Приближение вращающейся волны

Model used in atom optics and magnetic resonance

Приближение вращающейся волны — это приближение, используемое в атомной оптике и магнитном резонансе . В этом приближении члены гамильтониана, которые быстро осциллируют, пренебрегаются. Это допустимое приближение, когда применяемое электромагнитное излучение находится вблизи резонанса с атомным переходом, а интенсивность мала. ^[1] Явно, члены гамильтонианов, которые осциллируют с частотами, пренебрегаются, в то время как члены, которые осциллируют с частотами, сохраняются, где — частота света, а — частота перехода. ${\displaystyle \omega _{L}+\omega _{0}}$ ${\displaystyle \omega _{L}-\omega _{0}}$ ${\displaystyle \omega _{L}}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$

Название приближения происходит от формы гамильтониана в картине взаимодействия , как показано ниже. При переходе к этой картине эволюция атома из-за соответствующего атомного гамильтониана поглощается в системе ket , оставляя для рассмотрения только эволюцию из-за взаимодействия атома со световым полем. Именно в этой картине можно пренебречь быстро осциллирующими членами, упомянутыми ранее. Поскольку в некотором смысле картину взаимодействия можно рассматривать как вращающуюся с системой ket, сохраняется только та часть электромагнитной волны, которая приблизительно вращается в одном направлении; противоположно вращающаяся составляющая отбрасывается.

Приближение вращающейся волны тесно связано с вековым приближением , но отличается от него . ^[2]

Математическая формулировка

Для простоты рассмотрим двухуровневую атомную систему с основным и возбужденным состояниями и , соответственно (используя обозначение скобок Дирака ). Пусть разность энергий между состояниями такова , что — частота перехода системы. Тогда невозмущенный гамильтониан атома можно записать как ${\displaystyle |{\text{g}}\rangle }$ ${\displaystyle |{\text{e}}\rangle }$ ${\displaystyle \hbar \omega _{0}}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle H_{0}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|}$.

Предположим, что атом испытывает внешнее классическое электрическое поле частоты , заданное как ; например, плоская волна, распространяющаяся в пространстве. Тогда в дипольном приближении гамильтониан взаимодействия между атомом и электрическим полем может быть выражен как ${\displaystyle \omega _{L}}$ ${\displaystyle {\vec {E}}(t)={\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}}$

${\displaystyle H_{1}=-{\vec {d}}\cdot {\vec {E}}}$,

где — оператор дипольного момента атома. Полный гамильтониан для системы атом-свет равен, следовательно, Атом не имеет дипольного момента, когда он находится в собственном энергетическом состоянии , поэтому Это означает, что определение позволяет записать оператор диполя в виде ${\displaystyle {\vec {d}}}$ ${\displaystyle H=H_{0}+H_{1}.}$ ${\displaystyle \left\langle {\text{e}}\left|{\vec {d}}\right|{\text{e}}\right\rangle =\left\langle {\text{g}}\left|{\vec {d}}\right|{\text{g}}\right\rangle =0.}$ ${\displaystyle {\vec {d}}_{\text{eg}}\mathrel {:=} \left\langle {\text{e}}\left|{\vec {d}}\right|{\text{g}}\right\rangle }$

${\displaystyle {\vec {d}}={\vec {d}}_{\text{eg}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|+{\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|}$

(с обозначением комплексного сопряжения ). Тогда можно показать, что гамильтониан взаимодействия имеет вид ${\displaystyle ^{*}}$

${\displaystyle H_{1}=-\hbar \left(\Omega e^{-i\omega _{L}t}+{\tilde {\Omega }}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i\omega _{L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|}$

где — частота Раби , а — частота противовращения. Чтобы понять, почему термины называются противовращающимися, рассмотрим унитарное преобразование к взаимодействию или картине Дирака , где преобразованный гамильтониан задается как ${\displaystyle \Omega =\hbar ^{-1}{\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}}$ ${\displaystyle {\tilde {\Omega }}\mathrel {:=} \hbar ^{-1}{\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}^{*}}$ ${\displaystyle {\tilde {\Omega }}}$ ${\displaystyle H_{1,I}}$

${\displaystyle H_{1,I}=-\hbar \left(\Omega e^{-i\Delta \omega t}+{\tilde {\Omega }}e^{i(\omega _{L}+\omega _{0})t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i(\omega _{L}+\omega _{0})t}+\Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|,}$

где - расстройка между световым полем и атомом. ${\displaystyle \Delta \omega \mathrel {:=} \omega _{L}-\omega _{0}}$

Делая приближение

Двухуровневая система в резонансе с ведущим полем с применением (синий) и без применения (зеленый) приближения вращающейся волны.

Это точка, в которой выполняется приближение вращающейся волны. Было принято дипольное приближение, и для того, чтобы оно оставалось справедливым, электрическое поле должно быть близко к резонансу с атомным переходом. Это означает, что и комплексные экспоненты, умножающиеся и, можно считать быстро осциллирующими. Следовательно, в любом заметном масштабе времени колебания быстро усреднятся до 0. Таким образом, приближение вращающейся волны утверждает, что этими членами можно пренебречь, и, таким образом, гамильтониан можно записать в картине взаимодействия как ${\displaystyle \Delta \omega \ll \omega _{L}+\omega _{0}}$ ${\displaystyle {\tilde {\Omega }}}$ ${\displaystyle {\tilde {\Omega }}^{*}}$

${\displaystyle H_{1,I}^{\text{RWA}}=-\hbar \Omega e^{-i\Delta \omega t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.}$

Наконец, преобразуясь обратно в картину Шредингера , гамильтониан задается выражением

${\displaystyle H^{\text{RWA}}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.}$

Другим критерием приближения вращающейся волны является условие слабой связи, то есть частота Раби должна быть намного меньше частоты перехода. ^[1]

На этом приближение вращающейся волны завершается. Обычным первым шагом за пределами этого является устранение оставшейся временной зависимости в гамильтониане посредством другого унитарного преобразования.

Вывод

Учитывая приведенные выше определения, гамильтониан взаимодействия имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}=-{\vec {d}}\cdot {\vec {E}}&=-\left({\vec {d}}_{\text{eg}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|+{\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|\right)\cdot \left({\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)\\&=-\left({\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\left({\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}\cdot {\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}\cdot {\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|\\&=-\hbar \left(\Omega e^{-i\omega _{L}t}+{\tilde {\Omega }}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i\omega _{L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|,\end{aligned}}}$

как указано. Следующий шаг — найти гамильтониан в картине взаимодействия , . Требуемое унитарное преобразование — ${\displaystyle H_{1,I}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=e^{iH_{0}t/\hbar }\\&=e^{i\omega _{0}t/2(|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|)}\\&=\cos({\frac {\omega _{0}t}{2}})\left(|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|+|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|\right)+i\sin({\frac {\omega _{0}t}{2}})\left(|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|\right)\\&=e^{-i\omega _{0}t/2}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|+e^{i\omega _{0}t/2}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|\\&=e^{-i\omega _{0}t/2}\left(|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|+e^{i\omega _{0}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|\right)\end{aligned}}}$,

где 3-й шаг может быть доказан с помощью разложения в ряд Тейлора и использования ортогональности состояний и . Обратите внимание, что умножение на общую фазу на унитарном операторе не влияет на лежащую в основе физику, поэтому в дальнейшем использовании мы будем ею пренебрегать. Применение дает: ${\displaystyle |{\text{g}}\rangle }$ ${\displaystyle |{\text{e}}\rangle }$ ${\displaystyle e^{i\omega _{0}t/2}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1,I}&\equiv UH_{1}U^{\dagger }\\&=-\hbar \left(\Omega e^{-i\omega _{L}t}+{\tilde {\Omega }}e^{i\omega _{L}t}\right)e^{i\omega _{0}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i\omega _{L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|e^{-i\omega _{0}t}\\&=-\hbar \left(\Omega e^{-i\Delta \omega t}+{\tilde {\Omega }}e^{i(\omega _{L}+\omega _{0})t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i(\omega _{L}+\omega _{0})t}+\Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}\right)|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|\ .\end{aligned}}}$

Теперь применим RWA, исключив противоположно вращающиеся члены, как объяснялось в предыдущем разделе:

${\displaystyle H_{1,I}^{\text{RWA}}=-\hbar \Omega e^{-i\Delta \omega t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|+-\hbar \Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|}$

Наконец, преобразуем приближенный гамильтониан обратно к картине Шредингера: ${\displaystyle H_{1,I}^{\text{RWA}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}^{\text{RWA}}&=U^{\dagger }H_{1,I}^{\text{RWA}}U\\&=-\hbar \Omega e^{-i\Delta \omega t}e^{-i\omega _{0}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|e^{i\omega _{0}t}\\&=-\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.\end{aligned}}}$

Атомный гамильтониан не был затронут приближением, поэтому полный гамильтониан в картине Шредингера в приближении вращающейся волны равен

${\displaystyle H^{\text{RWA}}=H_{0}+H_{1}^{\text{RWA}}={\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{e}}|-{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|.}$

Ссылки

1. Wu, Ying; Yang, Xiaoxue (2007). "Теория сильной связи периодически управляемых двухуровневых систем". Physical Review Letters . 98 (1): 013601. Bibcode :2007PhRvL..98a3601W. doi :10.1103/PhysRevLett.98.013601. ISSN  0031-9007. PMID  17358474.
2. Мякеля, Х.; Мёттонен, М. (13 ноября 2013 г.). «Влияние приближений вращающейся волны и вековой теории на немарковость». Physical Review A. 88 ( 5): 052111. arXiv : 1306.6301 . doi : 10.1103/PhysRevA.88.052111.