Петлевое представление в калибровочных теориях и квантовой гравитации

Описание калибровочных теорий с использованием петлевых операторов

Были предприняты попытки описать калибровочные теории в терминах расширенных объектов, таких как петли Вильсона и голономии . Представление петель является квантовым гамильтоновым представлением калибровочных теорий в терминах петель. Целью представления петель в контексте теорий Янга–Миллса является избежание избыточности, вносимой калибровочными симметриями Гаусса, что позволяет работать непосредственно в пространстве физических состояний (калибровочно-инвариантных состояний Гаусса). Идея хорошо известна в контексте решеточной теории Янга–Миллса (см. решеточная калибровочная теория ). Попытки исследовать непрерывное представление петель были предприняты Гамбини и Триасом для канонической теории Янга–Миллса, однако возникли трудности, поскольку они представляли сингулярные объекты. Как мы увидим, формализм петель выходит далеко за рамки простого калибровочно-инвариантного описания, на самом деле это естественная геометрическая структура для рассмотрения калибровочных теорий и квантовой гравитации в терминах их фундаментальных физических возбуждений.

Введение Аштекаром нового набора переменных ( переменные Аштекара ) превратило общую теорию относительности в тот же язык, что и калибровочные теории, и позволило применять петлевые методы в качестве естественного непертурбативного описания теории Эйнштейна. В канонической квантовой гравитации трудности использования непрерывного петлевого представления устраняются инвариантностью общей теории относительности относительно пространственного диффеоморфизма . Петлевое представление также обеспечивает естественное решение ограничения пространственного диффеоморфизма, устанавливая связь между канонической квантовой гравитацией и теорией узлов . Удивительно, но существовал класс петлевых состояний, которые обеспечивали точные (хотя и формальные) решения исходного (плохо определенного) уравнения Уиллера–ДеВитта Аштекара . Следовательно, для всех уравнений канонической квантовой общей гравитации в этом представлении был идентифицирован бесконечный набор точных (хотя и формальных) решений! Это вызвало большой интерес к подходу и в конечном итоге привело к петлевой квантовой гравитации (LQG).

Представление петель нашло применение в математике. Если топологические квантовые теории поля формулируются в терминах петель, то результирующие величины должны быть тем, что известно как инварианты узлов . Топологические теории поля включают только конечное число степеней свободы и поэтому точно решаемы. В результате они предоставляют конкретные вычислимые выражения, которые являются инвариантами узлов. Это было именно понимание Эдварда Виттена ^[1], который заметил, что вычисляя величины, зависящие от петель, в теории Черна-Саймонса и других трехмерных топологических квантовых теориях поля можно придумать явные аналитические выражения для инвариантов узлов. За свою работу в этой области в 1990 году он был награжден медалью Филдса . Он является первым и пока единственным физиком, удостоенным медали Филдса, часто рассматриваемой как величайшая награда в математике.

Калибровочная инвариантность теории Максвелла

Идея калибровочных симметрий была введена в теорию Максвелла. Уравнения Максвелла имеют вид

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}={\rho \over \epsilon _{0}}\qquad \nabla \times {\vec {B}}-\epsilon _{0}\mu _{0}{\partial {\vec {E}} \over \partial t}=\mu _{0}{\vec {J}}\qquad \nabla \times {\vec {E}}+{\partial {\vec {B}} \over \partial t}=0\qquad \nabla \cdot {\vec {B}}=0}$

где — плотность заряда и плотность тока. Последние два уравнения можно решить, записав поля в терминах скалярного потенциала, , и векторного потенциала, : ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\vec {J}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\vec {A}}}$

${\displaystyle {\vec {E}}=-\nabla \phi -{\partial {\vec {A}} \over \partial t}\qquad {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}}$.

Потенциалы однозначно определяют поля, но поля однозначно не определяют потенциалы — мы можем внести изменения:

${\displaystyle \phi '=\phi +{\partial \Lambda \over \partial t}\qquad {\vec {A}}'={\vec {A}}-\nabla \Lambda }$

не затрагивая электрические и магнитные поля, где - произвольная функция пространства-времени. Они называются калибровочными преобразованиями. Существует элегантная релятивистская нотация: калибровочное поле - это ${\displaystyle \Lambda ({\vec {x}},t)}$

${\displaystyle A^{\mu }=(\phi ,{\vec {A}})}$

и приведенные выше калибровочные преобразования читаются как:

${\displaystyle {A^{\mu }}'=A^{\mu }+\partial ^{\mu }\Lambda }$.

Вводится так называемый тензор напряженности поля,

${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}$

который, как легко показать, инвариантен относительно калибровочных преобразований. В компонентах,

${\displaystyle F^{0i}=E^{i},\qquad \epsilon ^{ijk}F^{jk}=B^{i}}$.

Действие Максвелла без источника определяется по формуле:

${\displaystyle S=-{1 \over 2}\int d^{4}x{\Big (}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }{\Big )}}$.

Возможность изменять калибровочный потенциал в разных точках пространства и времени (изменяя ) без изменения физики называется локальной инвариантностью. Электромагнитная теория обладает простейшим видом локальной калибровочной симметрии, называемой (см. унитарную группу ). Теория, которая демонстрирует локальную калибровочную инвариантность, называется калибровочной теорией. Чтобы сформулировать другие калибровочные теории, мы выворачиваем приведенные выше рассуждения наизнанку. Это тема следующего раздела. ${\displaystyle \Lambda ({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle U(1)}$

Теории связи и калибровок

Связь и теория Максвелла

Из квантовой механики мы знаем, что если мы заменим волновую функцию, описывающую электронное поле, на ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle \psi '(x)=\exp(i\theta )\psi (x)}$

что он оставляет физические предсказания неизменными. Мы рассматриваем наложение локальной инвариантности на фазу электронного поля,

${\displaystyle \psi '(x)=\Omega \psi (x)=\exp(i\theta (x))\psi (x)}$

Проблема в том, что производные не являются ковариантными относительно этого преобразования: ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle \partial _{\mu }(\exp(i\theta (x))\psi (x))=\Omega \partial _{\mu }\psi (x)+\partial _{\mu }\Omega \psi (x)}$.

Чтобы отменить второй нежелательный член, вводится новый производный оператор , который является ковариантным. Чтобы построить , вводится новое поле, соединение : ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }}$ ${\displaystyle A_{\mu }}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }=\partial _{\mu }+igA_{\mu }(x)}$.

Затем

${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{\mu }\psi )'=\partial _{\mu }\psi '+igA_{\mu }'\psi '=\Omega \partial _{\mu }\psi +(\partial \Omega )\psi +igA_{\mu }'\Omega \psi }$

Этот термин полностью устраняется, если требуется, чтобы поле соединения трансформировалось как ${\displaystyle \partial _{\mu }\Omega }$

${\displaystyle A_{\mu }'(x)=A_{\mu }(x)+{i \over g}[\partial _{\mu }\Omega (x)]\Omega ^{-1}(x)\quad Eq1.}$.

Тогда у нас есть это

${\displaystyle ({\mathcal {D}}_{\mu }\psi )'=\Omega {\mathcal {D}}_{\mu }\psi }$.

Обратите внимание, что это эквивалентно ${\displaystyle Eq1}$

${\displaystyle A_{\mu }'(x)=A_{\mu }(x)+{1 \over g}\partial _{\mu }\theta (x)}$

что выглядит так же, как калибровочное преобразование калибровочного потенциала теории Максвелла. Можно построить инвариантное действие для самого поля связности. Мы хотим действие, которое имеет только две производные (поскольку действия с высшими производными не являются унитарными). Определим величину:

${\displaystyle F_{\mu \nu }={-i \over g}[{\mathcal {D}}_{\mu },{\mathcal {D}}_{\mu }]={-i \over g}[\partial _{\mu }+igA_{\mu }(x),\partial _{\nu }+igA_{\nu }(x)]}$

${\displaystyle ={-i \over g}{\Big (}[\partial _{\mu },\partial _{\nu }]+ig(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu })-g^{2}[A_{\mu },A_{\nu }]{\Big )}}$

${\displaystyle =\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\nu }}$.

Уникальное действие, имеющее только две производные, определяется выражением:

${\displaystyle S=-{\frac {1}{2}}\int d^{4}x{\Big (}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }{\Big )}}$.

Таким образом, электромагнитную теорию можно вывести из аргументов, основанных исключительно на симметрии.

Связность и калибровочная теория Янга-Миллса

Теперь обобщим вышеприведенные рассуждения на общие калибровочные группы. Начнем с генераторов некоторой алгебры Ли :

${\displaystyle [T_{i},T_{j}]=if^{ijk}T^{k}}$

Пусть есть фермионное поле, которое преобразуется как

${\displaystyle \mathbf {\Psi } '\mapsto {\hat {\Omega }}(x)\mathbf {\Psi } (x)=\exp(i\theta ^{i}(x)T^{i})\mathbf {\Psi } (x)}$

Опять же, производные не ковариантны относительно этого преобразования. Введем ковариантную производную ${\displaystyle \mathbf {\Psi } (x)}$

${\displaystyle \mathbf {\mathcal {D}} _{\mu }=\mathbf {I} \partial _{\mu }+ig\mathbf {A} _{\mu }(x)}$

с полем соединения, заданным

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }(x)=A_{\mu }^{i}(x)T^{i}}$

Нам требуется, чтобы преобразования выполнялись следующим образом: ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }(x)}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }'(x)={\hat {\Omega }}\mathbf {A} _{\mu }(x){\hat {\Omega }}^{-1}+{i \over g}{\hat {\Omega }}(\partial _{\mu }{\hat {\Omega }}^{-1})}$.

Определим оператор напряженности поля

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mu \nu }=-{i \over g}[\mathbf {\mathcal {D}} _{\mu },\mathbf {\mathcal {D}} _{\nu }]=\partial _{\mu }\mathbf {A} _{\nu }-\partial _{\nu }\mathbf {A} _{\mu }+ig[\mathbf {A} _{\mu },\mathbf {A} _{\nu }]=(\partial _{\mu }A_{\nu }^{i}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{i}+gf^{ijk}A_{\mu }^{j}A_{\nu }^{k})T^{i}}$.

Поскольку ковариантно, это означает, что тензор также ковариантен: ${\displaystyle \mathbf {\mathcal {D}} _{\mu }}$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }^{i}}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mu \nu }\mapsto \mathbf {F} _{\mu \nu }'={\hat {\Omega }}\mathbf {F} _{\mu \nu }{\hat {\Omega }}^{-1}}$

Обратите внимание, что инвариантен относительно калибровочных преобразований только в том случае, если является скаляром, то есть только в случае электромагнетизма. ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle {\hat {\Omega }}}$

Теперь мы можем построить инвариантное действие из этого тензора. Опять же, нам нужно действие, которое имеет только две производные. Самый простой выбор — это след коммутатора:

${\displaystyle \operatorname {Tr} ({\hat {\Omega }}\mathbf {F} _{\mu \nu }{\hat {\Omega }}^{-1}{\hat {\Omega }}\mathbf {F} ^{\mu \nu }{\hat {\Omega }}^{-1})=\operatorname {Tr} (\mathbf {F} _{\mu \nu }\mathbf {F} ^{\mu \nu })}$

Уникальное действие, имеющее только две производные, определяется выражением:

${\displaystyle S=-{1 \over 2}\int d^{4}xTr(\mathbf {F} _{\mu \nu }\mathbf {F} ^{\mu \nu })=-{1 \over 2}\int d^{4}x\operatorname {Tr} {\Big (}F_{\mu \nu }^{i}T^{j}F_{j}^{\mu \nu }T^{j}{\Big )}}$

Это действие теории Янга-Миллса.

Петлевое представление теории Максвелла

Мы рассматриваем изменение представления в квантовой калибровочной теории Максвелла. Идея состоит в том, чтобы ввести базис состояний, помеченных петлями , внутренний продукт которых с состояниями связи задается как ${\displaystyle \mid \gamma \rangle }$

${\displaystyle \langle A\mid \gamma \rangle =W(\gamma )=\exp \left[ie\int _{\gamma }dy^{\alpha }A_{\alpha }(y)\right]}$

Функционал цикла — это цикл Вильсона для абелева случая. ${\displaystyle W(\gamma )}$ ${\displaystyle U(1)}$

Петлевое представление теории Янга–Миллса

Для простоты (и потому что позже мы увидим, что это релевантная калибровочная группа в LQG) рассмотрим теорию Янга–Миллса в четырех измерениях. Полевая переменная непрерывной теории — это связь (или калибровочный потенциал) , где — индекс в алгебре Ли . Для этого поля можно записать ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle A_{\mu }^{i}(x)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle SU(2)}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }(x)=A_{\mu }^{i}(x)\tau _{i}}$

где генераторы , то есть матрицы Паули, умноженные на . обратите внимание, что в отличие от теории Максвелла, связи являются матричнозначными и не коммутируют, то есть они являются неабелевыми калибровочными теориями. Мы должны принять это во внимание при определении соответствующей версии голономии для теории Янга–Миллса. ${\displaystyle \tau _{i}}$ ${\displaystyle su(2)}$ ${\displaystyle i/2}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mu }(x)}$ ${\displaystyle SU(2)}$

Сначала опишем квантовую теорию в терминах переменной связи.

Представление связи

В представлении связи переменная конфигурации есть , а ее сопряженный импульс есть (уплотненная) триада . Наиболее естественно рассматривать волновые функции . Это известно как представление связи. Канонические переменные повышаются до квантовых операторов: ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$ ${\displaystyle \Psi (A_{a}^{i})}$

${\displaystyle {\hat {A}}_{a}^{i}\Psi [A]=A_{a}^{i}\Psi [A]}$

(аналогично позиционному представлению ) и триады являются функциональными производными, ${\displaystyle {\hat {q}}\psi (q)=q\psi (q)}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {E}}}_{a}^{i}\Psi [A]=-i{\delta \Psi [A] \over \delta A_{a}^{i}}}$

(аналогично ) ${\displaystyle {\hat {p}}\psi (q)=-i{d\psi (q) \over dq}}$

Голономия и петля Вильсона

Вернемся к классической теории Янга–Миллса. Калибровочно-инвариантную информацию теории можно закодировать в терминах «петлеобразных» переменных.

Нам необходимо понятие голономии . Голономия — это мера того, насколько различаются начальные и конечные значения спинора или вектора после параллельного переноса по замкнутому контуру  ; она обозначается ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle h_{\gamma }[A]}$

Знание голономий эквивалентно знанию связи, с точностью до эквивалентности калибровок. Голономии также могут быть связаны с ребром; по закону Гаусса они преобразуются как

${\displaystyle (h'_{e})_{\alpha \beta }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \beta }(y).}$

Для замкнутого контура , если мы возьмем след этого, то есть сложим и просуммируем, то получим ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle \alpha =\beta }$

${\displaystyle (h'_{e})_{\alpha \alpha }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \alpha }(x)=[U_{\sigma \alpha }(x)U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)](h_{e})_{\gamma \sigma }=\delta _{\sigma \gamma }(h_{e})_{\gamma \sigma }=(h_{e})_{\gamma \gamma }}$

или

${\displaystyle \operatorname {Tr} h'_{\gamma }=\operatorname {Tr} h_{\gamma }.}$

Таким образом, след голономии вокруг замкнутой петли калибровочно-инвариантен. Он обозначается

${\displaystyle W_{\gamma }[A]}$

и называется петлей Вильсона. Явная форма голономии —

${\displaystyle h_{\gamma }[A]={\mathcal {P}}\exp {\Big \{}-\int _{\gamma _{0}}^{\gamma _{1}}\,ds{\dot {\gamma }}^{a}A_{a}^{i}(\gamma (s))T_{i}{\Big \}}}$

где — кривая, вдоль которой оценивается голономия, а — параметр вдоль кривой, обозначает упорядочение путей, означающее факторы для меньших значений появляются слева, а — матрицы, удовлетворяющие алгебре ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle su(2)}$

${\displaystyle [T^{i},T^{j}]=2i\epsilon ^{ijk}T^{k}.\,}$

Матрицы Паули удовлетворяют вышеуказанному соотношению. Оказывается, существует бесконечно много примеров наборов матриц, удовлетворяющих этим соотношениям, где каждый набор содержит матрицы с , и где ни один из них не может считаться «разложимым» на два или более примеров меньшей размерности. Они называются различными неприводимыми представлениями алгебры . Наиболее фундаментальным представлением являются матрицы Паули. Голономия помечается половиной целого числа в соответствии с используемым неприводимым представлением. ${\displaystyle (N+1)\times (N+1)}$ ${\displaystyle N=1,2,3,\dots }$ ${\displaystyle su(2)}$ ${\displaystyle N/2}$

Теорема Джайлса о реконструкции калибровочных потенциалов из петель Вильсона

Важной теоремой о калибровочных теориях Янга–Миллса является теорема Джайлса, согласно которой, если задать след голономии связности для всех возможных петель на многообразии, то можно, в принципе, восстановить всю калибровочно-инвариантную информацию связности. ^[2] То есть петли Вильсона составляют базис калибровочно-инвариантных функций связности. Этот ключевой результат является основой для представления петель для калибровочных теорий и гравитации.

Преобразование цикла и представление цикла

Использование петель Вильсона явно решает ограничение калибровки Гаусса. Поскольку петли Вильсона образуют базис, мы можем формально разложить любую инвариантную функцию калибровки Гаусса как,

${\displaystyle \Psi [A]=\sum _{\gamma }\Psi [\gamma ]W_{\gamma }[A]}$.

Это называется петлевым преобразованием. Мы можем увидеть аналогию с переходом к импульсному представлению в квантовой механике. Там есть базис состояний, помеченных числом , и один расширяет ${\displaystyle \exp(ikx)}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \psi [x]=\int dk\psi (k)\exp(ikx).}$

и работает с коэффициентами расширения . ${\displaystyle \psi (k)}$

Обратное преобразование цикла определяется как

${\displaystyle \Psi [\gamma ]=\int [dA]\Psi [A]W_{\gamma }[A].}$

Это определяет представление цикла. Учитывая оператор в представлении соединения, ${\displaystyle {\hat {O}}}$

${\displaystyle \Phi [A]={\hat {O}}\Psi [A],\qquad {\text{Eq 1}}}$

следует определить соответствующий оператор в представлении цикла через, ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

${\displaystyle \Phi [\gamma ]={\hat {O}}'\Psi [\gamma ],\qquad {\text{Eq 2}}}$

где определяется обычным обратным циклическим преобразованием, ${\displaystyle \Phi [\gamma ]}$

${\displaystyle \Phi [\gamma ]=\int [dA]\Phi [A]W_{\gamma }[A].\qquad {\text{Eq 3}}}$

Формула преобразования, задающая действие оператора на через действие оператора на , затем получается путем приравнивания правой части к правой части с подставленной в , а именно ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$ ${\displaystyle {\hat {O}}}$ ${\displaystyle \Psi [A]}$ ${\displaystyle Eq\;2}$ ${\displaystyle Eq\;3}$ ${\displaystyle Eq\;1}$ ${\displaystyle Eq\;3}$

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]W_{\gamma }[A]{\hat {O}}\Psi [A],}$

или

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]({\hat {O}}^{\dagger }W_{\gamma }[A])\Psi [A],}$

где под мы подразумеваем оператор, но с обратным порядком множителей (вспомните из простой квантовой механики, где произведение операторов обращается при сопряжении). Мы оцениваем действие этого оператора на петлю Вильсона как вычисление в представлении связей и перестановку результата как манипуляцию исключительно в терминах петель (следует помнить, что при рассмотрении действия на петле Вильсона следует выбирать оператор, который мы хотим преобразовать с обратным порядком множителей по отношению к выбранному для его действия на волновые функции ). ${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {O}}}$ ${\displaystyle \Psi [A]}$

Петлевое представление квантовой гравитации

Переменные Аштекара–Барберо канонической квантовой гравитации

Введение переменных Аштекара превратило общую теорию относительности в тот же язык, что и калибровочные теории. В частности, невозможность иметь хороший контроль над пространством решений закона Гаусса и ограничениями пространственного диффеоморфизма побудила Ровелли и Смолина рассмотреть новое представление – петлевое представление. ^[3]

Чтобы справиться с ограничением пространственного диффеоморфизма, нам нужно перейти к представлению цикла. Приведенные выше рассуждения дают физический смысл оператора . Например, если соответствует пространственному диффеоморфизму, то это можно рассматривать как сохранение поля связности там , где оно находится, при выполнении вместо этого пространственного диффеоморфизма на . Таким образом, смыслом является пространственный диффеоморфизм на , аргумент . ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ ${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W_{\gamma }[A]}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

В представлении петли мы можем затем решить ограничение пространственного диффеоморфизма, рассматривая функции петель , которые инвариантны относительно пространственных диффеоморфизмов петли . То есть, мы строим то, что математики называют инвариантами узлов . Это открыло неожиданную связь между теорией узлов и квантовой гравитацией. ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$ ${\displaystyle \gamma }$

Петлевое представление и собственные функции геометрических квантовых операторов

Самая простая геометрическая величина — это площадь. Выберем координаты так, чтобы поверхность характеризовалась . Площадь малого параллелограмма поверхности равна произведению длины каждой стороны на , где — угол между сторонами. Допустим, одно ребро задано вектором , а другое — тогда, ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle x^{3}=0}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \sin \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\|{\vec {u}}\|\|{\vec {v}}\|\sin \theta ={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}(1-\cos ^{2}\theta )}}\\[6pt]&={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}-({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})^{2}}}\end{aligned}}}$

Отсюда получаем площадь поверхности, которая будет задана как ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }\,dx^{1}\,dx^{2}{\sqrt {\det \;q^{(2)}}}}$

где и — определитель метрики, индуцированной на . Это можно переписать как ${\displaystyle \det q^{(2)}=q_{11}q_{22}-q_{12}^{2}}$ ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \det \;q^{(2)}={\epsilon ^{3ab}\epsilon ^{3cd}q_{ac}q_{bc} \over 2}.}$

Стандартная формула для обратной матрицы:

${\displaystyle q^{ab}={\epsilon ^{bcd}\epsilon ^{aef}q_{ce}q_{df} \over 2!\det(q)}}$

Обратите внимание на сходство между этим и выражением для . Но в переменных Аштекара мы имеем . Следовательно, ${\displaystyle \det q^{(2)}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}=\det(q)q^{ab}}$

${\displaystyle A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }\,dx^{1}\,dx^{2}{\sqrt {{\tilde {E}}_{i}^{3}{\tilde {E}}^{3i}}}.}$

Согласно правилам канонического квантования мы должны перевести триады в квантовые операторы, ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{3}}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {E}}}_{i}^{3}\sim {\delta \over \delta A_{3}^{i}}.}$

Оказывается, что площадь может быть повышена до хорошо определенного квантового оператора, несмотря на то, что мы имеем дело с произведением двух функциональных производных и, что еще хуже, нам приходится иметь дело с квадратным корнем. ^[4] Полагая , мы говорим о нахождении в J -ом представлении. Отметим, что . Эта величина важна в окончательной формуле для спектра площади. Мы просто сформулируем результат ниже, ${\displaystyle A_{\Sigma }}$ ${\displaystyle N=2J}$ ${\displaystyle \sum _{i}T^{i}T^{i}=J(J+1)1}$

${\displaystyle {\hat {A}}_{\Sigma }W_{\gamma }[A]=8\pi \ell _{Planck}^{2}\beta \sum _{I}{\sqrt {j_{I}(j_{I}+1)}}W_{\gamma }[A]}$

где сумма берется по всем ребрам петли Вильсона, пронизывающим поверхность . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Формула для объема области имеет вид ${\displaystyle R}$

${\displaystyle V=\int _{R}d^{3}x{\sqrt {\det(q)}}={1 \over 6}\int _{R}dx^{3}{\sqrt {\epsilon _{abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}{\tilde {E}}_{k}^{c}}}.}$

Квантование объема происходит так же, как и с площадью. Поскольку мы берем производную, и каждый раз, когда мы это делаем, мы сводим касательный вектор , когда оператор объема действует на непересекающиеся петли Вильсона, результат исчезает. Квантовые состояния с ненулевым объемом должны, следовательно, включать пересечения. Учитывая, что антисимметричное суммирование переносится в формулу для объема, нам понадобятся по крайней мере пересечения с тремя некопланарными линиями . На самом деле оказывается, что для того, чтобы оператор объема был неисчезающим, нужны по крайней мере четырехвалентные вершины. ${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{a}}$

Тождества Мандельштама: su(2) Янга – Миллса

Теперь рассмотрим петли Вильсона с пересечениями. Мы предполагаем, что действительное представление, где калибровочная группа — это . Петли Вильсона являются сверхполным базисом, поскольку существуют тождества, связывающие различные петли Вильсона. Они вытекают из того факта, что петли Вильсона основаны на матрицах (голономия), и эти матрицы удовлетворяют тождествам, так называемым тождествам Мандельстама. Даны любые две матрицы , и легко проверить, что ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle \mathbb {A} }$ ${\displaystyle \mathbb {B} }$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (\mathbb {A} )\operatorname {Tr} (\mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )+\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} ^{-1}).}$

Это означает, что если даны две петли , которые пересекаются, то мы будем иметь, ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle W_{\gamma }[A]W_{\eta }[A]=W_{\gamma \circ \eta }[A]+W_{\gamma \circ \eta ^{-1}}[A]}$

где под мы подразумеваем петлю, пройденную в противоположном направлении, а означает петлю, полученную путем обхода петли и затем вдоль . Смотрите рисунок ниже. Это называется тождеством Мандельстама второго рода. Существует тождество Мандельстама первого рода . Спиновые сети — это определенные линейные комбинации пересекающихся петель Вильсона, разработанные для решения проблемы избыточной полноты, вносимой тождествами Мандельстама. ${\displaystyle \eta ^{-1}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \gamma \circ \eta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle W(\gamma _{1}\circ \gamma _{2})=W(\gamma _{2}\circ \gamma _{1})}$

Графическое представление тождества Мандестама, связывающего различные петли Вильсона .

Спиновые состояния сети

Фактически спиновые сети составляют основу всех калибровочно-инвариантных функций, которые минимизируют степень избыточности петлевого базиса, а для трехвалентных пересечений полностью ее устраняют.

Как упоминалось выше, голономия говорит вам, как распространять тестовые спиновые получастицы. Состояние спиновой сети назначает амплитуду набору спиновых получастиц, прокладывающих путь в пространстве, сливающихся и разделяющихся. Они описываются спиновыми сетями : ребра помечены спинами вместе с `переплетателями' в вершинах, которые являются предписанием для того, как суммировать по различным способам перенаправления спинов. Сумма по перенаправлению выбирается как таковая, чтобы сделать форму переплетателя инвариантной относительно калибровочных преобразований Гаусса. ${\displaystyle \gamma }$

Уникальность представления цикла в LQG

Теоремы, устанавливающие единственность представления цикла, как определено Аштекаром и др. (т.е. некоторая конкретная реализация гильбертова пространства и связанных операторов, воспроизводящих правильную алгебру циклов – реализацию, которую все использовали), были даны двумя группами (Левандовски, Околов, Сальман и Тиман) ^[5] и (Кристиан Фляйшхак). ^[6] До того, как этот результат был установлен, не было известно, могут ли быть другие примеры гильбертовых пространств с операторами, вызывающими ту же алгебру циклов, другие реализации, не эквивалентные той, которая использовалась до сих пор.

Теория узлов и петли в топологической теории поля

Распространенный метод описания узла (или связи , которые являются узлами из нескольких компонентов, запутанных друг с другом) заключается в рассмотрении его проецируемого изображения на плоскость, называемого диаграммой узла. Любой заданный узел (или связь) можно нарисовать множеством различных способов с помощью диаграммы узла. Поэтому фундаментальной проблемой в теории узлов является определение того, когда два описания представляют один и тот же узел. Имея диаграмму узла, пытаются найти способ назначить инвариантный для нее узел, иногда многочлен, называемый многочленом узла. Две диаграммы узлов с разными многочленами, сгенерированные одной и той же процедурой, обязательно соответствуют разным узлам. Однако, если многочлены одинаковы, это может не означать, что они соответствуют одному и тому же узлу. Чем лучше многочлен различает узлы, тем он мощнее.

В 1984 году Джонс ^[7] объявил об открытии нового инварианта связи, что вскоре привело к ошеломляющему обилию обобщений. Он нашел новый полином узла, полином Джонса . В частности, это инвариант ориентированного узла или связи, который назначает каждому ориентированному узлу или связи полином с целыми коэффициентами.

В конце 1980-х годов Виттен ввел термин «топологическая квантовая теория поля» для определенного типа физической теории, в которой ожидаемые значения наблюдаемых величин инвариантны относительно диффеоморфизмов.

Виттен ^[8] дал эвристический вывод полинома Джонса и его обобщений из теории Черна–Саймонса . Основная идея заключается просто в том, что вакуумные ожидаемые значения петель Вильсона в теории Черна–Саймонса являются инвариантами зацеплений из-за инвариантности теории относительно диффеоморфизмов. Однако для вычисления этих ожидаемых значений Виттену нужно было использовать связь между теорией Черна–Саймонса и конформной теорией поля, известной как модель Весса–Зумино–Виттена (или модель WZW).

Ссылки

1. Виттен, Эдвард (1989). «Квантовая теория поля и многочлен Джонса». Communications in Mathematical Physics . 121 (3): 351–399. Bibcode : 1989CMaPh.121..351W. doi : 10.1007/bf01217730. ISSN  0010-3616. S2CID  14951363.
2. Джайлс, Р. (1981-10-15). «Реконструкция калибровочных потенциалов из петель Вильсона». Physical Review D. 24 ( 8): 2160–2168. Bibcode : 1981PhRvD..24.2160G. doi : 10.1103/physrevd.24.2160. ISSN  0556-2821.
3. Ровелли, Карло; Смолин, Ли (1988-09-05). «Теория узлов и квантовая гравитация». Physical Review Letters . 61 (10): 1155–1158. Bibcode : 1988PhRvL..61.1155R. doi : 10.1103/physrevlett.61.1155. ISSN  0031-9007. PMID  10038716.
4. Например, см. раздел 8.2 книги « Первый курс петлевой квантовой гравитации» , Гамбини, Р. и Пуллин, Дж. Опубликовано Oxford University Press в 2011 г.
5. Левандовски, Ежи; Околув, Анджей; Сальманн, Ханно; Тиманн, Томас (2006-08-22). «Уникальность инвариантных состояний диффеоморфизма на алгебрах голономии–потока». Сообщения по математической физике . 267 (3): 703–733. arXiv : gr-qc/0504147 . Bibcode :2006CMaPh.267..703L. doi :10.1007/s00220-006-0100-7. ISSN  0010-3616. S2CID  14866220.
6. Флейшхак, Кристиан (2006-08-11). "Неприводимость алгебры Вейля в петлевой квантовой гравитации". Physical Review Letters . 97 (6): 061302. Bibcode : 2006PhRvL..97f1302F. doi : 10.1103/physrevlett.97.061302. ISSN  0031-9007. PMID  17026156.
7. В. Джонс, Полиномиальный инвариант для узлов с помощью алгебр фон Неймана, перепечатано в ``Новые разработки в теории узлов , под ред. Т. Коно, World Scientific, Сингапур, 1989.
8. Witten, E. (1989). «Квантовая теория поля и многочлен Джонса». Communications in Mathematical Physics . 121 (3): 351–399. Bibcode :1989CMaPh.121..351W. doi :10.1007/BF01217730. MR  0990772. S2CID  14951363.