Приближение Споуга

В математике приближение Спуджа — это формула для вычисления приближения гамма -функции . Она была названа в честь Джона Л. Спуджа, который определил формулу в статье 1994 года. ^[1] Формула является модификацией приближения Стирлинга и имеет вид

${\displaystyle \Gamma (z+1)=(z+a)^{z+{\frac {1}{2}}}e^{-z-a}\left(c_{0}+\sum _{k=1}^{a-1}{\frac {c_{k}}{z+k}}+\varepsilon _{a}(z)\right)}$

где a — произвольное положительное целое число, а коэффициенты задаются формулой

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&={\sqrt {2\pi }}\\c_{k}&={\frac {(-1)^{k-1}}{(k-1)!}}(-k+a)^{k-{\frac {1}{2}}}e^{-k+a}\qquad k\in \{1,2,\dots ,a-1\}.\end{aligned}}}$

Споуг доказал, что если Re( z ) > 0 и a  > 2, то относительная ошибка отбрасывания ε _a ( z ) ограничена

${\displaystyle a^{-{\frac {1}{2}}}(2\pi )^{-a-{\frac {1}{2}}}.}$

Формула похожа на приближение Ланцоша , но имеет некоторые отличительные особенности. ^[2] В то время как формула Ланцоша демонстрирует более быструю сходимость, коэффициенты Споуджа гораздо проще вычислить, а погрешность можно установить произвольно низкой. Таким образом, формула применима для оценки гамма-функции с произвольной точностью . Однако следует проявлять особую осторожность, чтобы использовать достаточную точность при вычислении суммы из-за большого размера коэффициентов c _k , а также их переменного знака. Например, для a  = 49 необходимо вычислить сумму, используя около 65 десятичных знаков точности, чтобы получить обещанные 40 десятичных знаков точности.

Смотрите также

• Приближение Стерлинга
• приближение Ланцоша

Ссылки

1. Spouge, John L. (1994). «Вычисление гамма-, дигамма- и тригамма-функций». Журнал SIAM по численному анализу . 31 (3): 931–000. doi :10.1137/0731050. JSTOR  2158038.
2. * Пью, Глендон (2004). Анализ гамма-приближения Ланцоша (PDF) (диссертация).