Аппроксимант Паде

«Наилучшее» приближение функции рациональной функцией заданного порядка

Анри Паде

В математике аппроксимация Паде — это «лучшее» приближение функции вблизи определенной точки рациональной функцией заданного порядка. Согласно этому методу степенной ряд аппроксиманта согласуется со степенным рядом функции, которую он аппроксимирует. Методика была разработана около 1890 года Анри Паде , но восходит к Георгу Фробениусу , который ввёл идею и исследовал особенности рациональных аппроксимаций степенных рядов.

Аппроксимант Паде часто дает лучшее приближение функции, чем усечение ее ряда Тейлора , и он все еще может работать там, где ряд Тейлора не сходится . По этим причинам аппроксимации Паде широко используются в компьютерных расчетах . Они также использовались в качестве вспомогательных функций в диофантовом приближении и теории трансцендентных чисел , хотя для получения точных результатов специальные методы - в некотором смысле вдохновленные теорией Паде - обычно заменяют их. Поскольку аппроксимация Паде является рациональной функцией, в качестве аппроксимации может возникнуть искусственная особая точка, но этого можно избежать с помощью анализа Бореля – Паде.

Причина, по которой аппроксимант Паде имеет тенденцию быть лучшим приближением, чем укороченный ряд Тейлора, очевидна с точки зрения метода многоточечного суммирования. Поскольку во многих случаях асимптотическое разложение на бесконечности становится равным 0 или константой, его можно интерпретировать как «неполное двухточечное приближение Паде», в котором обычное приближение Паде улучшает метод усечения ряда Тейлора.

Определение

Учитывая функцию f и два целых числа m ≥ 0 и n ≥ 1 , аппроксимация Паде порядка [ m / n ] является рациональной функцией

$${\displaystyle R(x)={\frac {\sum _{j=0}^{m}a_{j}x^{j}}{1+\sum _{k=1}^{n}b_{k}x^{k}}}={\frac {a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{m}x^{m}}{1+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\dots +b_{n}x^{n}}},}$$

f ( x )

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(0)&=R(0),\\f'(0)&=R'(0),\\f''(0)&=R''(0),\\&\mathrel {\;\vdots } \\f^{(m+n)}(0)&=R^{(m+n)}(0).\end{aligned}}}$$

Эквивалентно, если разложить в ряд Маклорена ( ряд Тейлора в 0), его первые члены будут равны первым членам , и, таким образом, ${\displaystyle R(x)}$ ${\displaystyle m+n}$ ${\displaystyle m+n}$ ${\displaystyle f(x)}$

$${\displaystyle f(x)-R(x)=c_{m+n+1}x^{m+n+1}+c_{m+n+2}x^{m+n+2}+\cdots }$$

Если аппроксимация Паде существует, она уникальна как формальный степенной ряд для данных m и n . ^[1]

Определенная выше аппроксимация Паде также обозначается как

$${\displaystyle [m/n]_{f}(x).}$$

Вычисление

Для заданного x аппроксимации Паде могут быть вычислены с помощью эпсилон-алгоритма Винна ^[2] , а также других преобразований последовательностей ^[3] из частичных сумм

$${\displaystyle T_{N}(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{N}x^{N}}$$

Тейлораf

$${\displaystyle c_{k}={\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}.}$$

f формальным степенным рядом расходящихся рядов

Один из способов вычисления аппроксиманта Паде — использование расширенного алгоритма Евклида для определения наибольшего общего делителя полинома . ^[4] Отношение

$${\displaystyle R(x)=P(x)/Q(x)=T_{m+n}(x){\bmod {x}}^{m+n+1}}$$

${\displaystyle K(x)}$

$${\displaystyle P(x)=Q(x)T_{m+n}(x)+K(x)x^{m+n+1},}$$

тождество Безу ${\displaystyle T_{m+n}(x)}$ ${\displaystyle x^{m+n+1}}$

Напомним, что для вычисления наибольшего общего делителя двух многочленов p и q необходимо вычислить путем деления в столбик остаточную последовательность

$${\displaystyle r_{0}=p,\;r_{1}=q,\quad r_{k-1}=q_{k}r_{k}+r_{k+1},}$$

k = 1, 2, 3, ... ${\displaystyle \deg r_{k+1}<\deg r_{k}\,}$ ${\displaystyle r_{k+1}=0}$

$${\displaystyle u_{0}=1,\;v_{0}=0,\quad u_{1}=0,\;v_{1}=1,\quad u_{k+1}=u_{k-1}-q_{k}u_{k},\;v_{k+1}=v_{k-1}-q_{k}v_{k}}$$

$${\displaystyle r_{k}(x)=u_{k}(x)p(x)+v_{k}(x)q(x).}$$

Таким образом, для аппроксиманта [ m / n ] выполняется расширенный алгоритм Евклида для

$${\displaystyle r_{0}=x^{m+n+1},\;r_{1}=T_{m+n}(x)}$$

n ${\displaystyle v_{k}}$

Тогда полиномы дают аппроксимацию Паде [ m / n ] . Если бы нужно было вычислить все шаги расширенного вычисления наибольшего общего делителя, можно было бы получить антидиагональ таблицы Паде . ${\displaystyle P=r_{k},\;Q=v_{k}}$

Дзета-функция Римана – Паде

Чтобы изучить возобновление расходящегося ряда , скажем,

$${\displaystyle \sum _{z=1}^{\infty }f(z),}$$

$${\displaystyle \zeta _{R}(s)=\sum _{z=1}^{\infty }{\frac {R(z)}{z^{s}}},}$$

$${\displaystyle R(x)=[m/n]_{f}(x)}$$

( m , n )f ( x )дзета-регуляризацииs = 0

Функциональное уравнение для этой дзета-функции Паде:

$${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}a_{j}\zeta _{R}(s-j)=\sum _{j=0}^{m}b_{j}\zeta _{0}(s-j),}$$

a _jb _jдзета-функцию Римана

Метод DLog Паде

Аппроксимации Паде можно использовать для извлечения критических точек и показателей функций. ^{[5] [6]} В термодинамике, если функция f ( x ) ведет себя неаналитическим образом вблизи точки x = r , например , x = r называют критической точкой, а p - соответствующим критическим показателем f . Если известны достаточные члены разложения f в ряд , можно приближенно извлечь критические точки и критические показатели соответственно из полюсов и вычетов аппроксимаций Паде , где . ${\displaystyle f(x)\sim |x-r|^{p}}$ ${\displaystyle [n/n+1]_{g}(x)}$ ${\displaystyle g=f'/f}$

Обобщения

Аппроксимация Паде аппроксимирует функцию одной переменной. Аппроксимант с двумя переменными называется аппроксимантом Чизхолма (по имени Дж. С. Р. Чисхолма ), ^[7] для многих переменных - аппроксимантом Кентербери (по имени Грейвса-Морриса из Кентского университета). ^[8]

Двухточечная аппроксимация Паде

Обычное приближение Паде предназначено для воспроизведения разложения Маклорена до заданного порядка. Следовательно, аппроксимация значения, не считая точки расширения, может быть плохой. Этого можно избежать с помощью двухточечной аппроксимации Паде, которая представляет собой разновидность метода многоточечного суммирования. ^[9] При рассмотрим случай, когда функция выражается асимптотическим поведением : ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f_{0}(x)}$

$${\displaystyle f\sim f_{0}(x)+o{\big (}f_{0}(x){\big )},\quad x\to 0,}$$

${\displaystyle x\to \infty }$ ${\displaystyle f_{\infty }(x)}$

$${\displaystyle f(x)\sim f_{\infty }(x)+o{\big (}f_{\infty }(x){\big )},\quad x\to \infty .}$$

Выбирая основное поведение , в различных случаях можно найти приближенные функции , которые одновременно воспроизводят асимптотическое поведение путем развития приближения Паде. В результате в точке , где точность аппроксимации может быть худшей в обычном аппроксимации Паде, гарантируется хорошая точность 2-точечной аппроксимации Паде. Следовательно, двухточечная аппроксимация Паде может быть методом, который дает хорошее глобальное приближение для . ${\displaystyle f_{0}(x),f_{\infty }(x)}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle x\to \infty }$ ${\displaystyle x=0\sim \infty }$

В случаях, когда они выражаются полиномами или рядами отрицательных степеней, экспоненциальной функцией, логарифмической функцией или , мы можем применить 2-точечную аппроксимацию Паде к . Существует метод использования этого метода для получения приближенного решения дифференциального уравнения с высокой точностью. ^[9] Кроме того, для нетривиальных нулей дзета-функции Римана первый нетривиальный нуль можно с некоторой точностью оценить по асимптотическому поведению на вещественной оси. ^[9] ${\displaystyle f_{0}(x),f_{\infty }(x)}$ ${\displaystyle x\ln x}$ ${\displaystyle f(x)}$

Многоточечная аппроксимация Паде

Дальнейшим расширением двухточечной аппроксимации Паде является многоточечная аппроксимация Паде. ^[9] Этот метод рассматривает точки особенности функции , которую необходимо аппроксимировать. Рассмотрим случаи, когда особенности функции выражаются с индексом выражением ${\displaystyle x=x_{j}(j=1,2,3,\dots ,N)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle n_{j}}$

$${\displaystyle f(x)\sim {\frac {A_{j}}{(x-x_{j})^{n_{j}}}},\quad x\to x_{j}.}$$

Помимо 2-точечного аппроксиманта Паде, который включает информацию при , этот метод аппроксимирует, чтобы уменьшить свойство расхождения при . В результате, поскольку информация об особенности функции фиксируется, аппроксимация функции может быть выполнена с более высокой точностью. ${\displaystyle x=0,x\to \infty }$ ${\displaystyle x\sim x_{j}}$ ${\displaystyle f(x)}$

Примеры

грех( х ) ^[10]

$${\displaystyle \sin(x)\approx {\frac {{\frac {12671}{4363920}}x^{5}-{\frac {2363}{18183}}x^{3}+x}{1+{\frac {445}{12122}}x^{2}+{\frac {601}{872784}}x^{4}+{\frac {121}{16662240}}x^{6}}}}$$

ехр( х ) ^[11]

$${\displaystyle \exp(x)\approx {\frac {1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{9}}x^{2}+{\frac {1}{72}}x^{3}+{\frac {1}{1008}}x^{4}+{\frac {1}{30240}}x^{5}}{1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{9}}x^{2}-{\frac {1}{72}}x^{3}+{\frac {1}{1008}}x^{4}-{\frac {1}{30240}}x^{5}}}}$$

журнал(1+ х ) ^[12]

$${\displaystyle \log(1+x)\approx {\frac {x+{\frac {1}{2}}x^{2}}{1+x+{\frac {1}{6}}x^{2}}}}$$

Якоби sn( z |3) ^[13]

$${\displaystyle \mathrm {sn} (z|3)\approx {\frac {-{\frac {9851629}{283609260}}z^{5}-{\frac {572744}{4726821}}z^{3}+z}{1+{\frac {859490}{1575607}}z^{2}-{\frac {5922035}{56721852}}z^{4}+{\frac {62531591}{2977897230}}z^{6}}}}$$

Бессель Дж ₅ ( х )

$${\displaystyle J_{5}(x)\approx {\frac {-{\frac {107}{28416000}}x^{7}+{\frac {1}{3840}}x^{5}}{1+{\frac {151}{5550}}x^{2}+{\frac {1453}{3729600}}x^{4}+{\frac {1339}{358041600}}x^{6}+{\frac {2767}{120301977600}}x^{8}}}}$$

эрф( х )

$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx {\frac {2}{15{\sqrt {\pi }}}}\cdot {\frac {49140x+3570x^{3}+739x^{5}}{165x^{4}+1330x^{2}+3276}}}$$

Френель С ( х )

$${\displaystyle C(x)\approx {\frac {1}{135}}\cdot {\frac {990791\pi ^{4}x^{9}-147189744\pi ^{2}x^{5}[phone]x}{1749\pi ^{4}x^{8}+523536\pi ^{2}x^{4}[phone]}}}$$

Смотрите также

• Стол Паде
• Формула аппроксимации синуса Бхаскары I

Рекомендации

1. "Аппроксимант Паде" . Вольфрам Математический мир .
2. Теорема 1 , Винн, Питер (март 1966 г.). «О сходимости и устойчивости алгоритма Эпсилон». SIAM Journal по численному анализу . 3 (1): 91–122. Бибкод : 1966SJNA....3...91W. дои : 10.1137/0703007. JSTOR  2949688.
3. Брезенски, К. (1996). «Алгоритмы экстраполяции и аппроксимации Паде». Прикладная численная математика . 20 (3): 299–318. CiteSeerX 10.1.1.20.9528 . дои : 10.1016/0168-9274(95)00110-7. 
4. Бини, Дарио; Пан, Виктор (1994). Полиномиальные и матричные вычисления - Том 1. Фундаментальные алгоритмы . Прогресс в теоретической информатике. Биркхойзер. Задача 5.2б и алгоритм 5.2 (с. 46). ISBN 978-0-8176-3786-6.
5. Адлер, Джоан (1994). «Расширения серии». Компьютеры в физике . 8 (3): 287. Бибкод : 1994ComPh...8..287A. дои : 10.1063/1.168493 . Проверено 25 августа 2022 г.
6. Бейкер, Джорджия младший (2012). «Аппроксимант Паде». Схоларпедия . 7 (6): 9756. Бибкод : 2012SchpJ...7.9756B. doi : 10.4249/scholarpedia.9756 .
7. Чисхолм, JSR (1973). «Рациональные аппроксиманты, определяемые из двойного степенного ряда». Математика вычислений . 27 (124): 841–848. дои : 10.1090/S0025-5718-1973-0382928-6 . ISSN  0025-5718.
8. Грейвс-Моррис, PR; Робертс, Делавэр (1975). «Расчет Кентерберийских аппроксимантов». Компьютерная физика. Коммуникации . 10 (4): 234–244. Бибкод : 1975CoPhC..10..234G. дои : 10.1016/0010-4655(75)90068-5.
9. Уэока, Йошики. Введение в метод суммирования нескольких точек. Современная прикладная математика, которая соединяет здесь и бесконечность за его пределами: от разложения Тейлора до применения дифференциальных уравнений.
10. "Аппроксимант Паде греха (x)" . Альфа -сайт Вольфрама . Проверено 16 января 2022 г.
11. "Аппроксимация Паде exp(x)" . Альфа -сайт Вольфрама . Проверено 03 января 2024 г.
12. «Аппроксимация Паде журнала (1 + x)» . Альфа -сайт Вольфрама . Проверено 16 сентября 2023 г.
13. «Аппроксимация Паде sn (x | 3)» . Альфа -сайт Вольфрама . Проверено 16 января 2022 г.

Литература

• Бейкер, Джорджия, младший; и Грейвс-Моррис, Аппроксиманты П. Паде . Кембриджский университет , 1996.
• Бейкер, Джорджия, аппроксимант Паде-младший, Scholarpedia, 7 (6): 9756.
• Брезински, К.; Редиво Залья, М. Методы экстраполяции. Теория и практика . Северная Голландия , 1991. ISBN 978-0444888143. 
• Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, BP (2007), «Раздел 5.12 Аппроксиманты Паде», Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88068-8.
• Фробениус, Г.; Ueber Relationen zwischen den Näherungsbrüchen von Potenzreihen , [Журнал für die reine und angewandte Mathematik (Журнал Крелля)]. Том 1881, выпуск 90, страницы 1–17.
• Грэгг, Всемирный банк; Таблица Паде и ее связь с некоторыми алгоритмами численного анализа [обзор SIAM], Vol. 14, № 1, 1972, стр. 1–62.
• Паде, Х.; Sur la representation approchée d'une fonction par des Fractionelles , Thesis, [Ann. Эколь Нор. (3), 9, 1892, стр. 1–93, приложение.
• Винн, П. (1966), «О системах рекурсий, которые получаются среди частных таблицы Паде», Numerische Mathematik , 8 (3): 264–269, doi : 10.1007/BF02162562, S2CID  123789548.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Аппроксимант Паде». Математический мир .
• Аппроксиманты Паде, Александр Павлик, Демонстрационный проект Вольфрама .
• Краткий справочник по анализу данных: аппроксимация Паде, Европейская лаборатория физики элементарных частиц имени Рудольфа К. Бока , ЦЕРН .
• Sinewave, Скотт Даттало, последний раз обращались к нему 11 ноября 2010 г.
• Функция MATLAB для аппроксимации Паде моделей с задержками.