Редукция (математика)

В математике сокращение означает переписывание выражения в более простую форму . Например, процесс перезаписи дроби в дробь с наименьшим целым знаменателем (при сохранении целого числа в числителе) называется « сокращением дроби ». Переписывание радикального (или «корневого») выражения с наименьшим возможным целым числом под радикальным символом называется «сокращением радикала». Минимизация количества радикалов, которые появляются под другими радикалами в выражении, называется удалением радикалов .

Алгебра

В линейной алгебре сокращение означает применение простых правил к ряду уравнений или матриц для приведения их к более простой форме. В случае матриц этот процесс включает в себя манипулирование либо строками, либо столбцами матрицы, поэтому его обычно называют сокращением строк или сокращением столбцов соответственно. Часто целью редукции является преобразование матрицы в ее «эшелонированную форму с сокращенными строками » или «форму эшелона строк»; это цель исключения по Гауссу .

Исчисление

В исчислении под редукцией понимается использование техники интегрирования по частям для вычисления интегралов путем приведения их к более простым формам.

Статическое (Гайанское) уменьшение

В динамическом анализе статическое сокращение означает уменьшение количества степеней свободы. Статическую редукцию также можно использовать в анализе методом конечных элементов для обозначения упрощения линейной алгебраической задачи. Поскольку статическая редукция требует нескольких шагов инверсии, это дорогостоящая матричная операция и подвержена ошибкам в решении. Рассмотрим следующую систему линейных уравнений в задаче МКЭ:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}\\K_{21}&K_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{1}\\F_{2}\end{bmatrix}}}$

где K и F известны, а K , x и F разделены на подматрицы, как показано выше. Если F ₂ содержит только нули и требуется только x _{1 ,} K можно сократить до следующей системы уравнений

${\displaystyle {\begin{bmatrix}K_{11,{\text{reduced}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{1}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle K_{11,{\text{reduced}}}}$получается записью системы уравнений следующего вида:

Уравнение ( 2 ) можно решить для (при условии обратимости ) : ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle K_{22}}$

${\displaystyle -K_{22}^{-1}K_{21}x_{1}=x_{2}.}$

И подстановка в ( 1 ) дает

${\displaystyle K_{11}x_{1}-K_{12}K_{22}^{-1}K_{21}x_{1}=F_{1}.}$

Таким образом

${\displaystyle K_{11,{\text{reduced}}}=K_{11}-K_{12}K_{22}^{-1}K_{21}.}$

Аналогичным образом любая строка или столбец i из F с нулевым значением может быть исключена, если соответствующее значение x _i нежелательно. Уменьшенный K может быть уменьшен снова. Обратите внимание: поскольку каждое сокращение требует инверсии, а каждая инверсия представляет собой операцию с вычислительными затратами O ( n ³ ) , большинство больших матриц предварительно обрабатываются для сокращения времени расчета.

История

В 9 веке персидский математик Аль-Хорезми Аль -Джабр ввел фундаментальные концепции «редукции» и «балансировки», имея в виду перенос вычитаемых членов в другую часть уравнения и отмену подобных членов в противоположных частях. стороны уравнения. Это операция, которую аль-Хорезми первоначально назвал « аль-Джабр» . ^[1] Название « алгебра » происходит от слова « аль-джабр » в названии его книги.

Рекомендации

1. Бойер, Карл Б. (1991), «Арабская гегемония», История математики (второе изд.), John Wiley & Sons, Inc., стр. 229, ISBN 978-0-471-54397-8Неизвестно, что именно означают термины аль-джабр и мукабала , но обычная интерпретация аналогична той, которая подразумевается в переводе выше. Слово аль-джабр предположительно означало что-то вроде «восстановления» или «завершения» и, по-видимому, относится к переносу вычтенных членов на другую сторону уравнения, что очевидно из трактата; Считается, что слово мукабала относится к «сокращению» или «балансировке», то есть к отмене одинаковых членов на противоположных сторонах уравнения.