Сходство матрицы

Эквивалентность при замене базиса (линейная алгебра)

В линейной алгебре две матрицы A и B размером n× n называются подобными , если существует обратимая матрица P размером n × n такая, что

$${\displaystyle B=P^{-1}AP.}$$

линейную картубазисамиPзамена базисной^{[1] [2]}

Преобразование A ↦ P ⁻¹ AP называется преобразованием подобия или сопряжением матрицы A . Поэтому в общей линейной группе сходство есть то же самое, что и сопряженность , и подобные матрицы называются также сопряженными ; однако в данной подгруппе H общей линейной группы понятие сопряженности может быть более ограничительным, чем подобие, поскольку оно требует, чтобы P было выбрано так, чтобы оно лежало в H .

Мотивирующий пример

При определении линейного преобразования может случиться так, что изменение базиса может привести к более простой форме того же преобразования. Например, матрицу, представляющую вращение в R ³ , когда ось вращения не совмещена с осью координат, может быть сложно вычислить. Если бы ось вращения была совмещена с положительной осью z , то это было бы просто

$${\displaystyle S={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}},}$$

${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle y'=Sx',}$$

x'y'

$${\displaystyle y=Tx,}$$

xyTTPxy ${\displaystyle x'=Px}$ ${\displaystyle y'=Py}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&&y'&=Sx'\\[1.6ex]&\Rightarrow &Py&=SPx\\[1.6ex]&\Rightarrow &y&=\left(P^{-1}SP\right)x=Tx\end{aligned}}}$$

Таким образом, матрица в исходном базисе имеет вид . Преобразование в исходном базисе оказывается произведением трех легко выводимых матриц. По сути, преобразование подобия выполняется в три этапа: переход на новый базис ( P ), выполнение простого преобразования ( S ) и возврат к старому базису ( P ⁻¹ ). ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=P^{-1}SP}$

Характеристики

Сходство — это отношение эквивалентности в пространстве квадратных матриц.

Поскольку матрицы схожи тогда и только тогда, когда они представляют один и тот же линейный оператор относительно (возможно) разных базисов, подобные матрицы разделяют все свойства своего общего базового оператора:

• Классифицировать
• Характеристический полином и атрибуты, которые можно получить из него:
  • Определитель
  • След
  • Собственные значения и их алгебраические кратности
• Геометрические кратности собственных значений (но не собственных пространств, которые преобразуются в соответствии с используемой матрицей изменения базы P ).
• Минимальный полином
• Нормальная форма Фробениуса
• Жорданова нормальная форма с точностью до перестановки жордановых блоков
• Индекс нильпотентности
• Элементарные делители , образующие полный набор инвариантов подобия матриц в области главного идеала.

По этой причине для данной матрицы A интересно найти простую «нормальную форму» B , подобную A — тогда изучение A сводится к изучению более простой матрицы B. Например, A называется диагонализируемой, если она подобна диагональной матрице . Не все матрицы диагонализуемы, но, по крайней мере, над комплексными числами (или любым алгебраически замкнутым полем ), каждая матрица подобна матрице в жордановой форме . Ни одна из этих форм не является уникальной (диагональные элементы или блоки Жордана могут быть переставлены), поэтому на самом деле они не являются нормальными формами ; более того, их определение зависит от способности факторизовать минимальный или характеристический полином A (что эквивалентно нахождению его собственных значений). Рациональная каноническая форма не имеет этих недостатков: она существует над любым полем, действительно уникальна и может быть вычислена с использованием только арифметических операций над полем; A и B подобны тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же рациональную каноническую форму. Рациональная каноническая форма определяется элементарными делителями A ; их можно сразу считать из матрицы в жордановой форме, но их также можно определить непосредственно для любой матрицы путем вычисления нормальной формы Смита по кольцу полиномов матрицы (с полиномиальными элементами) XI _n − A ( тот же, чей определитель определяет характеристический полином). Обратите внимание, что эта нормальная форма Смита не является нормальной формой самого A ; при этом оно также не похоже на XI _n − A , а получается из последнего умножением слева и справа на разные обратимые матрицы (с полиномиальными элементами).

Сходство матриц не зависит от основного поля: если L — поле, содержащее K в качестве подполя , а A и B — две матрицы над K , то A и B подобны как матрицы над K тогда и только тогда, когда они подобны как матрицы над L . Это так, потому что рациональная каноническая форма над K является также рациональной канонической формой над L . Это означает, что можно использовать жордановые формы, существующие только в большем поле, чтобы определить, подобны ли данные матрицы.

В определении подобия, если матрица P может быть выбрана в качестве матрицы перестановок , то A и B подобны по перестановкам; если P можно выбрать в качестве унитарной матрицы , то A и B унитарно эквивалентны . Спектральная теорема гласит, что каждая нормальная матрица унитарно эквивалентна некоторой диагональной матрице. Теорема Шпехта утверждает, что две матрицы унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда они удовлетворяют определенным равенствам следов.

Смотрите также

• Канонические формы
• Матричное соответствие
• Матричная эквивалентность

Рекомендации

Цитаты

1. Борегар, Раймон А.; Фрели, Джон Б. (1973). Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля . Бостон: Houghton Mifflin Co., стр. 240–243. ISBN 0-395-14017-Х.
2. Бронсон, Ричард (1970), Матричные методы: Введение , Нью-Йорк: Academic Press , стр. 176–178, LCCN  70097490

Общие ссылки

• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (1985). Матричный анализ . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-38632-2.(Сходство обсуждается во многих местах, начиная со стр. 44.)