Предшественник (физика)

Феномен двойной скорости волны

Предвестники — это характерные волновые паттерны, вызванные дисперсией частотных компонентов импульса при его распространении через среду. Классически предвестники предшествуют основному сигналу, хотя в определенных ситуациях они могут также следовать за ним. Явления предвестников существуют для всех типов волн, поскольку их появление основано только на значимости эффектов дисперсии в данном режиме распространения волн. Эта неспецифичность была подтверждена наблюдением за предвестниками в различных типах электромагнитного излучения ( микроволны , ^[1] видимый свет , ^[2] и терагерцовое излучение ^[3] ), а также в поверхностных волнах жидкости ^[4] и сейсмических волнах . ^[5]

История

Предвестники были впервые теоретически предсказаны в 1914 году Арнольдом Зоммерфельдом для случая электромагнитного излучения, распространяющегося через нейтральный диэлектрик в области нормальной дисперсии. ^[6] Работа Зоммерфельда была расширена в последующие годы Леоном Бриллюэном , который применил приближение седловой точки для вычисления соответствующих интегралов. ^[6] Однако только в 1969 году предвестники были впервые экспериментально подтверждены для случая микроволн, распространяющихся в волноводе, ^[1] и большая часть экспериментальной работы по наблюдению предвестников в других типах волн была выполнена только с 2000 года. Это экспериментальное запаздывание в основном связано с тем, что во многих ситуациях предвестники имеют гораздо меньшую амплитуду, чем сигналы, которые их порождают (базовая цифра, приведенная Бриллюэном, на шесть порядков меньше). ^[6] В результате экспериментальные подтверждения могли быть сделаны только после того, как стали доступны технологии для обнаружения предвестников.

Основная теория

Как дисперсионное явление, амплитуда на любом расстоянии и в любое время предвестниковой волны, распространяющейся в одном измерении, может быть выражена интегралом Фурье

${\displaystyle f(x,t)={\frac {1}{2\pi }}\int {\hat {\zeta }}_{0}(\omega )\exp \left[-i\left(k(\omega )x-\omega t\right)\right]d\omega }$

где — преобразование Фурье начального импульса, а комплексная экспонента представляет отдельные компоненты вейвлетов, суммированные в интеграле. Для учета эффектов дисперсии фаза экспоненты должна включать дисперсионное соотношение (здесь — фактор) для конкретной среды, в которой распространяется волна. ${\displaystyle {\hat {\zeta }}_{0}(\omega )}$ ${\displaystyle \exp \left[-i\left(k(\omega )x-\omega t\right)\right]}$ ${\displaystyle k(\omega )}$

Интеграл выше может быть решен в замкнутой форме только тогда, когда сделаны идеализированные предположения о начальном импульсе и дисперсионном соотношении, как в выводе Зоммерфельда ниже. В большинстве реалистичных случаев для вычисления интеграла требуется численное интегрирование .

Вывод Зоммерфельда для электромагнитных волн в нейтральном диэлектрике

Предположим, что начальный импульс имеет форму синусоиды, резко включающейся в момент времени , ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle f(t)=\left\{{\begin{array}{rl}0&t<0\\\sin {\frac {2\pi t}{\tau }}&t\geq 0\end{array}}\right.,}$

тогда мы можем записать интеграл общего вида, данный в предыдущем разделе, как

${\displaystyle f(x,t)=-{\frac {1}{\tau }}\int e^{-i(k(\omega )x-\omega t)}{\frac {d\omega }{\omega ^{2}-(2\pi /\tau )^{2}}}.}$

Для простоты мы предполагаем, что все задействованные частоты находятся в диапазоне нормальной дисперсии для среды, и позволяем дисперсионному соотношению принять вид

${\displaystyle k(\omega )={\frac {\omega }{c}}{\sqrt {1+{\frac {a^{2}\omega _{0}^{2}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}}}}$

где , являясь числом атомных осцилляторов в среде, а также зарядом и массой каждого из них, собственной частотой осцилляторов и диэлектрической проницаемостью вакуума . Это дает интеграл ${\displaystyle a^{2}={\frac {Nq^{2}}{m\epsilon _{0}\omega _{0}^{2}}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \epsilon _{0}}$

${\displaystyle f(x,t)=-{\frac {1}{\tau }}\int \exp \left[-i\left(x{\frac {\omega }{c}}{\sqrt {1+{\frac {a^{2}\omega _{0}^{2}}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}}}-\omega t\right)\right]{\frac {d\omega }{\omega ^{2}-(2\pi /\tau )^{2}}}.}$

Чтобы решить этот интеграл, мы сначала выражаем время через запаздывающее время , что необходимо для того, чтобы решение не нарушало причинность, распространяясь быстрее, чем . Мы также считаем большим и игнорируем член в знак уважения к члену второго порядка . Наконец, мы подставляем , получая ${\displaystyle t'=t-{\frac {x}{c}}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |\omega |}$ ${\displaystyle {\frac {2\pi }{\tau }}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \xi ={\frac {a^{2}\omega _{0}^{2}}{2c}}x}$

${\displaystyle f(\xi ,t')=-{\frac {1}{\tau }}\int \exp \left[-i\left({\frac {\xi }{\omega }}+\omega t'\right)\right]{\frac {d\omega }{\omega ^{2}}}}$

Переписываем это как

${\displaystyle f(\xi ,t')=-{\frac {1}{\tau }}\int \exp \left[-i{\sqrt {\xi t'}}\left({\frac {1}{\omega }}{\sqrt {\frac {\xi }{t'}}}+\omega {\sqrt {\frac {t'}{\xi }}}\right)\right]{\frac {d\omega }{\omega ^{2}}}}$

и делая замены

${\displaystyle \omega {\sqrt {\frac {t'}{\xi }}}=e^{ik},\qquad {\frac {d\omega }{\omega }}=idk,\qquad {\frac {d\omega }{\omega ^{2}}}=i{\sqrt {\frac {t'}{\xi }}}e^{-ik}dk}$

позволяет преобразовать интеграл в

${\displaystyle f(\xi ,t')=-{\frac {i}{\tau }}{\sqrt {\frac {t'}{\xi }}}\int \exp \left[-2i{\sqrt {\xi t'}}\cos k\right]e^{-ik}dk,}$

где — просто фиктивная переменная, и, наконец, ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f(\xi ,t')={\frac {2\pi }{\tau }}{\sqrt {\frac {t'}{\xi }}}J_{1}\left(2{\sqrt {\xi t'}}\right),}$

где — функция Бесселя первого рода. Это решение, представляющее собой колебательную функцию с амплитудой и периодом, которые увеличиваются с увеличением времени, характерно для особого типа предшественника, известного как предшественник Зоммерфельда . ^[7] ${\displaystyle J_{1}}$

Анализ периода на основе приближения стационарной фазы

Приближение стационарной фазы может быть использовано для анализа формы волн-предшественников без решения интеграла общего вида, приведенного в разделе «Основная теория» выше. Приближение стационарной фазы утверждает, что для любой скорости распространения волны, определенной из любого расстояния и времени , доминирующей частотой предвестника является частота, групповая скорость которой равна : ${\displaystyle {\frac {x}{t}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \omega _{D}}$ ${\displaystyle {\frac {x}{t}}}$

${\displaystyle v_{g}(\omega _{D})=\left.{\frac {d\omega }{dk}}\right|_{\omega _{D}}={\frac {x}{t}}.}$

Таким образом, можно определить приблизительный период предвестника на определенном расстоянии и времени, вычислив период частотного компонента, который прибудет на это расстояние и время на основе его групповой скорости. В области нормальной дисперсии высокочастотные компоненты имеют более быструю групповую скорость, чем низкочастотные, поэтому фронт предвестника должен иметь период, соответствующий периоду наиболее высокочастотного компонента исходного импульса; с увеличением времени прибывают компоненты с более низкими частотами, поэтому период предвестника становится все длиннее и длиннее, пока не прибудет наиболее низкочастотный компонент. По мере того, как прибывает все больше и больше компонентов, амплитуда предвестника также увеличивается. Конкретный тип предвестника, характеризующийся увеличением периода и амплитуды, известен как высокочастотный предвестник Зоммерфельда .

В области аномальной дисперсии, где низкочастотные компоненты имеют более быстрые групповые скорости, чем высокочастотные, происходит обратная вышеописанной ситуация: начало предвестника характеризуется большим периодом, а период сигнала уменьшается со временем. Этот тип предвестника называется низкочастотным предвестником Зоммерфельда .

В некоторых ситуациях распространения волн (например, поверхностные волны жидкости) два или более частотных компонента могут иметь одинаковую групповую скорость для определенных диапазонов частот; это обычно сопровождается локальным экстремумом на кривой групповой скорости. Это означает, что для определенных значений времени и расстояния предвестниковая волна будет состоять из суперпозиции как низкочастотных, так и высокочастотных предвестников Зоммерфельда. Любые локальные экстремумы соответствуют только отдельным частотам, поэтому в этих точках будет присутствовать вклад предвестника с постоянным периодом; это известно как предвестник Бриллюэна .

Ссылки

1. Плешко, Питер; Палоц, Иштван (1969-06-02). "Экспериментальное наблюдение предшественников Зоммерфельда и Бриллюэна в микроволновой области". Physical Review Letters . 22 (22). Американское физическое общество (APS): 1201–1204. doi :10.1103/physrevlett.22.1201. ISSN  0031-9007.
2. Aaviksoo, J.; Kuhl, J.; Ploog, K. (1991-11-01). «Наблюдение оптических предшественников при распространении импульсов в GaAs». Physical Review A. 44 ( 9). Американское физическое общество (APS): R5353–R5356. doi :10.1103/physreva.44.r5353. ISSN  1050-2947.
3. Ni, Xiaohui; Alfano, RR (2006). «Распространение предвестника Бриллюэна в ТГц-области в средах Лоренца». Optics Express . 14 (9). Оптическое общество: 4188–4194. doi : 10.1364/oe.14.004188 . ISSN  1094-4087.
4. Фалькон, Эрик; Ларош, Клод; Фов, Стефан (2003-08-07). «Наблюдение предшественников Зоммерфельда на поверхности жидкости». Physical Review Letters . 91 (6). Американское физическое общество (APS): 064502. arXiv : physics/0307032 . doi :10.1103/physrevlett.91.064502. ISSN  0031-9007.
5. Рост, Себастьян; Гарнеро, Эдвард Дж.; Уильямс, Квентин; Манга, Майкл (2005). «Сейсмологические ограничения на возможный корень плюма на границе ядра и мантии». Nature . 435 (7042). Springer Science and Business Media LLC: 666–669. doi :10.1038/nature03620. ISSN  0028-0836.
6. См. Л. Бриллюэн, Распространение волн и групповая скорость (Academic Press, Нью-Йорк, 1960), гл. 1.
7. См. A. Sommerfeld, Lectures on Theoretical Physics (Academic Press, New York, NY, 1950), Vol. 4, p. 88-101, для получения дополнительных подробностей этого вывода.