В математике представления Спрингера — это определенные представления группы Вейля W, связанные с унипотентными классами сопряженности полупростой алгебраической группы G. Существует еще один задействованный параметр — представление некоторой конечной группы A ( u ), канонически определяемой унипотентным классом сопряженности. Каждой паре ( u , φ) , состоящей из унипотентного элемента u группы G и неприводимого представления φ группы A ( u ), можно сопоставить либо неприводимое представление группы Вейля, либо 0. Ассоциация
зависит только от класса сопряженности u и порождает соответствие между неприводимыми представлениями группы Вейля и парами ( u , φ) по модулю сопряжения, называемое соответствием Спрингера . Известно, что каждое неприводимое представление W встречается в соответствии ровно один раз, хотя φ может быть нетривиальным представлением. Соответствие Спрингера было явно описано во всех случаях Люстигом, Шпальтенштейном и Сёдзи. Соответствие, наряду с его обобщениями, полученными Люстигом, играет ключевую роль в классификации Люстигом неприводимых представлений конечных групп типа Ли .
Было разработано несколько подходов к соответствию Springer. Первоначальная конструкция TA Springer [1] основывалась на определении действия W на группах когомологий l-адической размерности алгебраического многообразия B u подгрупп Бореля группы G, содержащих заданный унипотентный элемент u полупростой алгебраической группы G над конечным полем. Эта конструкция была обобщена Люстигом [2], который также устранил некоторые технические предположения. Позднее Springer дал другую конструкцию [3] , используя обычные когомологии с рациональными коэффициентами и комплексные алгебраические группы.
Каждан и Люстиг нашли топологическую конструкцию представлений Спрингера, используя многообразие Стейнберга [4] и, как утверждается, открыли полиномы Каждана–Люстига в этом процессе. Обобщенное соответствие Спрингера изучалось Люстигом и Шпальтенштейном [5] и Люстигом в его работе о пучках характеров . Борхо и Макферсон дали еще одну конструкцию соответствия Спрингера. [6]
Для специальной линейной группы SL n классы унипотентной сопряженности параметризуются разбиениями n : если u — унипотентный элемент, соответствующее разбиение задается размерами жордановых блоков u . Все группы A ( u ) тривиальны.
Группа Вейля W — это симметрическая группа S n на n буквах. Ее неприводимые представления над полем нулевой характеристики также параметризуются разбиениями n . Соответствие Спрингера в этом случае является биекцией, а в стандартных параметризациях оно задается транспонированием разбиений (так что тривиальное представление группы Вейля соответствует регулярному унипотентному классу, а знаковое представление — единичному элементу G ).
Соответствие Springer оказалось тесно связанным с классификацией примитивных идеалов в универсальной обертывающей алгебре комплексной полупростой алгебры Ли , как в качестве общего принципа, так и в качестве технического инструмента. Многие важные результаты принадлежат Энтони Джозефу. Геометрический подход был разработан Борхо, Брилински и Макферсоном . [7]
