам возвращается $30, вы выигрываете $20), то . ${\displaystyle b=\$20/\$10=2.0}$

  

  На рисунке показана сумма, полученная при выигрыше на оси x, в сравнении с долей портфеля для ставки на оси y. Этот рисунок предполагает p=0,5 (что вероятность как выигрыша, так и проигрыша составляет 50%). Если сумма, полученная при выигрыше, равна 1, то сумма ставки Келли составляет 0 долларов, что имеет смысл в честной ставке без ожидаемого выигрыша.

Например, если в азартной игре вероятность выигрыша составляет 60% ( , ), а игрок получает шансы на выигрыш 1 к 1 ( ), то для максимизации долгосрочных темпов роста банкролла игрок должен ставить 20% от банкролла при каждой возможности ( ). ${\displaystyle p=0.6}$ ${\displaystyle q=0.4}$ ${\displaystyle b=1}$ ${\textstyle f^{*}=0.6-{\frac {0.4}{1}}=0.2}$

На рисунке показана сумма, полученная в результате выигрыша по оси X, в сравнении с долей портфеля, на которую можно сделать ставку, по оси Y. Этот рисунок предполагает p=0,6 (вероятность выигрыша составляет 60%).

Трехмерная фигура, представляющая оптимальный размер ставки Келли (вертикальная ось) как функцию вероятности выигрыша и суммы, полученной при выигрыше.

Если у игрока нулевое преимущество (т.е. если ), то критерий рекомендует игроку не делать ставку. ${\displaystyle b=q/p}$

Если перевес отрицательный ( ), формула дает отрицательный результат, указывая на то, что игроку следует принять другую сторону ставки. ${\displaystyle b<q/p}$

Инвестиционная формула

Более общая форма формулы Келли допускает частичные потери, что актуально для инвестиций: ^{[9] : 7}

${\displaystyle f^{*}={\frac {p}{l}}-{\frac {q}{g}}}$

где:

• ${\displaystyle f^{*}}$— это доля активов, подлежащая применению к обеспечению.
• ${\displaystyle p}$вероятность того, что стоимость инвестиций увеличится.
• ${\displaystyle q}$вероятность того, что стоимость инвестиций уменьшится ( ). ${\displaystyle q=1-p}$
• ${\displaystyle g}$это доля, которая выигрывает при положительном результате. ^{[9] : 7} Если цена ценной бумаги вырастает на 10%, то . ${\displaystyle g={\frac {{\text{final value}}-{\text{original value}}}{\text{original value}}}={\frac {1.1-1}{1}}=0.1}$
• ${\displaystyle l}$это доля, которая теряется при отрицательном результате. ^{[9] : 7} Если цена ценных бумаг падает на 10%, то ${\displaystyle l={\frac {{\text{original value}}-{\text{final value}}}{\text{original value}}}={\frac {1-.9}{1}}=0.1}$

Обратите внимание, что критерий Келли абсолютно действителен только для полностью известных вероятностей исхода, что почти никогда не бывает в случае с инвестициями. Кроме того, стратегии , избегающие риска, инвестируют меньше полной доли Келли.

Общую форму можно переписать следующим образом

${\displaystyle f^{*}={\frac {p}{l}}\left(1-{\frac {1-p}{p}}{\frac {l}{g}}\right)={\frac {p}{l}}\left(1-{\frac {1}{WLP}}{\frac {1}{WLR}}\right)}$

где:

• ${\displaystyle WLP={\frac {p}{1-p}}}$— это отношение вероятности выигрыша к вероятности проигрыша (WLP), то есть отношение выигрышных ставок к проигрышным.
• ${\displaystyle WLR={\frac {g}{l}}}$— это соотношение выигрышей и проигрышей (WLR) исходов ставок, то есть перекос выигрышей .

Очевидно, что, по крайней мере, один из факторов или должен быть больше 1 для наличия преимущества (так что ). Возможно даже, что соотношение вероятности выигрыша и проигрыша неблагоприятно , но преимущество есть до тех пор, пока . ${\displaystyle WLP}$ ${\displaystyle WLR}$ ${\displaystyle f^{*}>0}$ ${\displaystyle WLP<1}$ ${\displaystyle WLP*WLR>1}$

Формула Келли может легко привести к дроби выше 1, например, с размером проигрыша (см. приведенное выше выражение с множителями и ). Это происходит несколько противоестественно, поскольку формула дроби Келли компенсирует небольшой размер проигрыша большей ставкой. Однако в большинстве реальных ситуаций существует высокая неопределенность относительно всех параметров, входящих в формулу Келли. В случае дроби Келли выше 1 теоретически выгодно использовать кредитное плечо для покупки дополнительных ценных бумаг на марже . ${\displaystyle l\ll 1}$ ${\displaystyle WLR}$ ${\displaystyle WLP}$

Пример ставок – поведенческий эксперимент

В исследовании каждому участнику давали 25 долларов и просили делать ставки с равными шансами на то, что монета выпадет орлом в 60% случаев. Участникам давалось 30 минут на игру, поэтому они могли сделать около 300 ставок, а призы были ограничены 250 долларами. Но поведение испытуемых было далеко от оптимального:

Примечательно, что 28% участников разорились, а средняя выплата составила всего $91. Только 21% участников достигли максимума. 18 из 61 участников поставили все на один бросок, в то время как две трети сделали ставку на решку на каком-то этапе эксперимента. ^{[10] [11]}

Используя критерий Келли и основываясь на шансах в эксперименте (игнорируя ограничение в $250 и конечную продолжительность теста), правильным подходом будет ставка в размере 20% от вашего банкролла на каждый подбрасывание монеты, что составляет средний выигрыш в 2,034% в каждом раунде. Это геометрическое среднее , а не арифметическая ставка в 4% (r = 0,2 x (0,6 - 0,4) = 0,04). Теоретическое ожидаемое богатство после 300 раундов составляет $10 505 ( ), если бы оно не было ограничено. ${\displaystyle =25\cdot (1.02034)^{300}}$

В этой конкретной игре из-за ограничения стратегия ставки только в 12% от банка при каждом подбрасывании дала бы еще лучшие результаты (вероятность достижения ограничения 95% и средняя выплата 242,03 доллара).

Доказательство

Эвристические доказательства критерия Келли просты. ^[12] Критерий Келли максимизирует ожидаемое значение логарифма богатства (ожидаемое значение функции определяется суммой по всем возможным результатам вероятности каждого конкретного результата, умноженной на значение функции в случае этого результата). Мы начинаем с 1 единицы богатства и ставим часть этого богатства на результат, который происходит с вероятностью и предлагает коэффициент . Вероятность выигрыша равна , и в этом случае результирующее богатство равно . Вероятность проигрыша равна , а шансы отрицательного результата равны . В этом случае результирующее богатство равно . Следовательно, ожидаемый геометрический темп роста равен: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1+fb}$ ${\displaystyle q=1-p}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 1-fa}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle r=(1+fb)^{p}\cdot (1-fa)^{q}}$

Мы хотим найти максимум r этой кривой (как функцию f ), что подразумевает нахождение производной уравнения. Этого легче добиться, взяв сначала логарифм каждой стороны; поскольку логарифм монотонен , он не меняет расположения экстремумов функции. Полученное уравнение:

${\displaystyle E=\log(r)=p\log(1+fb)+q\log(1-fa)}$

с обозначением логарифмического роста богатства. Чтобы найти значение , при котором темп роста максимален, обозначенное как , мы дифференцируем приведенное выше выражение и приравниваем его к нулю. Это дает: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{*}}$

${\displaystyle \left.{\frac {dE}{df}}\right|_{f=f^{*}}={\frac {pb}{1+f^{*}b}}+{\frac {-qa}{1-f^{*}a}}=0}$

Преобразовав это уравнение для нахождения значения, получим критерий Келли: ${\displaystyle f^{*}}$

${\displaystyle f^{*}={\frac {p}{a}}-{\frac {q}{b}}}$

Обратите внимание, что это выражение сводится к простой формуле азартной игры , когда проигрыш приводит к полной потере ставки. ${\displaystyle a=1=100\%}$

Критерий Келли для небинарных ставок доходности

Если ставки доходности инвестиций или ставок носят непрерывный характер, оптимальный коэффициент темпа роста должен учитывать все возможные события.

Применение на фондовом рынке

В финансовой математике, если веса ценных бумаг максимизируют ожидаемый геометрический темп роста (что эквивалентно максимизации логарифма богатства), то портфель является оптимальным с точки зрения роста.

Критерий Келли показывает, что для данной нестабильной ценной бумаги это выполняется, когда

${\displaystyle f^{*}={\frac {\mu -r}{\sigma ^{2}}}}$

где — доля доступного инвестированного капитала, которая максимизирует ожидаемый геометрический темп роста, — коэффициент ожидаемого темпа роста, — дисперсия коэффициента темпа роста, — безрисковая норма доходности. Обратите внимание, что здесь предполагалась симметричная функция плотности вероятности . ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle r}$

Расчеты оптимальных по росту портфелей могут страдать от огромных проблем «мусор на входе и мусор на выходе». Например, в приведенных ниже случаях в качестве данных принимаются ожидаемая доходность и ковариационная структура активов, но эти параметры в лучшем случае являются оценками или моделями, имеющими значительную неопределенность. Если веса портфеля в значительной степени являются функцией ошибок оценки, то фактические показатели оптимального по росту портфеля могут фантастически отличаться от прогноза ex-ante . Неопределенность параметров и ошибки оценки являются большой темой в теории портфеля. Подход к противодействию неизвестному риску заключается в том, чтобы инвестировать меньше, чем критерий Келли.

Грубые оценки все еще полезны. Если мы возьмем избыточную доходность 4% и волатильность 16%, то годовые коэффициенты Шарпа и Келли будут рассчитаны как 25% и 150%. Ежедневные коэффициенты Шарпа и Келли составляют 1,7% и 150%. Коэффициент Шарпа подразумевает ежедневную вероятность выигрыша p=(50% + 1,7%/4), где мы предположили, что полоса пропускания вероятности равна . Теперь мы можем применить дискретную формулу Келли для вышеприведенного с , и мы получим еще одну грубую оценку для доли Келли . Обе эти оценки доли Келли кажутся вполне разумными, однако осмотрительный подход предполагает дальнейшее умножение коэффициента Келли на 50% (т. е. половину Келли). ${\displaystyle 4\sigma =4\%}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle p=50.425\%,a=b=1\%}$ ${\displaystyle f^{*}=85\%}$

Подробная статья Эдварда О. Торпа и соавтора оценивает долю Келли в 117% для американского фондового индекса SP500. ^[13] Значительный риск снижения хвоста для фондовых рынков является еще одной причиной ^[14] для уменьшения доли Келли от наивной оценки (например, для уменьшения до половины Келли).

Доказательство

Строгое и общее доказательство можно найти в оригинальной статье Келли ^[1] или в некоторых других ссылках, перечисленных ниже. Были опубликованы некоторые исправления. ^[15] Мы приводим следующий нестрогий аргумент для случая с (ставкой 50:50 «равные деньги»), чтобы показать общую идею и дать некоторые идеи. ^[1] Когда , игрок Келли делает ставку, умноженную на его первоначальное богатство , как показано выше. Если он выигрывает, у него после одной ставки. Если он проигрывает, у него есть . Предположим, что он делает ставки таким образом и выигрывает раз из этой серии ставок. Результирующее богатство будет: ${\displaystyle b=1}$ ${\displaystyle b=1}$ ${\displaystyle 2p-1}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle 2pW}$ ${\displaystyle 2(1-p)W}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle 2^{N}p^{K}(1-p)^{N-K}W\!.}$

Порядок выигрышей и проигрышей не влияет на итоговое богатство. Предположим, что другой игрок ставит другую сумму, на некоторое значение (где может быть положительным или отрицательным). Они будут иметь после выигрыша и после проигрыша. После той же серии выигрышей и проигрышей, что и игрок Келли, они будут иметь: ${\displaystyle (2p-1+\Delta )W}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle (2p+\Delta )W}$ ${\displaystyle [2(1-p)-\Delta ]W}$

${\displaystyle (2p+\Delta )^{K}[2(1-p)-\Delta ]^{N-K}W}$

Возьмем производную от этого по и получим: ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle K(2p+\Delta )^{K-1}[2(1-p)-\Delta ]^{N-K}W-(N-K)(2p+\Delta )^{K}[2(1-p)-\Delta ]^{N-K-1}W}$

Функция максимальна, когда эта производная равна нулю, что происходит при:

${\displaystyle K[2(1-p)-\Delta ]=(N-K)(2p+\Delta )}$

что подразумевает, что

${\displaystyle \Delta =2\left({\frac {K}{N}}-p\right)}$

но доля выигрышных ставок в конечном итоге будет равна :

${\displaystyle \lim _{N\to +\infty }{\frac {K}{N}}=p}$

согласно слабому закону больших чисел . Таким образом, в долгосрочной перспективе окончательное богатство максимизируется путем установки на ноль, что означает следование стратегии Келли. Это иллюстрирует, что Келли имеет как детерминированный, так и стохастический компонент. Если кто-то знает K и N и хочет выбрать постоянную долю богатства для ставки каждый раз (в противном случае можно схитрить и, например, поставить ноль после K- ^го выигрыша, зная, что остальные ставки проиграют), он в конечном итоге получит больше всего денег, если сделает ставку: ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \left(2{\frac {K}{N}}-1\right)W}$

каждый раз. Это верно независимо от того, мал он или велик. «Долгосрочная» часть Келли необходима, поскольку K заранее неизвестен, просто по мере того, как становится большим, будет приближаться к . Тот, кто ставит больше, чем Келли, может добиться большего успеха, если на некоторое время; тот, кто ставит меньше, чем Келли, может добиться большего успеха, если на некоторое время, но в долгосрочной перспективе Келли всегда выигрывает. Эвристическое доказательство для общего случая выполняется следующим образом. ^{[ необходима цитата ]} В одном испытании, если кто-то инвестирует часть своего капитала, если стратегия оказывается успешной, капитал в конце испытания увеличивается на фактор , и, аналогично, если стратегия оказывается неудачной, капитал уменьшается на фактор . Таким образом, в конце испытаний (с успехами и неудачами) начальный капитал в размере 1 доллара приносит ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle pN}$ ${\displaystyle K>pN}$ ${\displaystyle K<pN}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 1-f+f(1+b)=1+fb}$ ${\displaystyle 1-fa}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle pN}$ ${\displaystyle qN}$

${\displaystyle C_{N}=(1+fb)^{pN}(1-fa)^{qN}.}$

Максимизация , а следовательно , ​​и относительно приводит к желаемому результату ${\displaystyle \log(C_{N})/N}$ ${\displaystyle C_{N}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f^{*}=p/a-q/b.}$

Эдвард О. Торп представил более подробное обсуждение этой формулы для общего случая. ^[9] Там можно увидеть, что замена на отношение количества «успехов» к количеству попыток подразумевает, что количество попыток должно быть очень большим, поскольку определяется как предел этого отношения, когда количество попыток стремится к бесконечности. Короче говоря, ставка каждый раз, скорее всего, максимизирует темпы роста богатства только в том случае, когда количество попыток очень велико, а и одинаковы для каждой попытки. На практике это вопрос игры в одну и ту же игру снова и снова, где вероятность выигрыша и коэффициенты выигрыша всегда одинаковы. В эвристическом доказательстве выше успехи и неудачи весьма вероятны только для очень больших . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle pN}$ ${\displaystyle qN}$ ${\displaystyle N}$

Множественные результаты

Критерий Келли может быть обобщен ^[16] на азартные игры на многие взаимоисключающие результаты, например, на скачках. Предположим, что есть несколько взаимоисключающих результатов. Вероятность того, что -я лошадь выиграет скачку, равна , общая сумма ставок на -ю лошадь равна , и ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B_{k}}$

${\displaystyle \beta _{k}={\frac {B_{k}}{\sum _{i}B_{i}}}={\frac {D}{1+Q_{k}}},}$

где - коэффициенты выплат. , - ставка дивидендов, где - сбор за дорожку или налог, - ставка дохода после вычета сбора за дорожку, когда выигрывает -я лошадь. Доля средств игрока, делающего ставку на -ю лошадь, составляет . Критерий Келли для азартных игр с несколькими взаимоисключающими исходами дает алгоритм для поиска оптимального набора исходов, на которые разумно делать ставки, и он дает явную формулу для поиска оптимальных долей богатства игрока, которые будут поставлены на исходы, включенные в оптимальный набор . Алгоритм для оптимального набора исходов состоит из четырех шагов: ^[16] ${\displaystyle Q_{k}}$ ${\displaystyle D=1-tt}$ ${\displaystyle tt}$ ${\displaystyle {\frac {D}{\beta _{k}}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f_{k}}$ ${\displaystyle S^{o}}$ ${\displaystyle f_{k}^{o}}$ ${\displaystyle S^{o}}$

1. Рассчитайте ожидаемую ставку дохода для всех возможных (или только для нескольких наиболее перспективных) результатов: $${\displaystyle er_{i}={\frac {Dp_{i}}{\beta _{i}}}=p_{i}(Q_{i}+1)}$$
2. Переупорядочить результаты так, чтобы новая последовательность была невозрастающей. Это будет лучшим вариантом. ${\displaystyle er_{k}}$ ${\displaystyle er_{1}}$
3. Set (пустой набор), , . Таким образом, лучшая ставка будет рассмотрена первой. ${\displaystyle S=\varnothing }$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle R(S)=1}$ ${\displaystyle er_{k}=er_{1}}$
4. Повторить:

   Если затем вставить -й результат в набор: , пересчитать по формуле: и затем установить , ${\displaystyle er_{k}={\frac {D}{\beta _{k}}}p_{k}>R(S)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S=S\cup \{k\}}$ ${\displaystyle R(S)}$ $${\displaystyle R(S)={\frac {D\sum _{k\notin S}p_{k}}{D-\sum _{k\in S}\beta _{k}}}}$$ ${\displaystyle k=k+1}$

   В противном случае установите и остановите повторение. ${\displaystyle S^{o}=S}$

Если оптимальный набор пуст, то не делайте ставку вообще. Если набор оптимальных результатов не пуст, то оптимальная доля ставок на -й результат может быть рассчитана по этой формуле: ${\displaystyle S^{o}}$ ${\displaystyle S^{o}}$ ${\displaystyle f_{k}^{o}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f_{i}=p_{i}-\beta _{i}{\frac {\sum _{k\notin S}p_{k}}{\left(D-\sum _{k\in S}\beta _{k}\right)}}.}$

Можно доказать ^[16], что

${\displaystyle R(S^{o})=1-\sum _{i\in S^{o}}{f_{i}^{o}}}$

где правая сторона — резервная ставка ^{[ необходимо разъяснение ]} . Таким образом, требование можно интерпретировать ^[16] следующим образом: -й результат включается в набор оптимальных результатов тогда и только тогда, когда его ожидаемая ставка дохода больше резервной ставки. Формула для оптимальной доли может быть интерпретирована как превышение ожидаемой ставки дохода -й лошади над резервной ставкой, деленное на доход после вычета сбора за ипподром, когда -я лошадь выигрывает, или как превышение вероятности победы -й лошади над резервной ставкой, деленное на доход после вычета сбора за ипподром, когда -я лошадь выигрывает. Двоичный показатель роста равен ${\displaystyle er_{k}={\frac {D}{\beta _{k}}}p_{k}>R(S)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S^{o}}$ ${\displaystyle f_{k}^{o}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle G^{o}=\sum _{i\in S}{p_{i}\log _{2}(er_{i})}+\left(1-\sum _{i\in S}{p_{i}}\right)\log _{2}(R(S^{o})),}$

и время удвоения равно

${\displaystyle T_{d}={\frac {1}{G^{o}}}.}$

Этот метод выбора оптимальных ставок может применяться и тогда, когда известны вероятности только для нескольких наиболее перспективных исходов, а остальные исходы не имеют шансов на победу. В этом случае должно быть так, что ${\displaystyle p_{k}}$

${\displaystyle \sum _{i}{p_{i}}<1,}$и

${\displaystyle \sum _{i}{\beta _{i}}<1}$.

Инвестиции в акции

Полином Тейлора второго порядка может использоваться как хорошее приближение основного критерия. В первую очередь, он полезен для инвестиций в акции, где доля, выделенная на инвестиции, основана на простых характеристиках, которые можно легко оценить из существующих исторических данных – ожидаемое значение и дисперсия . Это приближение может предложить результаты, похожие на результаты исходного критерия, ^[17], но в некоторых случаях полученное решение может быть невыполнимым. ^[18]

Для отдельных активов (акции, индексные фонды и т. д.) и безрисковой ставки легко получить оптимальную долю для инвестирования с помощью геометрического броуновского движения . Стохастическое дифференциальное уравнение, регулирующее эволюцию логнормально распределенного актива в момент времени ( ), имеет вид ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle S_{t}}$

${\displaystyle dS_{t}/S_{t}=\mu dt+\sigma dW_{t}}$

чье решение

${\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right)}$

где — процесс Винера , а (процентный дрейф) и (процентная волатильность) — константы. Берем математическое ожидание логарифма: ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \mathbb {E} \log(S_{t})=\log(S_{0})+\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t.}$

Тогда ожидаемая логарифмическая доходность равна ${\displaystyle R_{s}}$

${\displaystyle R_{s}=\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\,\right).}$

Рассмотрим портфель, состоящий из актива и облигации, выплачивающей безрисковую ставку , с долей, инвестированной в и в облигацию. Вышеупомянутое уравнение для должно быть изменено этой долей, т.е. , с соответствующим решением ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (1-f)}$ ${\displaystyle dS_{t}}$ ${\displaystyle dS_{t}'=fdS_{t}}$

${\displaystyle S'_{t}=S'_{0}\exp \left(\left(f\mu -{\frac {(f\sigma )^{2}}{2}}\right)t+f\sigma W_{t}\right)}$

ожидаемая доходность за один период определяется по формуле

${\displaystyle \mathbb {E} {\left(\left[{\frac {S'_{1}}{S'_{0}}}-1\right]+(1-f)r\right)}=\mathbb {E} {\left(\left[\exp \left(\left(f\mu -{\frac {(f\sigma )^{2}}{2}}\right)+f\sigma W_{1}\right)-1\right]\right)}+(1-f)r}$

Для малых , и решение можно расширить до первого порядка, чтобы получить приблизительное увеличение богатства ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle W_{t}}$

${\displaystyle G(f)=f\mu -{\frac {(f\sigma )^{2}}{2}}+(1-f)\ r.}$

Решая получаем ${\displaystyle \max(G(f))}$

${\displaystyle f^{*}={\frac {\mu -r}{\sigma ^{2}}}.}$

${\displaystyle f^{*}}$— это дробь, которая максимизирует ожидаемую логарифмическую доходность, и, следовательно, дробь Келли. Торп ^[9] пришел к тому же результату, но с помощью другого вывода. Помните, что это отличается от логарифмической доходности активов . Это распространенная ошибка, которую допускают веб-сайты и статьи, говорящие о критерии Келли. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle R_{s}}$

Для множественных активов рассмотрим рынок с коррелированными акциями со стохастической доходностью и безрисковую облигацию с доходностью . Инвестор вкладывает часть своего капитала , а остальное инвестирует в облигацию. Без потери общности предположим, что начальный капитал инвестора равен 1. Согласно критерию Келли следует максимизировать ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S_{k}}$ ${\displaystyle r_{k}}$ ${\displaystyle k=1,\dots ,n,}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle u_{k}}$ ${\displaystyle S_{k}}$

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\ln \left((1+r)+\sum \limits _{k=1}^{n}u_{k}(r_{k}-r)\right)\right].}$

Разложив это в ряд Тейлора, получим ${\displaystyle {\vec {u_{0}}}=(0,\ldots ,0)}$

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\ln(1+r)+\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {u_{k}(r_{k}-r)}{1+r}}-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{k=1}^{n}\sum \limits _{j=1}^{n}u_{k}u_{j}{\frac {(r_{k}-r)(r_{j}-r)}{(1+r)^{2}}}\right].}$

Таким образом, мы сводим задачу оптимизации к квадратичному программированию , и безусловное решение имеет вид

${\displaystyle {\vec {u^{\star }}}=(1+r)({\widehat {\Sigma }})^{-1}({\widehat {\vec {r}}}-r)}$

где и — вектор средних значений и матрица вторых смешанных нецентральных моментов избыточных доходов. Существует также численный алгоритм для дробных стратегий Келли и для оптимального решения без кредитного плеча и ограничений коротких продаж. ^[19] ${\displaystyle {\widehat {\vec {r}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {\Sigma }}}$

Бернулли

В статье 1738 года Даниил Бернулли предположил, что, когда у человека есть выбор ставок или инвестиций, он должен выбрать тот, у которого геометрическое среднее результатов наивысшее. Это математически эквивалентно критерию Келли, хотя мотивация иная (Бернулли хотел разрешить парадокс Санкт-Петербурга ).

Английский перевод статьи Бернулли был опубликован только в 1954 году ^[20] , но работа была хорошо известна среди математиков и экономистов.

Критика

Хотя обещание стратегии Келли превзойти любую другую стратегию в долгосрочной перспективе кажется убедительным, некоторые экономисты решительно выступают против нее, в основном потому, что конкретные инвестиционные ограничения отдельного человека могут перевесить стремление к оптимальному темпу роста. ^[8] Традиционной альтернативой является теория ожидаемой полезности, которая гласит, что ставки должны быть рассчитаны на максимизацию ожидаемой полезности результата (для человека с логарифмической полезностью ставка Келли максимизирует ожидаемую полезность, поэтому конфликта нет; более того, в оригинальной статье Келли четко говорится о необходимости функции полезности в случае азартных игр, в которые играют конечное число раз ^[1] ). Даже сторонники Келли обычно выступают за дробный метод Келли (ставка фиксированной доли суммы, рекомендованной Келли) по ряду практических причин, таких как желание снизить волатильность или защита от недетерминированных ошибок в расчетах преимущества (перевеса). ^[21] Говоря простым языком, критерий Келли требует точных значений вероятности, что не всегда возможно для результатов реальных событий. Когда игрок переоценивает свою истинную вероятность выигрыша, рассчитанное значение критерия будет отличаться от оптимального, увеличивая риск краха.

Формулу Келли можно рассматривать как «диверсификацию по времени», которая принимает равный риск в течение различных последовательных периодов времени (в отличие от принятия равного риска в различных активах для диверсификации активов). Существует очевидная разница между диверсификацией по времени и диверсификацией активов, которая была поднята ^[22] Полом А. Самуэльсоном . Существует также разница между ансамблевым усреднением (расчет полезности) и усреднением по времени (многопериодные ставки Келли на одном временном пути в реальной жизни). Дебаты были возобновлены с привлечением нарушения эргодичности . ^[23] Тем не менее, следует признать разницу между нарушением эргодичности и неопределенностью Найта . ^[24]

Смотрите также

• Риск разорения
• Азартные игры и теория информации
• Парадокс Пробстинга
• Проблема портфеля Мертона

Ссылки

1. Келли, Дж. Л. (1956). "Новая интерпретация скорости передачи информации" (PDF) . Bell System Technical Journal . 35 (4): 917–926. doi :10.1002/j.1538-7305.1956.tb03809.x.
2. Торп, Э.О. (январь 1961 г.), «Формула Фортуны: Игра в блэкджек», Американское математическое общество
3. Торп, Эдвард О. (1966). Обыграй дилера: выигрышная стратегия для игры в двадцать одно: научный анализ всемирной игры, известной под разными названиями: блэкджек, двадцать одно, vingt-et-un, понтун или ван-джон . Нью-Йорк: Random House. ISBN 0-394-70310-3. OCLC  655875.
4. Торп, Эдвард О.; Кассуф, Шин Т. (1967), Обыграть рынок: научная система фондового рынка (PDF) , Random House, ISBN 0-394-42439-5, заархивировано из оригинала (PDF) 2009-10-07, стр. 184 и далее.
5. Зениос, SA; Зиемба, WT (2006), Справочник по управлению активами и пассивами , Северная Голландия, ISBN 978-0-444-50875-1
6. Пабрай, Мониш (2007), Инвестор Дхандхо: Метод стоимости с низким риском для высокой доходности, Wiley, ISBN 978-0-470-04389-9
7. Торп, Э.О. (сентябрь 2008 г.), «Критерий Келли: Часть II», Wilmott Magazine
8. Poundstone, William (2005), Формула удачи: нерассказанная история научной системы ставок, которая победила казино и Уолл-стрит, Нью-Йорк: Hill and Wang, ISBN 0-8090-4637-7
9. Торп, Эдвард О. (июнь 1997 г.). «Критерий Келли в блэкджеке, спортивных ставках и фондовом рынке» (PDF) . 10-я Международная конференция по азартным играм и принятию риска . Монреаль . Получено 20 марта 2024 г.
10. Хагани, Виктор; Дьюи, Ричард (19 октября 2016 г.). «Рациональное принятие решений в условиях неопределенности: наблюдаемые закономерности ставок на предвзятую монету». SSRN  2856963. arXiv :1701.01427
11. «Buttonwood», «Иррациональные кидалы», The Economist , 1 ноября 2016 г.
12. Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Раздел 14.7 (Пример 2.)», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
13. Торп, Е.О.; Ротандо, Луис М. (1992). «Критерий Келли и фондовый рынок» (PDF) . The American Mathematical Monthly . 99 (10): 922–931. doi :10.1080/00029890.1992.11995955.
14. Турлаков, Михаил (2017). «Кредитное плечо и неопределенность». Журнал инвестиционных стратегий . 6 : 81–97. arXiv : 1612.07194 . doi : 10.21314/JOIS.2017.087.
15. Thorp, EO (1969). «Оптимальные системы азартных игр для благоприятных игр». Revue de l'Institut International de Statistique / Обзор Международного статистического института . 37 (3). Международный статистический институт (ISI): 273–293. doi :10.2307/1402118. JSTOR  1402118. MR  0135630.
16. Смочински, Питер; Томкинс, Дэйв (2010). «Явное решение проблемы оптимизации распределения богатства игрока при ставках на скачках». Mathematical Scientist . 35 (1): 10–17.
17. Марек, Патрис; Чупал, Томаш; Вавра, Франтишек (2016). Эффективное распределение инвестиционного капитала. 34-я Международная конференция «Математические методы в экономике». стр. 540–545. ММЕ2016.
18. Хсие, Чунг-Хан; Бармиш, Б. Росс (2015). О ставках Келли: некоторые ограничения . 53-я ежегодная конференция Аллертона по коммуникациям, управлению и вычислениям. Монтичелло, Иллинойс: IEEE. С. 165–172.
19. Некрасов, Василий (2013). «Критерий Келли для многомерных портфелей: подход без модели». SSRN  2259133.
20. Бернулли, Даниэль (1954). «Изложение новой теории измерения риска» (PDF) . Econometrica . 22 (1). Эконометрическое общество : 22–36. doi :10.2307/1909829. JSTOR  1909829. S2CID  9165746.Перевод на английский язык статьи 1738 года.
21. Торп, Э.О. (май 2008 г.), «Критерий Келли: Часть I», Wilmott Magazine
22. Самуэльсон, Пол. А. (1963), «Риск и неопределенность: заблуждение больших чисел», Scientia (6-я серия, 57-й год, апрель-май), 153–158
23. Питерс, Оле; Гелл-Манн, Мюррей (2015), «Оценка азартных игр с использованием динамики», Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки , 26 (2): 023103, arXiv : 1405.0585 , doi : 10.1063/1.4940236 , PMID  26931584, S2CID  9726238
24. Форд, Мэтью; Кей, Джон (2022), Психология фундаментальна: ограничения подходов, оптимальных для роста, к принятию решений в условиях неопределенности , doi : 10.2139/ssrn.4140625, S2CID  250132554

Внешние ссылки