Хирургическая обструкция

Отображение от нормальных инвариантов к L-группам

В математике , в частности в теории хирургии , препятствия хирургии определяют отображение нормальных инвариантов в L-группы , которое в первую очередь является теоретико-множественным отображением (что означает не обязательно гомоморфизм ) со следующим свойством, когда : ${\displaystyle \theta \colon {\mathcal {N}}(X)\to L_{n}(\pi _{1}(X))}$ ${\displaystyle n\geq 5}$

Нормальное отображение степени один обычно кобордантно гомотопической эквивалентности тогда и только тогда, когда изображение в . ${\displaystyle (f,b)\colon M\to X}$ ${\displaystyle \theta (f,b)=0}$ ${\displaystyle L_{n}(\mathbb {Z} [\pi _{1}(X)])}$

Набросок определения

Хирургическая обструкция нормальной карты первой степени имеет относительно сложное определение.

Рассмотрим нормальное отображение степени один . Идея решения вопроса о том, является ли оно обычно кобордантным гомотопической эквивалентности, заключается в попытке систематически улучшить так, чтобы отображение стало -связным (что означает гомотопические группы для ) для высокого . Следствием двойственности Пуанкаре является то, что если мы можем достичь этого для , то отображение уже является гомотопической эквивалентностью. Слово систематически выше относится к тому факту, что мы пытаемся делать операции на , чтобы убить элементы из . На самом деле удобнее использовать гомологию универсальных покрытий , чтобы наблюдать, насколько связно отображение . Точнее, мы работаем с ядрами операций , которые рассматриваем как -модули. Если все они исчезают, то отображение является гомотопической эквивалентностью. Как следствие двойственности Пуанкаре на и существует -модули двойственность Пуанкаре , поэтому нам нужно наблюдать только за половиной из них, то есть за теми, для которых . ${\displaystyle (f,b)\colon M\to X}$ ${\displaystyle (f,b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \pi _{*}(f)=0}$ ${\displaystyle *\leq m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m>\lfloor n/2\rfloor }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi _{i}(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K_{i}({\tilde {M}}):=\mathrm {ker} \{f_{*}\colon H_{i}({\tilde {M}})\rightarrow H_{i}({\tilde {X}})\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(X)]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(X)]}$ ${\displaystyle K^{n-i}({\tilde {M}})\cong K_{i}({\tilde {M}})}$ ${\displaystyle i\leq \lfloor n/2\rfloor }$

Любая нормальная карта степени один может быть сделана связанной с помощью процесса, называемого хирургией ниже среднего измерения. Это процесс уничтожения элементов для описанного здесь , когда у нас есть такое, что . После того, как это сделано, есть два случая. ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$ ${\displaystyle K_{i}({\tilde {M}})}$ ${\displaystyle i<\lfloor n/2\rfloor }$ ${\displaystyle p+q=n}$ ${\displaystyle i=p<\lfloor n/2\rfloor }$

1. Если , то единственной нетривиальной группой гомологий является ядро ​​. Оказывается, что пары кубкового произведения на и индуцируют пару кубкового произведения на . Это определяет симметричную билинейную форму в случае и кососимметричную билинейную форму в случае . Оказывается, что эти формы можно уточнить до -квадратичных форм, где . Эти -квадратичные формы определяют элементы в L-группах . ${\displaystyle n=2k}$ ${\displaystyle K_{k}({\tilde {M}}):=\mathrm {ker} \{f_{*}\colon H_{k}({\tilde {M}})\rightarrow H_{k}({\tilde {X}})\}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{k}({\tilde {M}})}$ ${\displaystyle k=2l}$ ${\displaystyle k=2l+1}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon =(-1)^{k}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle L_{n}(\pi _{1}(X))}$

2. Если определение усложнить. Вместо квадратичной формы из геометрии получается квадратичная формация, которая является своего рода автоморфизмом квадратичных форм. Такая вещь определяет элемент в нечетномерной L-группе . ${\displaystyle n=2k+1}$ ${\displaystyle L_{n}(\pi _{1}(X))}$

Если элемент в L-группе равен нулю, можно выполнить операцию по модификации до гомотопической эквивалентности. ${\displaystyle \theta (f,b)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$

Геометрически причина, по которой это не всегда возможно, заключается в том, что выполнение операции в среднем измерении для уничтожения элемента в возможно создаст элемент в когда или в когда . Так что это, возможно, уничтожит то, что уже было достигнуто. Однако, если равно нулю, операции можно организовать таким образом, чтобы этого не произошло. ${\displaystyle K_{k}({\tilde {M}})}$ ${\displaystyle K_{k-1}({\tilde {M}})}$ ${\displaystyle n=2k}$ ${\displaystyle K_{k}({\tilde {M}})}$ ${\displaystyle n=2k+1}$ ${\displaystyle \theta (f,b)}$

Пример

В односвязном случае происходит следующее.

Если нет никаких препятствий. ${\displaystyle n=2k+1}$

Если тогда хирургическую обструкцию можно рассчитать как разницу сигнатур М и X. ${\displaystyle n=4l}$

Если тогда препятствием к хирургии является Арф-инвариант соответствующей квадратичной формы ядра над . ${\displaystyle n=4l+2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Ссылки

• Браудер, Уильям (1972), Хирургия на односвязных многообразиях , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR  0358813
• Люк, Вольфганг (2002), Базовое введение в теорию хирургии (PDF) , ICTP Lecture Notes Series 9, Band 1, школы "Теория многомерных многообразий" в Триесте, май/июнь 2001 г., Международный центр теоретической физики им. Абдуса Салама, Триест 1-224
• Раницки, Эндрю (2002), Алгебраическая и геометрическая хирургия, Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, ISBN 978-0-19-850924-0, МР  2061749
• Wall, CTC (1999), Хирургия на компактных многообразиях , Математические обзоры и монографии, т. 69 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0942-6, г-н  1687388