Приближение Буссинеска (плавучесть)

Упрощение для моделирования жидкостей при естественной конвекции

В динамике жидкости приближение Буссинеска ( произносится [ businɛsk] , названо в честь Жозефа Валентина Буссинеска ) используется в области течения, вызванного плавучестью (также известного как естественная конвекция ). Оно игнорирует различия в плотности, за исключением случаев, когда они появляются в терминах, умноженных на g , ускорение силы тяжести . Суть приближения Буссинеска заключается в том, что разница в инерции пренебрежимо мала, но гравитация достаточно сильна, чтобы сделать удельный вес двух жидкостей заметно разным. Существование звуковых волн в жидкости Буссинеска невозможно, поскольку звук является результатом колебаний плотности внутри жидкости.

Потоки Буссинеска распространены в природе (например, атмосферные фронты , океаническая циркуляция, катабатические ветры ), промышленности ( плотная газовая дисперсия , вентиляция вытяжных шкафов) и в застроенной среде (естественная вентиляция, центральное отопление ). Аппроксимацию можно использовать для упрощения уравнений, описывающих такие потоки, при этом описывая поведение потока с высокой степенью точности.

Формулировка

Приближение Буссинеска применяется к задачам, в которых температура (или состав) жидкости изменяется от одного места к другому, что приводит к потоку жидкости и переносу тепла (или массообмену ^[1] ). Жидкость удовлетворяет законам сохранения массы , сохранения импульса и сохранения энергии . В приближении Буссинеска изменения свойств жидкости, отличные от плотности ρ , игнорируются, а плотность появляется только при умножении на g , ускорение свободного падения. ^{[2] : 127–128} Если u — локальная скорость порции жидкости, уравнение непрерывности для сохранения массы имеет вид ^{[2] : 52}

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)=0.}$

Если игнорировать изменения плотности, это сводится к ^{[2] : 128}

Общее выражение для сохранения импульса несжимаемой ньютоновской жидкости ( уравнения Навье–Стокса ) имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} +{\frac {1}{\rho }}\mathbf {F} ,}$

где ν (nu) — кинематическая вязкость , а F — сумма любых сил тела, таких как сила тяжести . ^{[2] : 59} В этом уравнении предполагается, что изменения плотности имеют фиксированную часть и другую часть, которая имеет линейную зависимость от температуры:

${\displaystyle \rho =\rho _{0}-\alpha \rho _{0}(T-T_{0}),}$

где α — коэффициент теплового расширения . ^{[2] : 128–129} Приближение Буссинеска утверждает, что изменение плотности важно только в термине плавучести.

Если — сила тяготения тела, то результирующее уравнение сохранения имеет вид ^{[2] : 129} ${\displaystyle F=\rho \mathbf {g} }$

В уравнении для теплового потока в градиенте температуры теплоемкость на единицу объема, , предполагается постоянной, а член диссипации игнорируется. Результирующее уравнение имеет вид ${\displaystyle \rho C_{p}}$

где J — скорость внутреннего производства тепла на единицу объема, а — теплопроводность . ^{[2] : 129} ${\displaystyle k}$

Три пронумерованных уравнения являются основными уравнениями конвекции в приближении Буссинеска.

Преимущества

Преимущество приближения возникает потому, что при рассмотрении потока, скажем, теплой и холодной воды с плотностью ρ ₁ и ρ ₂ нужно рассматривать только одну плотность ρ : разность Δ ρ = ρ ₁ − ρ ₂ пренебрежимо мала. Анализ размерностей показывает ^{[ необходимо разъяснение ],} что при этих обстоятельствах единственный разумный способ, которым ускорение под действием силы тяжести g должно войти в уравнения движения, — это приведенная сила тяжести g′, где

${\displaystyle g'=g{\frac {\rho _{1}-\rho _{2}}{\rho }}.}$

(Обратите внимание, что знаменатель может быть любой плотностью, что не повлияет на результат, поскольку изменение будет иметь порядок ⁠ ⁠ ${\displaystyle g\left({\tfrac {\Delta \rho }{\rho }}\right)^{2}}$ .) Наиболее часто используемыми безразмерными числами являются число Ричардсона и число Рэлея .

Математика потока, таким образом, упрощается, поскольку отношение плотностей ⁠ρ ₁/ρ ₂⁠ , безразмерное число , не влияет на поток; приближение Буссинеска утверждает, что его можно принять равным точно единице.

Инверсии

Одной из особенностей потоков Буссинеска является то, что они выглядят одинаково, если смотреть вверх ногами, при условии, что идентичности жидкостей меняются местами. Приближение Буссинеска неточно, когда безразмерная разность плотностей ⁠Δ ρ/ρ⁠ приблизительно равно 1, т.е. Δ ρ ≈ ρ .

Например, представьте себе открытое окно в теплой комнате. Теплый воздух внутри менее плотный, чем холодный воздух снаружи, который втекает в комнату и опускается к полу. Теперь представьте себе противоположное: холодную комнату, подверженную воздействию теплого наружного воздуха. Здесь втекающий воздух движется вверх к потолку. Если поток является потоком Буссинеска (и комната в остальном симметрична), то просмотр холодной комнаты вверх ногами — это то же самое, что просмотр теплой комнаты справа-направо. Это потому, что единственный способ, которым плотность входит в проблему, — это через уменьшенную гравитацию g′ , которая претерпевает только смену знака при переходе от потока теплой комнаты к потоку холодной комнаты.

Примером небуссинескового течения являются пузырьки, поднимающиеся в воде. Поведение пузырьков воздуха, поднимающихся в воде, сильно отличается от поведения воды, падающей в воздухе: в первом случае поднимающиеся пузырьки имеют тенденцию образовывать полусферические оболочки, тогда как вода, падающая в воздухе, распадается на капли дождя (при малых масштабах длины в проблему вмешивается поверхностное натяжение , которое запутывает вопрос).

Ссылки

1. Колли, AN; Бисанг, JM (2023). «Изучение влияния изменений концентрации и температуры на переходную естественную конвекцию при электроосаждении металлов: анализ методом конечного объема». Журнал электрохимического общества . 170 (8): 083505. Bibcode : 2023JElS..170h3505C. doi : 10.1149/1945-7111/acef62. S2CID  260857287.
2. Триттон, DJ (1977). Физическая динамика жидкости . Нью-Йорк: Van Nostrand Reinhold Co. ISBN 9789400999923.

Дальнейшее чтение

• Буссинеск, Жозеф (1897). Theorie de l'écoulement Tourbillonnant et tumultueux des Liquides dans les Lits Rectilignes a grandesection. Том. 1. Готье-Виллар . Проверено 10 октября 2015 г.
• Кляйнстройер, Клемент (1997). Инженерная гидродинамика: междисциплинарный системный подход . Cambridge University Press . ISBN 978-0-52-101917-0.
• Триттон, DJ (1988). Физическая гидродинамика (второе издание). Oxford University Press . ISBN 978-0-19-854493-7.