Преобразование географических координат

Обзор формул преобразования GPS

В геодезии преобразование между различными географическими системами координат становится необходимым из-за различных географических систем координат , используемых по всему миру и с течением времени. Преобразование координат состоит из ряда различных типов преобразования: изменение формата географических координат, преобразование систем координат или преобразование в различные геодезические датумы . Преобразование географических координат применяется в картографии , геодезии , навигации и географических информационных системах .

В геодезии преобразование географических координат определяется как перевод между различными форматами координат или проекциями карт, все из которых ссылаются на один и тот же геодезический датум. ^[1] Преобразование географических координат — это перевод между различными геодезическими датумами. В этой статье будут рассмотрены как преобразование географических координат, так и преобразование.

В данной статье предполагается, что читатели уже знакомы с содержанием статей «Географическая система координат и геодезические данные» .

Изменение единиц и формата

Неформально, указание географического местоположения обычно означает указание широты и долготы местоположения . Числовые значения широты и долготы могут встречаться в различных единицах или форматах: ^[2]

• Шестидесятеричный градус : градусы , минуты и секунды  : 40° 26′ 46″ с.ш. 79° 58′ 56″ з.д.
• градусы и десятичные минуты: 40° 26.767′ с.ш. 79° 58.933′ з.д.
• десятичные градусы: +40,446 -79,982

В градусе 60 минут, а в минуте 60 секунд. Поэтому для перевода из формата градусы-минуты-секунды в формат десятичных градусов можно использовать формулу

${\displaystyle {\rm {{decimal\ degrees}={\rm {{degrees}+{\frac {\rm {minutes}}{60}}+{\frac {\rm {seconds}}{3600}}}}}}}$.

Чтобы преобразовать обратно из десятичного формата градусов в формат градусов, минут, секунд,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {absDegrees}}&=|{\rm {{decimal\ degrees}|}}\\{\rm {floorAbsDegrees}}&=\lfloor {\rm {{absDegrees}\rfloor }}\\{\rm {degrees}}&=\operatorname {sgn}({\rm {{decimal\ degrees})\times {\rm {floorAbsDegrees}}}}\\{\rm {minutes}}&=\lfloor 60\times ({\rm {{absDegrees}-{\rm {{floorAbsDegrees})\rfloor }}}}\\{\rm {seconds}}&=3600\times ({\rm {{absDegrees}-{\rm {{floorAbsDegrees})-60\times {\rm {minutes}}}}}}\\\end{aligned}}}$

где и — это просто временные переменные, позволяющие правильно обрабатывать как положительные, так и отрицательные значения. ${\displaystyle {\rm {absDegrees}}}$ ${\displaystyle {\rm {floorAbsDegrees}}}$

Преобразование системы координат

Преобразование системы координат — это преобразование из одной системы координат в другую, при этом обе системы координат основаны на одном и том же геодезическом датуме. К распространенным задачам преобразования относятся преобразование между геодезическими и геоцентрическими, геофиксированными ( ECEF ) координатами, а также преобразование из одного типа картографической проекции в другой.

От геодезических до координат ECEF

Длина PQ, называемая простым вертикальным радиусом , равна . Длина IQ равна . ${\displaystyle N(\phi )}$ ${\displaystyle \,e^{2}N(\phi )}$ ${\displaystyle R=(X,\,Y,\,Z)}$

Геодезические координаты (широта , долгота , высота ) можно преобразовать в координаты ECEF, используя следующее уравнение: ^[3] ${\displaystyle \ \phi }$ ${\displaystyle \ \lambda }$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=\left(N(\phi )+h\right)\cos {\phi }\cos {\lambda }\\Y&=\left(N(\phi )+h\right)\cos {\phi }\sin {\lambda }\\Z&=\left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}N(\phi )+h\right)\sin {\phi }\\&=\left((1-e^{2})N(\phi )+h\right)\sin {\phi }\\&=\left((1-f)^{2}N(\phi )+h\right)\sin {\phi }\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle N(\phi )={\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\phi +b^{2}\sin ^{2}\phi }}}={\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}={\frac {a}{\sqrt {1-{\frac {e^{2}}{1+\cot ^{2}\phi }}}}},}$

и и — экваториальный радиус ( большая полуось ) и полярный радиус ( малая полуось ) соответственно. — квадрат первого числового эксцентриситета эллипсоида. — сплющивание эллипсоида. Основной вертикальный радиус кривизны — это расстояние от поверхности до оси Z вдоль нормали эллипсоида. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}$ ${\displaystyle f=1-{\frac {b}{a}}}$ ${\displaystyle \,N(\phi )}$

Характеристики

Для долготы справедливо следующее условие, как и в геоцентрической системе координат:

${\displaystyle {\frac {X}{\cos \lambda }}-{\frac {Y}{\sin \lambda }}=0.}$

А для широты справедливо следующее:

${\displaystyle {\frac {p}{\cos \phi }}-{\frac {Z}{\sin \phi }}-e^{2}N(\phi )=0,}$

где , так как параметр исключается вычитанием ${\displaystyle p={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\frac {p}{\cos \phi }}=N+h}$

и

${\displaystyle {\frac {Z}{\sin \phi }}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}N+h.}$

Кроме того, справедливо следующее соотношение, полученное путем деления приведенных выше уравнений:

${\displaystyle {\frac {Z}{p}}\cot \phi =1-{\frac {e^{2}N}{N+h}}.}$

Ортогональность

Ортогональность координат подтверждается дифференцированием :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}dX\\dY\\dZ\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-\sin \lambda &-\sin \phi \cos \lambda &\cos \phi \cos \lambda \\\cos \lambda &-\sin \phi \sin \lambda &\cos \phi \sin \lambda \\0&\cos \phi &\sin \phi \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dE\\dN\\dU\end{pmatrix}},\\[3pt]{\begin{pmatrix}dE\\dN\\dU\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\left(N(\phi )+h\right)\cos \phi &0&0\\0&M(\phi )+h&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d\lambda \\d\phi \\dh\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle M(\phi )={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{\frac {3}{2}}}}=N(\phi ){\frac {1-e^{2}}{1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}$

(см. также « Дуга меридиана на эллипсоиде »).

От ECEF к геодезическим координатам

Преобразование долготы

Преобразование координат ECEF в долготу выглядит следующим образом:

${\displaystyle \lambda =\operatorname {atan2} (Y,X)}$.

где atan2 — это функция арктангенса, разрешающая квадрант. Геоцентрическая долгота и геодезическая долгота имеют одинаковое значение; это справедливо для Земли и других планет подобной формы, поскольку они обладают большой степенью вращательной симметрии вокруг своей оси вращения (см. триаксиальную эллипсоидальную долготу для обобщения).

Простое итеративное преобразование широты и высоты

Преобразование широты и высоты подразумевает круговую зависимость с участием N , которая является функцией широты:

${\displaystyle {\frac {Z}{p}}\cot \phi =1-{\frac {e^{2}N}{N+h}}}$,

${\displaystyle h={\frac {p}{\cos \phi }}-N}$.

Его можно решить итеративно, ^{[4] [5]} например, начиная с первой догадки h ≈0, а затем обновляя N . Более сложные методы показаны ниже. Однако процедура чувствительна к малой точности из-за и может быть 10 ⁶ друг от друга. ^{[6] [7]} ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle h}$

Метод Ньютона–Рафсона

Следующее иррациональное уравнение геодезической широты Боуринга ^[8], выведенное просто из приведенных выше свойств, эффективно решается методом итерации Ньютона–Рафсона : ^{[9] [10]}

${\displaystyle \kappa -1-{\frac {e^{2}a\kappa }{\sqrt {p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa ^{2}}}}=0,}$

где и как и прежде. Высота вычисляется как: ${\displaystyle \kappa ={\frac {p}{Z}}\tan \phi }$ ${\displaystyle p={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h&=e^{-2}\left(\kappa ^{-1}-{\kappa _{0}}^{-1}\right){\sqrt {p^{2}+Z^{2}\kappa ^{2}}},\\\kappa _{0}&\triangleq \left(1-e^{2}\right)^{-1}.\end{aligned}}}$

Итерацию можно преобразовать в следующий расчет:

${\displaystyle \kappa _{i+1}={\frac {c_{i}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{3}}{c_{i}-p^{2}}}=1+{\frac {p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{3}}{c_{i}-p^{2}}},}$

где ${\displaystyle c_{i}={\frac {\left(p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{ae^{2}}}.}$

Константа является хорошим начальным значением для итерации, когда . Боуринг показал, что одна итерация дает достаточно точное решение. Он использовал дополнительные тригонометрические функции в своей первоначальной формулировке. ${\displaystyle \,\kappa _{0}}$ ${\displaystyle h\approx 0}$

Решение Феррари

Уравнение четвертой степени , полученное из вышеизложенного, можно решить с помощью решения Феррари ^{[11] [12],} что даст: ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=\left(1-e^{2}\right){\frac {z^{2}}{a^{2}}},\\[4pt]\rho &={\frac {1}{6}}\left({\frac {p^{2}}{a^{2}}}+\zeta -e^{4}\right),\\[4pt]s&={\frac {e^{4}\zeta p^{2}}{4\rho ^{3}a^{2}}},\\[4pt]t&={\sqrt[{3}]{1+s+{\sqrt {s(s+2)}}}},\\[4pt]u&=\rho \left(t+1+{\frac {1}{t}}\right),\\[4pt]v&={\sqrt {u^{2}+e^{4}\zeta }},\\[4pt]w&=e^{2}{\frac {u+v-\zeta }{2v}},\\[4pt]\kappa &=1+e^{2}{\frac {{\sqrt {u+v+w^{2}}}+w}{u+v}}.\end{aligned}}}$

Применение решения Феррари

Существует ряд методов и алгоритмов, но наиболее точным, по словам Чжу ^[13], является следующая процедура, установленная Хейккиненом ^[14] , как цитирует Чжу. Это перекрывает вышеизложенное. Предполагается, что геодезические параметры известны ${\displaystyle \{a,\,b,\,e\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=6378137.0{\text{ m. Earth Equatorial Radius}}\\[3pt]b&=6356752.3142{\text{ m. Earth Polar Radius}}\\[3pt]e^{2}&={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}\\[3pt]e'^{2}&={\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}\\[3pt]p&={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\\[3pt]F&=54b^{2}Z^{2}\\[3pt]G&=p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}-e^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)\\[3pt]c&={\frac {e^{4}Fp^{2}}{G^{3}}}\\[3pt]s&={\sqrt[{3}]{1+c+{\sqrt {c^{2}+2c}}}}\\[3pt]k&=s+1+{\frac {1}{s}}\\[3pt]P&={\frac {F}{3k^{2}G^{2}}}\\[3pt]Q&={\sqrt {1+2e^{4}P}}\\[3pt]r_{0}&={\frac {-Pe^{2}p}{1+Q}}+{\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}\left(1+{\frac {1}{Q}}\right)-{\frac {P\left(1-e^{2}\right)Z^{2}}{Q(1+Q)}}-{\frac {1}{2}}Pp^{2}}}\\[3pt]U&={\sqrt {\left(p-e^{2}r_{0}\right)^{2}+Z^{2}}}\\[3pt]V&={\sqrt {\left(p-e^{2}r_{0}\right)^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}}}\\[3pt]z_{0}&={\frac {b^{2}Z}{aV}}\\[3pt]h&=U\left(1-{\frac {b^{2}}{aV}}\right)\\[3pt]\phi &=\arctan \left[{\frac {Z+e'^{2}z_{0}}{p}}\right]\\[3pt]\lambda &=\operatorname {arctan2} [Y,\,X]\end{aligned}}}$

Примечание: arctan2 [Y, X] — четырехквадрантная функция арктангенса.

Ряд мощности

Для малых e ² степенной ряд

${\displaystyle \kappa =\sum _{i\geq 0}\alpha _{i}e^{2i}}$

начинается с

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{0}&=1;\\\alpha _{1}&={\frac {a}{\sqrt {Z^{2}+p^{2}}}};\\\alpha _{2}&={\frac {aZ^{2}{\sqrt {Z^{2}+p^{2}}}+2a^{2}p^{2}}{2\left(Z^{2}+p^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}$

Геодезические координаты в/из ЕНУ

Преобразование геодезических координат в координаты локальной касательной плоскости ( ENU ) осуществляется в два этапа:

1. Преобразовать геодезические координаты в координаты ECEF
2. Преобразовать координаты ECEF в локальные координаты ENU

От ECEF до ЕНУ

Для преобразования координат ECEF в локальные координаты нам нужна локальная точка отсчета. Обычно это может быть местоположение радара. Если радар расположен в , а самолет в , то вектор, направленный от радара к самолету в системе координат ENU, равен ${\displaystyle \left\{X_{r},\,Y_{r},\,Z_{r}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{X_{p},\,Y_{p},\,Z_{p}\right\}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \lambda _{r}&\cos \lambda _{r}&0\\-\sin \phi _{r}\cos \lambda _{r}&-\sin \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\\\cos \phi _{r}\cos \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\sin \phi _{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{p}-X_{r}\\Y_{p}-Y_{r}\\Z_{p}-Z_{r}\end{bmatrix}}}$

Примечание: — геодезическая широта ; геоцентрическая широта не подходит для представления вертикального направления для локальной касательной плоскости и должна быть преобразована при необходимости. ${\displaystyle \ \phi }$

Из ЕНУ в ECEF

Это просто инверсия преобразования ECEF в ENU, поэтому

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{p}\\Y_{p}\\Z_{p}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \lambda _{r}&-\sin \phi _{r}\cos \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\cos \lambda _{r}\\\cos \lambda _{r}&-\sin \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\sin \lambda _{r}\\0&\cos \phi _{r}&\sin \phi _{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}X_{r}\\Y_{r}\\Z_{r}\end{bmatrix}}}$

Преобразование между картографическими проекциями

Преобразование координат и положений карты между различными картографическими проекциями, ссылающимися на один и тот же датум, может быть выполнено либо с помощью прямых формул перевода из одной проекции в другую, либо путем первого преобразования из проекции в промежуточную систему координат, такую ​​как ECEF, а затем преобразования из ECEF в проекцию . Используемые формулы могут быть сложными, и в некоторых случаях, например, в приведенном выше преобразовании ECEF в геодезическую, преобразование не имеет замкнутого решения, и необходимо использовать приближенные методы. Такие ссылки, как Техническое руководство DMA 8358.1 ^[15] и статья USGS Картографические проекции: рабочее руководство ^[16], содержат формулы для преобразования картографических проекций. Обычно для выполнения задач преобразования координат используются компьютерные программы, такие как программа GEOTRANS, поддерживаемая DoD и NGA. ^[17] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Преобразования данных

Различные возможные пути преобразования географических координат из системы отсчета в систему отсчета ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Преобразования между датумами могут быть выполнены несколькими способами. Существуют преобразования, которые напрямую преобразуют геодезические координаты из одного датума в другой. Существуют более косвенные преобразования, которые преобразуют геодезические координаты в координаты ECEF, преобразуют координаты ECEF из одного датума в другой, а затем преобразуют координаты ECEF нового датума обратно в геодезические координаты. Существуют также преобразования на основе сетки, которые напрямую преобразуют из одной пары (датум, проекция карты) в другую пару (датум, проекция карты).

преобразование Гельмерта

Использование преобразования Гельмерта при преобразовании из геодезических координат исходных данных в геодезические координаты исходных данных происходит в контексте трехэтапного процесса: ^[18] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

1. Преобразование геодезических координат в координаты ECEF для датума ${\displaystyle A}$
2. Применить преобразование Гельмерта с соответствующими параметрами преобразования для преобразования из координат ECEF в координаты ECEF ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
3. Преобразование координат ECEF в геодезические координаты для датума ${\displaystyle B}$

В терминах векторов ECEF XYZ преобразование Гельмерта имеет вид (условие преобразования вектора положения и упрощение очень малых углов поворота) ^[18]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{B}\\Y_{B}\\Z_{B}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}+\left(1+s\times 10^{-6}\right){\begin{bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&-r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{A}\\Y_{A}\\Z_{A}\end{bmatrix}}.}$

Преобразование Гельмерта — это семипараметрическое преобразование с тремя параметрами трансляции (сдвига) , тремя параметрами вращения и одним параметром масштабирования (дилатации) . Преобразование Гельмерта — это приближенный метод, который точен, когда параметры преобразования малы относительно величин векторов ECEF. При этих условиях преобразование считается обратимым. ^[19] ${\displaystyle c_{x},\,c_{y},\,c_{z}}$ ${\displaystyle r_{x},\,r_{y},\,r_{z}}$ ${\displaystyle s}$

Преобразование Гельмерта с четырнадцатью параметрами, с линейной временной зависимостью для каждого параметра, ^{[19] : 131-133} может быть использовано для захвата временной эволюции географических координат из-за геоморфологических процессов, таких как дрейф континентов ^[20] и землетрясения. ^[21] Это было включено в программное обеспечение, такое как инструмент горизонтального временного позиционирования (HTDP) от US NGS. ^[22]

Преобразование Молоденского-Бадекаса

Чтобы устранить связь между вращениями и трансляциями преобразования Гельмерта, можно ввести три дополнительных параметра, чтобы получить новый центр вращения XYZ, более близкий к преобразуемым координатам. Эта десятипараметрическая модель называется преобразованием Молоденского-Бадекаса и ее не следует путать с более базовым преобразованием Молоденского. ^{[19] : 133-134}

Как и преобразование Гельмерта, использование преобразования Молоденского-Бадекаса представляет собой трехэтапный процесс:

1. Преобразование геодезических координат в координаты ECEF для датума ${\displaystyle A}$
2. Применить преобразование Молоденского-Бадекаса с соответствующими параметрами преобразования для преобразования из координат ECEF в координаты ECEF ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
3. Преобразование координат ECEF в геодезические координаты для датума ${\displaystyle B}$

Преобразование имеет вид ^[23]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{B}\\Y_{B}\\Z_{B}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}X_{A}\\Y_{A}\\Z_{A}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\Delta X_{A}\\\Delta Y_{A}\\\Delta Z_{A}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&-r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{A}-X_{A}^{0}\\Y_{A}-Y_{A}^{0}\\Z_{A}-Z_{A}^{0}\end{bmatrix}}+\Delta S{\begin{bmatrix}X_{A}-X_{A}^{0}\\Y_{A}-Y_{A}^{0}\\Z_{A}-Z_{A}^{0}\end{bmatrix}}.}$

где — начало координат для преобразований поворота и масштабирования, — коэффициент масштабирования. ${\displaystyle \left(X_{A}^{0},\,Y_{A}^{0},\,Z_{A}^{0}\right)}$ ${\displaystyle \Delta S}$

Преобразование Молоденского-Бадекаса используется для преобразования локальных геодезических данных в глобальные геодезические данные, такие как WGS 84. В отличие от преобразования Гельмерта, преобразование Молоденского-Бадекаса необратимо, поскольку начало координат связано с исходным датумом. ^{[19] : 134}

Преобразование Молоденского

Преобразование Молоденского преобразует данные напрямую между геодезическими системами координат различных датумов без промежуточного шага преобразования в геоцентрические координаты (ECEF). ^[24] Для этого требуются три сдвига между центрами датумов и различия между большими полуосями референц-эллипсоида и параметрами уплощения.

Преобразование Молоденского используется Национальным агентством геопространственной разведки (NGA) в их стандарте TR8350.2 и поддерживаемой NGA программе GEOTRANS. ^[25] Метод Молоденского был популярен до появления современных компьютеров, и этот метод является частью многих геодезических программ.

Метод на основе сетки

Величина смещения положения между точками NAD27 и NAD83 в зависимости от местоположения.

Преобразования на основе сетки напрямую преобразуют координаты карты из одной пары (карта-проекция, геодезическая система координат) в координаты карты другой пары (карта-проекция, геодезическая система координат). Примером является метод NADCON для преобразования из североамериканского датума (NAD) 1927 в датум NAD 1983. ^[26] Высокоточная опорная сеть (HARN), высокоточная версия преобразований NADCON, имеет точность приблизительно 5 сантиметров. Национальная трансформация версии 2 ( NTv2 ) является канадской версией NADCON для преобразования между NAD 1927 и NAD 1983. HARN также известны как NAD 83/91 и высокоточные сеточные сети (HPGN). ^[27] Впоследствии Австралия и Новая Зеландия приняли формат NTv2 для создания методов на основе сетки для преобразования среди своих собственных локальных датумов.

Подобно преобразованию уравнения множественной регрессии, методы на основе сетки используют метод интерполяции низкого порядка для преобразования координат карты, но в двух измерениях вместо трех. NOAA предоставляет программный инструмент (как часть NGS Geodetic Toolkit) для выполнения преобразований NADCON. ^{[28] [29]}

Уравнения множественной регрессии

Преобразования датумов с использованием эмпирических методов множественной регрессии были созданы для достижения более точных результатов в небольших географических регионах, чем стандартные преобразования Молоденского. Преобразования MRE используются для преобразования локальных датумов в континентальных или меньших регионах в глобальные датумы, такие как WGS 84. ^[30] Стандарт NIMA TM 8350.2, Приложение D, ^[31] перечисляет преобразования MRE из нескольких локальных датумов в WGS 84 с точностью около 2 метров. ^[32]

MREs являются прямым преобразованием геодезических координат без промежуточного шага ECEF. Геодезические координаты в новом датуме моделируются как полиномы до девятой степени в геодезических координатах исходного датума . Например, изменение в может быть параметризовано как (с показанными только квадратичными членами) ^{[30] : 9} ${\displaystyle \phi _{B},\,\lambda _{B},\,h_{B}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \phi _{A},\,\lambda _{A},\,h_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi _{B}}$

${\displaystyle \Delta \phi =a_{0}+a_{1}U+a_{2}V+a_{3}U^{2}+a_{4}UV+a_{5}V^{2}+\cdots }$

где

${\displaystyle a_{i},}$параметры, подобранные с помощью множественной регрессии

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=K(\phi _{A}-\phi _{m})\\V&=K(\lambda _{A}-\lambda _{m})\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle K,}$масштабный фактор

${\displaystyle \phi _{m},\,\lambda _{m},}$происхождение данных, ${\displaystyle A.}$

с аналогичными уравнениями для и . При наличии достаточного количества пар координат для ориентиров в обоих данных для хорошей статистики используются методы множественной регрессии для подгонки параметров этих полиномов. Полиномы вместе с подобранными коэффициентами образуют уравнения множественной регрессии. ${\displaystyle \Delta \lambda }$ ${\displaystyle \Delta h}$ ${\displaystyle (A,\,B)}$

Смотрите также

• Система координат Гаусса – Крюгера
• Список картографических проекций
• Пространственная система отсчета
• Топоцентрическая система координат
• Универсальная полярная стереографическая система координат
• Универсальная поперечная система координат Меркатора
• Географическое расстояние

Ссылки

1. Роджер Фостер; Дэн Маллани. «Основы геодезии. Статья 018: преобразования и трансформации» (PDF) . Национальное агентство геопространственной разведки. Архивировано (PDF) из оригинала 27 ноября 2020 г. Получено 4 марта 2014 г.
2. "Трансформатор координат". Ordnance Survey Great Britain. Архивировано из оригинала 12 августа 2013 года . Получено 4 марта 2014 года .
3. B. Hofmann-Wellenhof; H. Lichtenegger; J. Collins (1997). GPS - теория и практика . Раздел 10.2.1. С. 282. ISBN 3-211-82839-7.
4. Руководство по системам координат в Великобритании. Доступно в виде документа pdf на "ornancesurvey.co.uk". Архивировано из оригинала 2012-02-11 . Получено 2012-01-11 .Приложения Б1, Б2
5. Osborne, P (2008). Проекции Меркатора, архив 2012-01-18 в разделе Wayback Machine 5.4
6. Р. Берч, Сравнение методов, используемых при преобразовании прямоугольных координат в геодезические.
7. Featherstone, WE; Claessens, SJ (2008). «Замкнутое преобразование между геодезическими и эллипсоидальными координатами». Stud. Geophys. Geod . 52 (1): 1–18. Bibcode :2008StGG...52....1F. doi :10.1007/s11200-008-0002-6. hdl : 20.500.11937/11589 . S2CID  59401014.
8. Боуринг, BR (1976). «Преобразование пространственных координат в географические». Surv. Rev. 23 ( 181): 323–327. doi :10.1179/003962676791280626.
9. Фукусима, Т. (1999). «Быстрое преобразование геоцентрических координат в геодезические». J. Geod . 73 (11): 603–610. Bibcode : 1999JGeod..73..603F. doi : 10.1007/s001900050271. S2CID  121816294.(Приложение Б)
10. Судано, Дж. Дж. (1997). «Точное преобразование из системы координат с центром в земле в широту, долготу и высоту». Труды Национальной конференции по аэрокосмической технике и электронике IEEE 1997 года. NAECON 1997. Том 2. С. 646–650. doi :10.1109/NAECON.1997.622711. ISBN 0-7803-3725-5. S2CID  111028929.
11. Вермейль, Х., Х. (2002). «Прямое преобразование геоцентрических координат в геодезические». J. Geod . 76 (8): 451–454. doi :10.1007/s00190-002-0273-6. S2CID  120075409.
12. Гонсалес-Вега, Лауреано; ПолоБланко, Ирен (2009). «Символический анализ полиномов Вермейля и Борковского для преобразования трехмерных декартовых координат в геодезические координаты». Дж. Геод . 83 (11): 1071–1081. Бибкод : 2009JGeod..83.1071G. дои : 10.1007/s00190-009-0325-2. S2CID  120864969.
13. Чжу, Дж. (1994). «Преобразование геоцентрических координат, фиксированных относительно Земли, в геодезические координаты». Труды IEEE по аэрокосмическим и электронным системам . 30 (3): 957–961. Bibcode : 1994ITAES..30..957Z. doi : 10.1109/7.303772.
14. Хейккинен, М. (1982). «Geschlossene formeln zur berechnung räumlicher geodätischer koordinaten aus rechtwinkligen koordinaten». З. Вермесс. (на немецком языке). 107 : 207–211.
15. "TM8358.2: Универсальные сетки: универсальная поперечная проекция Меркатора (UTM) и универсальная полярная стереографическая проекция (UPS)" (PDF) . Национальное агентство геопространственной разведки. Архивировано (PDF) из оригинала 3 марта 2020 г. . Получено 4 марта 2014 г. .
16. Снайдер, Джон П. (1987). Картографические проекции: рабочее руководство. USGS Professional Paper: 1395. Архивировано из оригинала 2011-05-17 . Получено 2017-08-28 .
17. "MSP GEOTRANS 3.3 (Geographic Translator)". NGA: Coordinate Systems Analysis Branch. Архивировано из оригинала 15 марта 2014 года . Получено 4 марта 2014 года .
18. "Уравнения, используемые для преобразования данных". Land Information New Zealand (LINZ). Архивировано из оригинала 6 марта 2014 года . Получено 5 марта 2014 года .
19. "Руководство по геоматике, номер 7, часть 2. Преобразования и преобразования координат, включая формулы" (PDF) . Международная ассоциация производителей нефти и газа (OGP). Архивировано из оригинала (PDF) 6 марта 2014 г. . Получено 5 марта 2014 г. .
20. Болстад, Пол (2012). Основы ГИС, 4-е издание (PDF) . Книги Атлас. п. 93. ИСБН 978-0-9717647-3-6. Архивировано из оригинала (PDF) 2016-02-02.
21. "Дополнение к NIMA TR 8350.2: Реализация Всемирной геодезической системы 1984 (WGS 84) Референтная система G1150" (PDF) . Национальное агентство геопространственной разведки. Архивировано (PDF) из оригинала 11 мая 2012 г. . Получено 6 марта 2014 г. .
22. "HTDP - Горизонтальное временное позиционирование". Национальная геодезическая служба США (NGS). Архивировано из оригинала 25 ноября 2019 года . Получено 5 марта 2014 года .
23. "Molodensky-Badekas (7+3) Transformations". Национальное агентство геопространственной разведки (NGA). Архивировано из оригинала 19 июля 2013 года . Получено 5 марта 2014 года .
24. "ArcGIS Help 10.1: Equation-based methods". ESRI. Архивировано из оригинала 4 декабря 2019 г. Получено 5 марта 2014 г.
25. "Datum Transformations". Национальное агентство геопространственной разведки. Архивировано из оригинала 9 октября 2014 года . Получено 5 марта 2014 года .
26. "ArcGIS Help 10.1: Grid-based methods". ESRI. Архивировано из оригинала 4 декабря 2019 г. Получено 5 марта 2014 г.
27. "NADCON/HARN Datum ShiftMethod". bluemarblegeo.com. Архивировано из оригинала 6 марта 2014 г. Получено 5 марта 2014 г.
28. "NADCON - Версия 4.2". NOAA. Архивировано из оригинала 6 мая 2021 г. Получено 5 марта 2014 г.
29. Малкер, Дональд М. «NGS Toolkit, Part 8: The National Geodetic Survey NADCON Tool». Professional Surveyor Magazine. Архивировано из оригинала 6 марта 2014 г. Получено 5 марта 2014 г.
30. User's Handbook on Datum Transformations Involving WGS 84 (PDF) (Отчет). Специальная публикация № 60 (3-е изд.). Монако: Международное гидрографическое бюро. Август 2008 г. Архивировано (PDF) из оригинала 2016-04-12 . Получено 2017-01-10 .
31. "DEPARTMENT OF DEFENSE WORLD GEODETIC SYSTEM 1984 Its Definition and Relationships with Local Geodetic Systems" (PDF) . Национальное агентство по картографии и изображениям (NIMA). Архивировано (PDF) из оригинала 11 апреля 2014 г. . Получено 5 марта 2014 г. .
32. Тейлор, Чак. "Преобразования данных высокой точности". Архивировано из оригинала 4 января 2013 года . Получено 5 марта 2014 года .