Случайная фазовая аппроксимация

Пузырьковые диаграммы, которые при суммировании дают RPA. Сплошные линии обозначают взаимодействующие или невзаимодействующие функции Грина , пунктирные линии — двухчастичные взаимодействия.

Приближение случайных фаз ( RPA ) — метод приближения в физике конденсированных сред и ядерной физике . Впервые он был представлен Дэвидом Бомом и Дэвидом Пайнсом в качестве важного результата в серии основополагающих статей 1952 и 1953 годов. ^{[1] [2] [3]} В течение десятилетий физики пытались включить эффект микроскопических квантово-механических взаимодействий между электронами в теорию материи. RPA Бома и Пайнса учитывает слабое экранированное кулоновское взаимодействие и обычно используется для описания динамического линейного электронного отклика электронных систем. Он был далее развит до релятивистской формы (RRPA) путем решения уравнения Дирака . ^{[4] [5]}

В RPA предполагается, что электроны реагируют только на полный электрический потенциал V ( r ), который является суммой внешнего возмущающего потенциала V _ext ( r ) и экранирующего потенциала V _sc ( r ). Предполагается, что внешний возмущающий потенциал колеблется на одной частоте ω , так что модель дает с помощью метода самосогласованного поля (SCF) ^[6] динамическую диэлектрическую функцию, обозначаемую ε _RPA ( k , ω ).

Предполагается , что вклад в диэлектрическую функцию от полного электрического потенциала усредняется , так что только потенциал при волновом векторе k вносит вклад. Это то, что подразумевается под приближением случайной фазы. Результирующая диэлектрическая функция, также называемая диэлектрической функцией Линдхарда , ^{[7] [8]} правильно предсказывает ряд свойств электронного газа, включая плазмоны . ^[9]

RPA критиковали в конце 1950-х годов за пересчет степеней свободы, и призыв к обоснованию привел к интенсивной работе среди физиков-теоретиков. В основополагающей статье Мюррей Гелл-Манн и Кейт Брукнер показали, что RPA может быть получен из суммирования цепочек Фейнмана ведущего порядка в плотном электронном газе. ^[10]

Согласованность этих результатов стала важным обоснованием и послужила стимулом для очень сильного роста теоретической физики в конце 50-х и 60-х годах.

Приложения

Основное состояние взаимодействующей бозонной системы

Вакуум RPA для бозонной системы можно выразить через некоррелированный бозонный вакуум и исходные бозонные возбуждения. ${\displaystyle \left|\mathrm {RPA} \right\rangle }$ ${\displaystyle \left|\mathrm {MFT} \right\rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}^{\dagger }}$

${\displaystyle \left|\mathrm {RPA} \right\rangle ={\mathcal {N}}\mathbf {e} ^{Z_{ij}\mathbf {a} _{i}^{\dagger }\mathbf {a} _{j}^{\dagger }/2}\left|\mathrm {MFT} \right\rangle }$

где Z — симметричная матрица с и ${\displaystyle |Z|\leq 1}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}={\frac {\left\langle \mathrm {MFT} \right|\left.\mathrm {RPA} \right\rangle }{\left\langle \mathrm {MFT} \right|\left.\mathrm {MFT} \right\rangle }}}$

Нормализацию можно рассчитать по формуле

${\displaystyle \langle \mathrm {RPA} |\mathrm {RPA} \rangle ={\mathcal {N}}^{2}\langle \mathrm {MFT} |\mathbf {e} ^{z_{i}({\tilde {\mathbf {q} }}_{i})^{2}/2}\mathbf {e} ^{z_{j}({\tilde {\mathbf {q} }}_{j}^{\dagger })^{2}/2}|\mathrm {MFT} \rangle =1}$

где — разложение по сингулярным числам . ${\displaystyle Z_{ij}=(X^{\mathrm {t} })_{i}^{k}z_{k}X_{j}^{k}}$ ${\displaystyle Z_{ij}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {q} }}^{i}=(X^{\dagger })_{j}^{i}\mathbf {a} ^{j}}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}^{-2}=\sum _{m_{i}}\sum _{n_{j}}{\frac {(z_{i}/2)^{m_{i}}(z_{j}/2)^{n_{j}}}{m!n!}}\langle \mathrm {MFT} |\prod _{i\,j}({\tilde {\mathbf {q} }}_{i})^{2m_{i}}({\tilde {\mathbf {q} }}_{j}^{\dagger })^{2n_{j}}|\mathrm {MFT} \rangle }$

${\displaystyle =\prod _{i}\sum _{m_{i}}(z_{i}/2)^{2m_{i}}{\frac {(2m_{i})!}{m_{i}!^{2}}}=}$

${\displaystyle \prod _{i}\sum _{m_{i}}(z_{i})^{2m_{i}}{1/2 \choose m_{i}}={\sqrt {\det(1-|Z|^{2})}}}$

связь между новыми и старыми возбуждениями определяется как

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {a} }}_{i}=\left({\frac {1}{\sqrt {1-Z^{2}}}}\right)_{ij}\mathbf {a} _{j}+\left({\frac {1}{\sqrt {1-Z^{2}}}}Z\right)_{ij}\mathbf {a} _{j}^{\dagger }}$.

Ссылки

1. Бом, Дэвид ; Пайнс, Дэвид (1 мая 1951 г.). «Коллективное описание электронных взаимодействий. I. Магнитные взаимодействия». Physical Review . 82 (5). Американское физическое общество (APS): 625–634. Bibcode : 1951PhRv...82..625B. doi : 10.1103/physrev.82.625. ISSN  0031-899X.
2. Pines, David ; Bohm, David (15 января 1952 г.). «Коллективное описание электронных взаимодействий: II. Коллективные и индивидуальные аспекты взаимодействий». Physical Review . 85 (2). Американское физическое общество (APS): 338–353. Bibcode :1952PhRv...85..338P. doi :10.1103/physrev.85.338. ISSN  0031-899X.
3. Бом, Дэвид ; Пайнс, Дэвид (1 октября 1953 г.). «Коллективное описание электронных взаимодействий: III. Кулоновские взаимодействия в вырожденном электронном газе». Physical Review . 92 (3). Американское физическое общество (APS): 609–625. Bibcode : 1953PhRv...92..609B. doi : 10.1103/physrev.92.609. ISSN  0031-899X.
4. Deshmukh, Pranawa C. ; Manson, Steven T. (сентябрь 2022 г.). «Фотоионизация атомных систем с использованием приближения случайных фаз, включая релятивистские взаимодействия». Атомы . 10 (3): 71. Bibcode :2022Atoms..10...71D. doi : 10.3390/atoms10030071 . ISSN  2218-2004.
5. Джонсон, WR; Лин, CD; Ченг, KT; Ли, CM (1980-01-01). «Релятивистское приближение случайных фаз». Physica Scripta . 21 (3–4): 409–422. Bibcode : 1980PhyS...21..409J. doi : 10.1088/0031-8949/21/3-4/029. ISSN  0031-8949. S2CID  94058089.
6. Ehrenreich, H.; Cohen, MH (15 августа 1959 г.). «Подход самосогласованного поля к проблеме многих электронов». Physical Review . 115 (4). Американское физическое общество (APS): 786–790. Bibcode : 1959PhRv..115..786E. doi : 10.1103/physrev.115.786. ISSN  0031-899X.
7. Дж. Линдхард (1954). «О свойствах газа заряженных частиц» (PDF) . Kongelige Danske Videnskabernes Selskab, Matematisk-Fysiske Meddelelser . 28 (8).
8. Н. В. Эшкрофт и Н. Д. Мермин, Физика твердого тела (Thomson Learning, Торонто, 1976)
9. GD Mahan, Физика многих частиц , 2-е изд. (Plenum Press, Нью-Йорк, 1990)
10. Гелл-Манн, Мюррей; Брюкнер, Кит А. (15 апреля 1957 г.). «Корреляционная энергия электронного газа при высокой плотности» (PDF) . Physical Review . 106 (2). Американское физическое общество (APS): 364–368. Bibcode :1957PhRv..106..364G. doi :10.1103/physrev.106.364. ISSN  0031-899X. S2CID  120701027.