Представление группы

В математике представление — это один из методов задания группы . Представление группы G включает в себя множество S генераторов — так что каждый элемент группы может быть записан как произведение степеней некоторых из этих генераторов — и множество R отношений между этими генераторами . Тогда мы говорим, что G имеет представление

\langle S\mid R\rangle.

Неформально, G имеет указанное выше представление, если она является «самой свободной группой», порожденной S , подчиняющейся только соотношениям R. Формально говорят, что группа G имеет указанное выше представление, если она изоморфна фактору свободной группы на S по нормальной подгруппе , порожденной соотношениями R.

В качестве простого примера циклическая группа порядка n имеет представление

\langle a\mid a^{n}=1\rangle,

где 1 — групповая идентичность. Это можно эквивалентно записать как

\langle a\mid a^{n}\rangle,

благодаря соглашению, что термины, которые не включают знак равенства, считаются равными групповой идентичности. Такие термины называются реляторами , что отличает их от отношений, которые включают знак равенства.

У каждой группы есть презентация, а на самом деле — множество различных презентаций; презентация часто является наиболее компактным способом описания структуры группы.

Близкой, но отличной концепцией является концепция абсолютного представления группы .

Фон

Свободная группа на множестве S — это группа, в которой каждый элемент может быть однозначно описан как произведение конечной длины вида:

s_{1}^{a_{1}}s_{2}^{a_{2}}\cdots s_{n}^{a_{n}}

где s _i являются элементами S, соседние s _i различны, а a _i являются ненулевыми целыми числами (но n может быть равно нулю). В менее формальных терминах группа состоит из слов в генераторах и их обратных , при условии только отмены генератора с соседним вхождением его обратного.

Если G — любая группа, а S — порождающее подмножество G , то каждый элемент G также имеет указанную выше форму; но в общем случае эти произведения не будут однозначно описывать элемент G.

Например, диэдральная группа D ₈ порядка шестнадцати может быть получена поворотом r порядка 8 и переворотом f порядка 2; и, конечно, любой элемент D 8 _{является} произведением r и f .

Однако, например, у нас есть $rfr = f -1$ , $r 7 = r -1$ и т. д., поэтому такие произведения не являются уникальными в D ₈ . Каждая такая эквивалентность произведения может быть выражена как равенство тождеству, например:

рфрф = 1

г 8 = 1

, или

ф ‍ 2 = 1

Неформально, мы можем рассматривать эти произведения в левой части как элементы свободной группы $F = ⟨ r, f ⟩$ , и пусть $R = ⟨ rfrf, r 8, f ‍ 2 ⟩$ . То есть, мы позволяем R быть подгруппой, порожденной строками rfrf , r ⁸ , f ^{‍ 2} , каждая из которых также эквивалентна 1 при рассмотрении в качестве произведений в D ₈ .

Если затем мы допустим, что N будет подгруппой F, порожденной всеми сопряженными элементами x ⁻¹Rx группы R , то по определению следует, что каждый элемент N является конечным произведением x ₁⁻¹r ₁x ₁ ... x _m⁻¹r _m x _m членов таких сопряженных элементов. Отсюда следует, что каждый элемент N , рассматриваемый как произведение в D ₈ , также будет оцениваться как 1; и, таким образом, N является нормальной подгруппой F . Таким образом, D ₈ изоморфна фактор-группе F $/ N .$ Тогда мы говорим, что D ₈ имеет представление

\langle r,f\mid r^{8}=1,f^{2}=1,(rf)^{2}=1\rangle .

Здесь набор генераторов — $S = {r, f$ }, а набор отношений — $R = {r 8 = 1, f 2 = 1, (rf) 2 = 1}$ . Мы часто видим сокращение R , давая представление

\langle r,f\mid r^{8}=f^{2}=(rf)^{2}=1\rangle .

Еще более короткая форма опускает знаки равенства и тождества, чтобы перечислить только набор реляторов, который есть ${r 8, f 2, (rf) 2}$ . Это дает представление

\langle r,f\mid r^{8},f^{2},(rf)^{2}\rangle .

Все три представления равноценны.

Обозначение

Хотя обозначение $⟨ S | R ⟩,$ используемое в этой статье для представления, сейчас является наиболее распространенным, более ранние авторы использовали различные вариации того же формата. Такие обозначения включают следующее: ^{[ необходима цитата ]}

$⟨ С | Р ⟩$
$(С | Р)$
${С; Р$ }
$⟨ С; Р ⟩$

Определение

Пусть S — множество, а F _— свободная группа на S. Пусть R — множество слов на S , так что R естественным образом дает подмножество . Чтобы образовать группу с представлением , профакторизуем по наименьшей нормальной подгруппе, содержащей каждый элемент из R. (Эта подгруппа называется нормальным замыканием N группы R в .) Затем группа определяется как факторгруппа $F_{S}$ $\langle S\mid R\rangle$ $F_{S}$ $F_{S}$ $\langle S\mid R\rangle$

\langle S\mid R\rangle =F_{S}/N.

Элементы S называются генераторами , а элементы R называются реляторами . Говорят, что группа G имеет представление , если G изоморфна . ^[1] $\langle S\mid R\rangle$ $\langle S\mid R\rangle$ $\langle S\mid R\rangle$

Обычной практикой является запись реляторов в форме , где x и y — слова на S . Это означает, что . Это имеет интуитивное значение, что образы x и y должны быть равны в фактор-группе. Так, например, r ⁿ в списке реляторов эквивалентно . ^[1] $x=y$ $y^{-1}x\in R$ $r^{n}=1$

Для конечной группы G можно построить представление G из таблицы умножения группы следующим образом. Возьмем S в качестве элементов множества G , а R — все слова вида , где — запись в таблице умножения. $g_{i}$ $g_{i}g_{j}g_{k}^{-1}$ $g_{i}g_{j}=g_{k}$

Альтернативное определение

Определение группового представления может быть альтернативно переработано в терминах классов эквивалентности слов в алфавите . В этой перспективе мы объявляем два слова эквивалентными, если возможно перейти от одного к другому с помощью последовательности ходов, где каждый ход состоит из добавления или удаления последовательной пары или для некоторого $x$ в $S$ , или путем добавления или удаления последовательной копии релятора. Элементами группы являются классы эквивалентности, а групповой операцией является конкатенация. ^[1] $S\чашка S^{-1}$ $xx^{-1}$ $х^{-1}х$

Эта точка зрения особенно распространена в области комбинаторной теории групп .

Конечно представленные группы

Представление называется конечно порожденным, если S конечно и конечно связанным, если R конечно. Если оба конечны, то говорят, что это конечное представление . Группа конечно порождена (соответственно конечно связана ,конечно представлено ), если оно имеет конечно порожденное представление (соответственно конечно связанное, конечное представление). Группа, имеющая конечное представление с одним отношением, называетсягруппой с одним отношением.

Рекурсивно представленные группы

Если S индексируется множеством I, состоящим из всех натуральных чисел N или их конечного подмножества, то легко установить простое однозначное кодирование (или нумерацию Гёделя ) f : F _S → N из свободной группы на S в натуральные числа, так что мы можем найти алгоритмы, которые, учитывая f ( w ), вычисляют w , и наоборот. Затем мы можем назвать подмножество U из F _S рекурсивным (соответственно рекурсивно перечислимым ), если f ( U ) рекурсивно (соответственно рекурсивно перечислимым). Если S индексируется, как указано выше, а R рекурсивно перечислимым, то представление является рекурсивным представлением , а соответствующая группа рекурсивно представлена . Такое использование может показаться странным, но можно доказать, что если группа имеет представление с R рекурсивно перечислимым, то у нее есть другое представление с R рекурсивно.

Каждая конечно представленная группа рекурсивно представлена, но существуют рекурсивно представленные группы, которые не могут быть конечно представлены. Однако теорема Грэма Хигмана утверждает, что конечно порожденная группа имеет рекурсивное представление тогда и только тогда, когда она может быть вложена в конечно представленную группу. ^[2] Из этого мы можем вывести, что существует (с точностью до изоморфизма) только счетное число конечно порожденных рекурсивно представленных групп. Бернхард Нойман показал, что существует несчетное число неизоморфных двухпорожденных групп. Следовательно, существуют конечно порожденные группы, которые не могут быть рекурсивно представлены.

История

Одно из самых ранних представлений группы с помощью генераторов и соотношений было дано ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1856 году в его икосианском исчислении — представлении икосаэдрической группы . ^[3] Первое систематическое исследование было дано Вальтером фон Дейком , учеником Феликса Клейна , в начале 1880-х годов, заложив основы комбинаторной теории групп . ^[4]

Примеры

В следующей таблице перечислены некоторые примеры презентаций для часто изучаемых групп. Обратите внимание, что в каждом случае возможны и многие другие презентации. Перечисленная презентация не обязательно является наиболее эффективной из возможных.

Примером конечно порождённой группы , которая не является конечно представленной, является сплетение группы целых чисел с самой собой. $\mathbf {Z} \wr \mathbf {Z}$

Некоторые теоремы

Теорема. Каждая группа имеет презентацию.

Чтобы увидеть это, рассмотрим свободную группу F G на G . По универсальному свойству свободных групп существует единственный гомоморфизм групп $φ :$ $F$ $G$ $\to$ $G$ _, ограничение которого на G является тождественным отображением. Пусть K — ядро этого гомоморфизма. Тогда K нормально в F _G , поэтому равно своему нормальному замыканию, поэтому $⟨$ $G$ $|$ $K$ $⟩ =$ $F$ $G$ $/$ $K$ . Поскольку тождественное отображение сюръективно, φ также сюръективно, поэтому по первой теореме об изоморфизме ⟨ $G$ $|$ $K$ $⟩$ $≅ im($ $φ$ $) =$ $G$ . Это представление может быть крайне неэффективным, если и G , и K намного больше, чем необходимо.

Следствие. Каждая конечная группа имеет конечное представление.

Элементы группы можно взять за генераторы, а таблицу Кэли — за отношения.

Теорема Новикова–Буна

Отрицательное решение проблемы слов для групп утверждает, что существует конечное представление $⟨ S | R ⟩,$ для которого не существует алгоритма, который, учитывая два слова u , v , решает, описывают ли u и v один и тот же элемент в группе. Это было показано Петром Новиковым в 1955 году ^[5] , а другое доказательство было получено Уильямом Буном в 1958 году. ^[6]

Конструкции

Предположим, что G имеет представление $⟨ S | R ⟩$ , а H имеет представление $⟨ T | Q ⟩,$ причем S и T не пересекаются. Тогда

свободное произведение $G * H$ имеет представление $⟨ S, T | R, Q ⟩$ и
прямое произведение $G \times H$ имеет представление $⟨ S, T | R, Q, [S, T]⟩$ , где [ S , T ] означает, что каждый элемент из S коммутирует с каждым элементом из T (ср. коммутатор ).

Дефицит

Дефект конечного представления $⟨$ $S$ $|$ $R$ $⟩$ равен просто $|$ $S$ $| - |$ $R$ $|,$ а дефект конечно представленной группы G , обозначаемый def( G ), равен максимуму дефекта по всем представлениям G . Дефект конечной группы неположителен. Мультипликатор Шура конечной группы G может быть сгенерирован −def( G ) генераторами, и G эффективна, если это число требуется. ^[7]

Геометрическая теория групп

Представление группы определяет геометрию, в смысле геометрической теории групп : есть граф Кэли , который имеет метрику , называемую словом метрика . Это также два результирующих порядка, слабый порядок и порядок Брюа , и соответствующие диаграммы Хассе . Важным примером являются группы Коксетера .

Кроме того, некоторые свойства этого графа ( грубая геометрия ) являются внутренними, то есть не зависят от выбора генераторов.

Смотрите также

Примечания

^ abc Пейфер, Дэвид (1997). «Введение в комбинаторную теорию групп и проблему слов». Mathematics Magazine . 70 (1): 3–10. doi :10.1080/0025570X.1997.11996491.
^ Хигман, Г. (1961-08-08). «Подгруппы конечно представленных групп». Труды Лондонского королевского общества. Серия A. Математические и физические науки . 262 (1311): 455–475. Bibcode : 1961RSPSA.262..455H. doi : 10.1098/rspa.1961.0132. ISSN 0080-4630. S2CID 120100270.
^ Сэр Уильям Роуэн Гамильтон (1856). «Меморандум относительно новой Системы Корней Единства» (PDF) . Philosophical Magazine . 12 : 446. Архивировано (PDF) из оригинала 2003-06-26.
^ Стиллвелл, Джон (2002). Математика и ее история . Springer. стр. 374. ISBN 978-0-387-95336-6.
^ Новиков, Пётр С. (1955), «Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов в теории групп», Труды Математического института им. В.А. Стеклова, 44 : 1–143, Zbl 0068.01301
^ Бун, Уильям У. (1958), «Проблема со словами» (PDF) , Труды Национальной академии наук , 44 (10): 1061–1065, Bibcode : 1958PNAS...44.1061B, doi : 10.1073/pnas.44.10.1061 , PMC 528693 , PMID 16590307, Zbl 0086.24701, архивировано (PDF) из оригинала 24.09.2015
^ Джонсон, DL; Робертсон, EL (1979). "Конечные группы нулевого дефицита". В Wall, CTC (ред.). Гомологическая теория групп . Серия заметок лекций Лондонского математического общества. Том 36. Cambridge University Press . С. 275–289. ISBN 0-521-22729-1. Збл 0423.20029.

Ссылки

Coxeter, HSM ; Moser, WOJ (1980). Генераторы и отношения для дискретных групп . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.― Этот полезный справочник содержит таблицы представлений всех малых конечных групп, групп отражений и т. д.
Джонсон, Д. Л. (1997). Презентации групп (2-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-58542-2.― Метод Шрайера, метод Нильсена, свободные представления, подгруппы и расширения HNN, теорема Голода–Шафаревича и т. д.
Sims, Charles C. (1994). Вычисления с конечно представленными группами (1-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-13507-8.― фундаментальные алгоритмы из теоретической информатики, вычислительной теории чисел и вычислительной коммутативной алгебры и т. д.

Внешние ссылки

де Корнюлье, Ив. «Групповая презентация». Математический мир .
Малые группы и их презентации на GroupNames