Преобразование Фурье–Мукаи

В алгебраической геометрии преобразование Фурье –Мукаи Φ _K является функтором между производными категориями когерентных пучков D( X ) → D( Y ) для схем X и Y , что является, в некотором смысле, интегральным преобразованием вдоль объекта ядра K ∈ ​​D( X × Y ). Большинство естественных функторов, включая базовые, такие как pushforwards и pullbacks , относятся к этому типу.

Эти виды функторов были введены Мукаи  (1981) для того, чтобы доказать эквивалентность между производными категориями когерентных пучков на абелевом многообразии и его двойственном . Эта эквивалентность аналогична классическому преобразованию Фурье , которое дает изоморфизм между умеренными распределениями на конечномерном действительном векторном пространстве и его двойственном .

Определение

Пусть X и Y — гладкие проективные многообразия , K ∈ D ^b ( X × Y ) — объект в производной категории когерентных пучков на их произведении. Обозначим через q проекцию X × Y → X , через p проекцию X × Y → Y . Тогда преобразование Фурье-Мукаи Φ _K — это функтор D ^b ( X )→D ^b ( Y ), заданный формулой

${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto \mathrm {R} p_{*}\left(q^{*}{\mathcal {F}}\otimes ^{L}K\right)}$

где R p _* — производный функтор прямого изображения , а — производное тензорное произведение . ${\displaystyle \otimes ^{L}}$

Преобразования Фурье-Мукаи всегда имеют левые и правые сопряженные , оба из которых также являются преобразованиями ядра. При наличии двух ядер K ₁ ∈ D ^b ( X × Y ) и K ₂ ∈ D ^b ( Y × Z ) составной функтор Φ _{K 2} ∘ Φ _{K 1} также является преобразованием Фурье-Мукаи.

Структурный пучок диагонали , взятый в качестве ядра, производит тождественный функтор на D ^b ( X ). Для морфизма f : X → Y структурный пучок графа Γ _f производит pushforward, если рассматривать его как объект в D ^b ( X × Y ), или pullback, если рассматривать его как объект в D ^b ( Y × X ). ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\Delta }\in \mathrm {D} ^{b}(X\times X)}$

Об абелевых многообразиях

Пусть будет абелево многообразием и будет его дуальным многообразием . Расслоение Пуанкаре на , нормализованное так, чтобы быть тривиальным на слое в нуле, может быть использовано как ядро ​​Фурье-Мукаи. Пусть и будут каноническими проекциями. Соответствующий функтор Фурье-Мукаи с ядром тогда будет ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle X\times {\hat {X}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle R{\mathcal {S}}:{\mathcal {F}}\in D(X)\mapsto R{\hat {p}}_{\ast }(p^{\ast }{\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {P}})\in D({\hat {X}})}$

Существует аналогичный функтор

${\displaystyle R{\widehat {\mathcal {S}}}:D({\hat {X}})\to D(X).\,}$

Если канонический класс многообразия является обильным или антиобильным, то производная категория когерентных пучков определяет многообразие. ^[1] В общем случае абелево многообразие не изоморфно своему двойственному, поэтому это преобразование Фурье–Мукаи дает примеры различных многообразий (с тривиальными каноническими расслоениями), которые имеют эквивалентные производные категории.

Пусть g обозначает размерность X. Преобразование Фурье–Мукаи почти инволютивно:

${\displaystyle R{\mathcal {S}}\circ R{\widehat {\mathcal {S}}}=(-1)^{\ast }[-g]}$

Он меняет местами произведение Понтрягина и тензорное произведение .

${\displaystyle R{\mathcal {S}}({\mathcal {F}}\ast {\mathcal {G}})=R{\mathcal {S}}({\mathcal {F}})\otimes R{\mathcal {S}}({\mathcal {G}})}$

${\displaystyle R{\mathcal {S}}({\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {G}})=R{\mathcal {S}}({\mathcal {F}})\ast R{\mathcal {S}}({\mathcal {G}})[g]}$

Денингер и Мюрре (1991) использовали преобразование Фурье-Мукаи для доказательства разложения Кюннета для мотивов Чжоу абелевых многообразий.

Приложения в теории струн

В теории струн T -дуальность (сокращение от дуальности целевого пространства ), связывающая две квантовые теории поля или теории струн с различной геометрией пространства-времени, тесно связана с преобразованием Фурье-Мукаи. ^{[2] [3]}

Смотрите также

• Производная некоммутативная алгебраическая геометрия

Ссылки

1. Бондал, Алексей; Орлов, Дмитрий (2001). «Реконструкция многообразия из производной категории и групп автоэквивалентностей» (PDF) . Compositio Mathematica . 125 (3): 327–344. arXiv : alg-geom/9712029 . doi : 10.1023/A:1002470302976 .
2. Leung, Naichung Conan; Yau, Shing-Tung; Zaslow, Eric (2000). «От специального Лагранжа к Эрмитову-Янгу-Миллсу через преобразование Фурье-Мукаи». Advances in Theoretical and Mathematical Physics . 4 (6): 1319–1341. arXiv : math/0005118 . doi :10.4310/ATMP.2000.v4.n6.a5.
3. Геворгян, Ева; Саркисян, Гор (2014). «Дефекты, неабелева t-двойственность и преобразование Фурье-Мукаи полей Рамона-Рамонда». Журнал физики высоких энергий . 2014 (3): 35. arXiv : 1310.1264 . doi : 10.1007/JHEP03(2014)035.

• Денингер, Кристофер; Мюрре, Якоб (1991), «Мотивная декомпозиция абелевых схем и преобразование Фурье», J. Reine Angew. Math. , 422 : 201–219, MR  1133323

• Хейбрехтс, Д. (2006), Преобразования Фурье–Мукаи в алгебраической геометрии , Oxford Mathematical Monographs, т. 1, The Clarendon Press Oxford University Press, doi :10.1093/acprof:oso/9780199296866.001.0001, ISBN 978-0-19-929686-6, г-н  2244106
• Барточчи, К.; Бруззо, У.; Эрнандес Руиперес, Д. (2009), Преобразования Фурье-Мукаи и Нама в геометрии и математической физике , Progress in Mathematics, vol. 276, Биркхойзер, номер документа : 10.1007/b1801, ISBN 978-0-8176-3246-5, МР  2511017
• Мукаи, Сигеру (1981). «Двойственность между D ( X ) {\displaystyle D(X)} и D ( X ^ ) {\displaystyle D({\hat {X}})} с ее применением к пучкам Пикара». Nagoya Mathematical Journal . 81 : 153–175. ISSN  0027-7630.